第2章 2.3.1-2.3.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过基础、中档、提升三层设计，覆盖直线与方程核心知识点，从公式应用到综合证明，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|斜率、距离等单一公式应用|如第1题斜率计算，强化概念理解| |中档|综合计算与多考点辨析|如第6题距离公式几何意义多选，提升推理能力| |提升|复杂应用与新定义问题|如第15题“折线距离”新定义，培养创新意识|

1．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选B.依题意，斜率k＝＝，解得a＝2，所以M(－2，2)，N(2，4)， 所以|MN|＝＝2. 2．(2026·邯郸期中)点P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝－x D．y＝－2x 解析：选B.联立可得点P的坐标为(1，2)，所以直线OP的方程为y＝2x. 3．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则|AB|＝(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6，0)，B(0，8)， 所以|AB|＝＝10. 4．(2026·苏州期中)直线l与直线l1：x－3y＝0及直线l2：x＋y－4＝0相交于同一点，且(1，1)为l的一个方向向量，则l在y轴上的截距为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.联立得故直线l过点(3，1)，又(1，1)为直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为1，故直线l：y＝x－2，当x＝0时，y＝－2，即l在y轴上的截距为－2. 5．已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，AC：2x＋y－2＝0，则AC边上的高所在直线的方程是(　　) A.x－2y＋4＝0 B．2x－4y＋9＝0 C．4x－3y－9＝0 D．7x＋y＋28＝0 解析：选A.设AC边上的高所在直线的斜率为k，则有解得k＝， 联立得B(－4，0)，所以△ABC中AC边上的高所在直线过点B(－4，0)，斜率为k＝，所以所求方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0. 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，－1)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：选BD.由题意，可得 ＝＝ ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离． 7．(2026·常州期中)已知A，B两点都在直线y＝x＋1上，且A，B两点横坐标之差为，则A，B两点之间的距离为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|x1－x2|＝， |AB|＝ ＝ ＝＝2. 答案：2 8．在平面直角坐标系中，过直线l1：7x－2y＋1＝0与l2：x＋4y＋3＝0的交点，且在y轴上截距为2的直线l的一般式方程为____________． 解析：联立解得 则交点坐标为(－，－)， 显然直线l斜率不存在时不合题意，则可设l：y＝kx＋2， 将(－，－)代入得－＝－k＋2，解得k＝8， 则l：y＝8x＋2，即8x－y＋2＝0. 答案：8x－y＋2＝0 9．已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，顶点D(0，－1)，则顶点A的坐标为________． 解析：因为AB⊥AD，且边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，故可设AD所在直线的方程为x＋2y＋m＝0，将D(0，－1)代入，可得m＝2，所以AD所在直线的方程为x＋2y＋2＝0. 由解得 即顶点A的坐标为(－2，0). 答案：(－2，0) 10．(13分)已知直线：l1：4x＋3y＝10，l2：2x－y＝10，l3：ax＋2y＋8＝0(a为实数)，l1与l2相交于点M. (1)若l3过点M，求a的值；(6分) (2)若直线l3过定点N，求|MN|.(7分) 解：(1)由得 即M(4，－2). 因为l3：ax＋2y＋8＝0过点M(4，－2)，所以4a＋2×(－2)＋8＝0，即a＝－1. (2)因为a·0＋2×(－4)＋8＝0，所以直线l3过定点N(0，－4)， 所以|MN|＝＝2. 11．(2026·晋中月考)函数y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.由y＝＋＝＋， 设A(1，1)，B(4，3)，P(x，0)，得y的几何意义为|AP|＋|BP|的值． 点A(1，1)关于x轴的对称点为C(1，－1)，所以ymin＝|CB|＝＝5. 12．(多选)(2026·合肥期中)已知λ∈R，若过定点A的动直线l1：x－λy＋λ－2＝0和过定点B的动直线l2：λx＋y－4＋2λ＝0交于点P(P和A，B不重合)，则以下说法正确的是(　　) A．|AB|＝5 B．PA⊥PB C．S△PAB的最大值为 D．|PA|＋|PB|的最大值为5 解析：选ABD.由l1：x－λy＋λ－2＝0可得λ(－y＋1)＋x－2＝0，则即A(2，1)； 由l2：λx＋y－4＋2λ＝0可得λ(x＋2)＋y－4＝0，则即B(－2，4). 对于A，由上可得A(2，1)，B(－2，4)，则|AB|＝＝5，故A正确； 对于B，因为1×λ＋(－λ)×1＝0，则l1⊥l2，故PA⊥PB，故B正确； 对于C，D，由B选项分析，可得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝25，由|PA|2＋|PB|2≥2|PA|·|PB|，即得|PA|·|PB|≤，当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立，所以S△PAB＝·|PA|·|PB|≤，故C错误； |PA|＋|PB|＝ ＝ ≤＝5， 即当|PA|＝|PB|＝时，|PA|＋|PB|取得最大值，最大值为5，故D正确． 13．(13分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明： 以AC所在的直线为x轴，过点D作垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a，0)，则A(－a，0). |AB|2＋|BC|2－|AC|2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 14．(15分)(2026·萍乡期中)已知两点P(1，4)，Q(3，2)，直线l1为线段PQ的中垂线，直线l2过点A(，)，且与直线PQ平行． (1)求l1与l2的一般方程；(7分) (2)求l1，l2与y轴围成的三角形的面积．(8分) 解：(1)由题知，直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，线段PQ的中点坐标为(2，3)， 则l1的斜率kl1＝－＝1，直线l1过点(2，3)，故y－3＝1·(x－2)， 即l1的一般方程为x－y＋1＝0； l2的斜率kl2＝kPQ＝－1，直线l2过点A(，)，故y－＝－1·(x－)，即l2的一般方程为x＋y－3＝0. (2) 如图，令x＝0求得l1，l2与y轴的交点分别为B(0，1)，C(0，3)，所以|BC|＝2， 联立解得即l1与l2的交点坐标为D(1，2)， 则l1，l2与y轴围成的三角形为△BCD，其面积为S＝|BC|·xD＝×2×1＝1. 15．在平面直角坐标系中，定义d(S，T)＝|x2－x1|＋|y2－y1|为两点S(x1，y1)，T(x2，y2)之间的“折线距离”． ①若A(0，0)，B(1，1)，则d(A，B)＝________； ②原点O与直线x－y＋3＝0上任意一点M之间的折线距离d(O，M)的最小值为________． 解析：对于①，若A(0，0)，B(1，1)， 则d(A，B)＝|1－0|＋|1－0|＝2； 对于②，设M(x，x＋3)， 则d(O，M)＝|x|＋|x＋3|＝ 函数图象如图所示，则d(O，M)min＝3. 答案：2　3 学科网（北京）股份有限公司 $