第2章 2.2.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦直线方程核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到模型构建的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|两点式/截距式方程、斜率与倾斜角|直接应用公式，如第1题两点式求方程，强化概念理解| |进阶层（6-10题）|平行关系、反射问题、中点坐标|结合分类讨论（第4题截距为零情况），培养推理意识| |综合层（11-15题）|图形对称、最值问题、向量运算|融入几何图形（第15题菱形）与不等式求最值（第14题），发展模型观念|

1．已知直线l过点(1，－1)和(－3，1)，则直线l的方程为(　　) A．x＋2y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：选A.根据直线方程的两点式公式可得＝，化简可得x＋2y＋1＝0. 2．在x轴与y轴上截距分别为2，2的直线的倾斜角为(　　) A．150° B．135° C．90° D．45° 解析：选B.由题意可得直线方程为＋＝1，化简可得y＝－x＋2，所以直线的斜率为k＝－1，则直线的倾斜角为135°. 3．若直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)，则直线l2在x轴上的截距为(　　) A．3 B． C．－ D．－3 解析：选C.由题意直线l1的斜率为2，l1∥l2，则l2的斜率为2，得直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，即为y＝2x＋3.令y＝0，得x＝－，即直线l2在x轴上的截距为－. 4．过点A(2，1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＝1 B．x＋y＝3 C．x－2y＝0或x＋y＝3 D．x－2y＝0或x－y＝1 解析：选D.设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则a＋b＝0， ①若a＝b＝0，则直线过原点，则直线方程为x－2y＝0. ②若a≠0，b≠0，则b＝－a，则设直线方程为＋＝1，即＋＝1，则a＝1，所以直线方程为x－y＝1.综上所述，该直线方程为x－2y＝0或x－y＝1. 5．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为y＝x＋1，则直线PB的方程为(　　) A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－4＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－1＝0 解析：选C.如图，因为点P在直线x－y＋1＝0上，且横坐标为2，所以点P的坐标为(2，3)，点A为直线x－y＋1＝0与x轴的交点，所以A(－1，0)， 又点B在x轴上，且|PA|＝|PB|， 则点(2，0)是线段AB的中点，所以B(5，0)， 所以直线PB的方程为＝， 即x＋y－5＝0. 6．(多选)已知直线l过点(0，2)，(，1)，则(　　) A．直线l的斜率为－ B．直线l的两点式方程为＝ C．直线l经过点(2，0) D．直线l的截距式方程为＋＝1 解析：选BC.对于A，因为直线l过点(0，2)，(，1)，所以直线l的斜率为＝－，故A错误；对于B，直线l的两点式方程为＝，故B正确；对于C，因为(2，0)满足方程＝，故C正确；对于D，因为l：＝，整理得y－1＝－＋1，即＋＝1，故D错误． 7．已知入射光线经过点(3，1)被x轴反射后，反射光线经过点(0，2)，则反射光线所在直线方程为________． 解析：由题意利用反射定律可得，点(3，1)关于x轴的对称点(3，－1)在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为＝，化简可得x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 8．若直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点坐标为(3，1)，则直线l的截距式方程为________． 解析：依题知，直线l在x轴、y轴上的截距都存在且都不为0，设直线l的截距式方程为＋＝1(a，b≠0)，又线段AB的中点坐标为(3，1)，则＝3，＝1，即a＝6，b＝2，则直线l的截距式方程为＋＝1. 答案： ＋＝1 9．(2026·朝阳期中)若经过点(2，1)的直线l在x轴、y轴上的截距之比为4∶1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析：由题意可知，直线l不过原点，设直线l的方程为＋＝1，则则所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为××6＝. 答案： 10．(13分)已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，点A(－3，1)，B(2，－2)，C在y轴上． (1)求点C的坐标；(6分) (2)求△ABC斜边中线所在直线的方程．(7分) 解：(1)因为kAB＝＝－，且AB⊥AC，所以kAC＝.所以直线AC的方程为y－1＝(x＋3)，即5x－3y＋18＝0. 令x＝0，可得y＝6.所以点C的坐标为(0，6). (2)△ABC的斜边为BC，设BC中点为D，则D(1，2). 所以直线AD的方程为＝，即x－4y＋7＝0，所以△ABC斜边中线所在直线的方程为x－4y＋7＝0. 11．在平面直角坐标系Oxy中，曲线C：＋|y|＝1的周长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C.在曲线C的方程＋|y|＝1中，将x用－x或y用－y代换，曲线方程都没有变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为＋y＝1，表示以(，0)和(0，1)为顶点的线段，其长度为＝2，根据对称性知，其他三条线段的长度也为2，所以曲线C：＋|y|＝1的周长为4×2＝8. 12．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一个动点P(x，y)，则xy的最大值为________． 解析：直线AB的方程为＋＝1，动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y， 所以xy＝(3－y)y＝3y－y2＝－(y－2)2＋3≤3，即当点P的坐标为(，2)时，xy取最大值3. 答案：3 13．(13分)在平面直角坐标系Oxy中，过P(1，2)的直线l与两坐标轴交于A，B两点，△OAB的面积记为S. (1)当直线l在x轴上截距为4时，求S的值；(5分) (2)当S＝6时，求直线l在x轴上的截距．(8分)　 解：(1)当直线l在x轴上截距为4时，直线l过点(4，0)，又直线l过P(1，2)， 根据两点式，得＝，即2x＋3y－8＝0. 令x＝0，得y＝， 所以△OAB的面积S＝×4×＝. (2)由题知，截距一定不为0，不妨设直线l：＋＝1. 则得或 或或 所以直线l在x轴上的截距为3±，－3±. 14．(15分)已知直线l过点A(2，3)，且分别与x轴的正半轴交于M点、y轴的正半轴交于N点． (1)若A为MN的中点，求直线l的方程；(7分)　 (2)求|OM|＋2|ON|的最小值．(8分) 解： (1)由题意可设l的方程为＋＝1， 由A(2，3)为MN的中点可知：|OM|＝m＝4，|ON|＝n＝6， 故l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0. (2)设直线l：＋＝1(a，b>0)， 将(2，3)代入方程＋＝1，得＋＝1， 故|OM|＋2|ON|＝a＋2b＝(a＋2b)·(＋)＝2＋6＋＋≥8＋4， 当且仅当＝时取等号， 此时a＝2＋2，b＝3＋. 故|OM|＋2|ON|的最小值为8＋4. 15．已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|＝2，E为BC边上动点，则·的最小值为________． 解析：依题意，以直线AC，BD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， |OB|＝＝，A(－，0)，B(0，)，C(，0)，D(0，－)， 直线BC的方程为＋＝1， 设E(t，－t＋)，0≤t≤， 则＝(－－t，t－)，＝(－t，t－2)， 因此·＝t2＋t＋2t2－6t＋12＝3t2－5t＋12＝3(t－)2＋≥， 当且仅当t＝时取等号， 所以·的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $