第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中两条直线平行和垂直的判定核心知识点，从倾斜角、方向向量切入，系统梳理斜率存在时平行（斜率相等）与垂直（斜率乘积为-1）、斜率不存在时平行（均不存在）与垂直（一条不存在一条为0）的判定条件，结合实例构建从概念到应用的学习支架。 该资料以过山车情境激发兴趣，引导学生用数学眼光观察现实，通过思考问题链（如倾斜角与平行关系）培养数学思维推理能力，例题解析与分层练习强化数学语言表达。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固判定方法、查漏补缺，提升解决几何问题的能力。

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 课标要求　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　2.会运用条件判断两条直线是否平行或垂直．　3.运用两条直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 过山车是一种富有刺激性的游乐设施．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 思考1　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等． 思考2　平面中，两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1. 知识点一　两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应 关系 l1∥l2(l1，l2的斜率分别为k1，k2)⇔ k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3). 【解】　(1)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝＝－，k2＝＝－，则k1＝k2. 又kAC＝＝－4，所以k1≠kAC，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝. 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． 【感悟提升】　判断两条直线是否平行的步骤 注意　若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 　1.已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 解析：选B. kAD＝＝1，kBC＝＝1，由图可知A，B，C，D不共线，所以AD∥BC. 2．已知直线l1经过P(－1，0)，Q(a，2)两点，直线l2的方向向量为n＝(1，a)，若l1∥l2，则a＝ ________． 解析：当a＝－1时，直线l1的斜率不存在，而直线l2的斜率k2＝－1，显然不平行，故a≠－1，则直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝a. 因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝a，整理得a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1. 答案：1或－2 知识点二　两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜 率k1，k2都存在)⇔ k1k2＝－1 l1的斜率不存在， l2的斜率为0⇔ l1⊥l2 　判断下列两条直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)； (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)； (3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1). 【解】　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝－，因为k1k2＝－10×(－)＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)因为直线l1的方向向量为(1，2)，所以直线l1的斜率k1＝2.因为直线l2的方向向量为(2，－1)，所以直线l2的斜率k2＝－，k1k2＝2×(－)＝－1，所以l1与l2垂直． 【感悟提升】　判断两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行下一步． (2)二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率． (3)三判断：根据两斜率之间的关系进行判断． 注意　(1)判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断． (2)利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 　1.已知A(1，3)，B(－2，4)，C(3，6)，D(1，0)，则(　　) A．AB⊥BD B．AB⊥CD C．AC⊥CD D．BC⊥AD 解析：选B.kAB＝＝－，kCD＝＝3，kBC＝＝，kAC＝＝，kBD＝＝－，直线AD的斜率不存在，所以只有kAB·kCD＝－1，所以AB⊥CD，故B正确，其他选项错误． 2．(2026·中卫月考)已知直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ________． 解析：因为直线l1过A(1，3)，B(2，5)，所以直线l1的斜率为k1＝＝2，因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为k2＝－＝－. 答案：－ 应用点　平行与垂直的综合应用 　(对接教材例5) 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 【解】　四边形ABCD是直角梯形．证明如下： 由题意得kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3，所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为kBC·kCD＝kBC·kAB＝－1，所以BC⊥CD，BC⊥AB，综上，四边形ABCD是直角梯形． 母题探究　本题条件“B(1，1)”变为“B(x，y)”，当四边形ABCD是平行四边形时，求x，y. 解：由题意可得，kCD＝－，kAD＝－3，kAB＝＝，kBC＝，因为四边形ABCD是平行四边形， 所以所以解得 【感悟提升】　利用两条直线平行或垂直判断几何图形形状的步骤 (1)描点：在平面直角坐标系中描出给定的点． (2)猜测：根据描出的点，猜测图形的形状． (3)求斜率：根据给定的点的坐标求直线的斜率． (4)结论：由斜率之间的关系，判断形状． 　已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).　 (1)求点D的坐标； (2)试判断▱ABCD是否为菱形？ 解：(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以所以解得 所以D(－1，6). (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 1．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝tan 30°＝，且k1k2＝－1，所以k2＝－. 2．(多选)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　) A．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等 B．若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行 C．若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直 D．若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积为－1 解析：选BC.对于A，当l1，l2的斜率均不存在时，l1，l2也平行，故A错误； 对于B，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确； 对于C，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为－1，则两直线垂直，故C正确； 对于D，当l1，l2两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，l1，l2也垂直，故D错误． 3．(教材P57练习T2改编)已知过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，则m的值为________． 解析：由过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，得＝2，解得m＝1，所以m的值为1. 答案：1 4．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，所以m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1. 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：利用直线的斜率判断几何图形的形状时，一般先根据图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断；体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：研究两直线位置关系时，不要忽略直线斜率为0或不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $