第2章 2.1.1 倾斜角与斜率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从确定直线的条件切入，系统讲解倾斜角的定义与范围，进而通过倾斜角正切值定义斜率，推导两点斜率公式及方向向量关系，构建从概念到应用的完整知识支架。 该资料以泰山十八盘倾斜角实例引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题链引导抽象概念形成发展数学思维，结合图形分析与例题解析强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后通过练习题与感悟提升帮助学生查漏补缺。

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 课标要求　1.了解直线的倾斜角和斜率的概念．　2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．　3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 泰山为五岳之首，其十八盘更为有名．“拔地五千丈，冲霄十八盘．”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中．十八盘岩层陡立，倾斜角70°～80°，在不足1 km的距离内升高400米．你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？ 思考1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线或者一点和一个方向也可以确定一条直线． 思考2　回顾函数f(x)＝tan x的定义域，并画出在区间[0，)及(，π)内的图象，由此你能得出直线的斜率有什么特点？ 提示：定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}；其图象为，倾斜角是的直线没有斜率． 知识点一　直线的倾斜角 1．定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 　(1)已知直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α (2)已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________． 【解析】　(1)如图1，当l向上的方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上的方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. (2)因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角为(150°＋60°)－180°＝30°. 【答案】　(1)D　(2)30° 【感悟提升】　直线倾斜角的求法及注意点 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的取值范围． 　1.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析：选C.因为直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 2．如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则直线l3的倾斜角为________． 解析：由题意得，∠BCA＝30°，又l2⊥l1，l3平分∠BAC，所以直线l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. 答案：30° 知识点二　直线的斜率 1．定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α． 倾斜角是90°的直线没有斜率． 2．公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式k＝． 3．直线的方向向量：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)，则k＝． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应.(　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应.(　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　　) (4)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0，y0)，则l的斜率为.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2026·广东期末)某学校校园内有两栋教学楼，在同一平面直角坐标系中的坐标分别为P(3，4)和Q(－1，2)，则连接两栋楼的直线斜率为(　　) A． B．2 C．－ D．－2 解析：选A.由直线斜率的计算公式可得kPQ＝＝. 3．(2026·保定期中)如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项中正确的是(　　) A.k4<k3<k2<k1 B．k3<k4<k2<k1 C．k3<k4<k1<k2 D．k4<k3<k1<k2 解析：选C.设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α1，α2，α3，α4，由题知，0<α1<α2<<α3<α4<π，所以k3<k4<k1<k2. 4．若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的倾斜角为135°，则m＝________，该直线的一个方向向量μ＝________． 解析：＝tan 135°＝－1，故2m－3＝m－1，解得m＝2，该直线的一个方向向量μ＝(1，－1). 答案：2　(1，－1)(答案不唯一) 【感悟提升】　(1)由倾斜角(或倾斜角的取值范围)求斜率(或斜率的取值范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率，运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 应用点一　三点共线问题 　判断下列三点是否在同一条直线上： (1)A(－3，1)，B(2，－4)，C(3，0)； (2)D(5，－1)，E(－1，2)，F(－5，4). 【解】　(1)因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－，所以kAB≠kAC，所以A，B，C三点不在同一条直线上． (2)因为kDE＝＝－，kDF＝＝－，所以kDE＝kDF.又直线DE与直线DF有公共点D，所以D，E，F三点在同一条直线上． 【感悟提升】　用斜率公式解决三点共线的方法 　设m∈R，若三个不同的点A(2，0)，B(m，2)，C(2m－2，2－m)都在直线l上，则m的值为________． 解析：当m＝2时，A(2，0)，C(2，0)为同一点，不满足题意；当m≠2时，则＝，可得m＝－2，此时A(2，0)，B(－2，2)，C(－6，4)满足题意，所以m＝－2. 答案：－2 应用点二　求解范围问题 　(对接教材例1)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(，2)两点的线段总有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角θ的取值范围． 【解】　(1)由题意，在平面直角坐标系中画出线段AB及点P，连接PA，PB，如图， 由斜率公式可得kPA＝＝－1，kPB＝＝， 因为l与线段AB相交， 所以kPA≤k≤kPB，所以－1≤k≤. (2)由(1)可得，－1≤tan θ≤，由于y＝tan x在[0，)和(，π)上均单调递增，所以直线l的倾斜角θ的取值范围为[0，]∪[，π). 【感悟提升】　已知线段AB的端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则解题步骤如下： (1)连接PA，PB. (2)由斜率公式求出kPA，kPB. (3)结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 注意　如果在直线l的转动范围内有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率的两边；如果没有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率之间． 　1.已知A(－2，3)，B(1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是________． 解析： 如图，＝，则原问题可转化为过点C(0，－1)的直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率k的取值范围.连接AC，BC，则kBC＝＝3，kAC＝＝－2， 当l的倾斜角是锐角时，k>0，随着倾斜角的增大，斜率k由kBC＝3增大至正无穷； 当l的倾斜角是钝角时，k<0，随着倾斜角的增大，斜率k由负无穷增大至kAC＝－2. 所以k≥3或k≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[3，＋∞) 2．已知直线l经过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(3，－2)为端点的线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为________． 解析： kPA＝＝1，kPB＝＝－1，则可得直线PA，PB的倾斜角分别为，， 由图知，要使直线l与线段AB没有公共点，需使直线l的倾斜角θ满足<θ<， 即直线l的倾斜角的取值范围为(，). 答案：(，) 1．(2026·西城期中)过点A(2，1)，B(4，5)的直线的斜率为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D.由题意知kAB＝＝＝2. 2．(多选)在下列四个命题中，错误的是(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为－1，则此直线的倾斜角为135° C.若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 解析：选ACD.对于A，与y轴平行的直线没有斜率，故A错误；对于B，由题意可得直线的倾斜角的正切值为－1，所以直线的倾斜角为135°，故B正确；对于C，若一条直线的斜率为tan 300°，则斜率为－，其直线的倾斜角为120°，故C错误；对于D，若直线的倾斜角为90°，则直线无斜率，故D错误． 3．(教材P55 T5改编)已知点P(2，3)，Q(5，t)在直线l上，且直线l的一个方向向量是v＝(1，2)，则t＝________．　 解析：由直线l的一个方向向量是v＝(1，2)，可知直线l的斜率为k＝2，所以＝2，解得t＝9. 答案：9 4．(2026·广州月考)已知A(1，2)，B(2，1)，C(0，m)三点． (1)若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值； (2)若A，B，C三点共线，求m的值． 解：(1)由题意kAC＝2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1. (2)kAB＝＝－1， 因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC， 即2－m＝－1，解得m＝3. 1．已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式，直线斜率与方向向量的关系． 2．须贯通：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率． 3．应注意：正确理解斜率和倾斜角的关系，结合图形处理问题，不要忽视倾斜角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $