第1章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究线线、线面、面面夹角这一核心知识点，从黄赤交角现实情境引入，通过思考辨析向量夹角与空间角的关系，明确公式推导，结合圆锥、四棱锥等例题及练习，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以现实情境激发兴趣，用问题链引导深度思考，培养数学眼光与思维。通过坐标法等解题示例，强化数学语言表达，课中助力教师清晰授课，课后学生可借例题解析与练习查漏补缺，提升空间向量应用能力。

第2课时　用空间向量研究夹角问题 课标要求　1.会用向量法求线线、线面、面面夹角．　2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，在地球公转的同时地球自身也绕“地轴”自转，地轴与地球的赤道面垂直，黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”，黄赤交角约为23°26′.本节课我们就探究下空间中的夹角问题． 思考1　两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角有什么关系？ 提示：异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系． 思考2　直线的方向向量与平面的法向量的夹角是直线与平面所成的角吗？ 提示：不是．直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成的角有可能互余，也有可能相差. 思考3　两个平面的夹角与两个平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两个平面的夹角是两个平面的法向量的夹角或其补角． 思考4　两个平面的夹角与二面角是一个概念吗？ 提示：不是，两个平面的夹角的取值范围是[0，]，二面角的取值范围是[0，π]. 知识点一　两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos_〈u，v〉|＝＝． 　如图，已知圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点． (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值． 【解】　(1)因为圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，可得SA＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π. (2) 连接OQ，由题意，以O为原点，OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，OS所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意可得SO＝2， 则S(0，0，2)，O(0，0，0)，A(0，2，0)，Q(2，0，0)，P(0，1，)， 则＝(0，0，－2)，＝(2，－1，－)，所以cos 〈，〉＝＝＝. 设异面直线PQ与SO所成的角为θ，θ∈，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝，故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 【感悟提升】　用空间向量求两异面直线所成角的方法 (1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为直线a，b的方向向量，则cos θ＝(θ为a与b所成的角)，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算． (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出两异面直线的方向向量的坐标，利用公式计算方向向量的夹角，再结合异面直线所成角的范围，得出异面直线所成的角． 注意　异面直线所成的角的范围是. 　1.已知直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，若l1与l2所成的角为60°，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：选C.因为直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，l1与l2所成的角为60°，所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝cos 60°＝，解得m＝±1. 2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，则该直三棱柱的侧面积为________． 解析： 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝a(a>0)，则C(0，1，0)，A1(0，0，a)，B1(1，0，a)，C1(0，1，a)，＝(1，－1，a)，＝(0，－1，0)， 因为异面直线CB1与C1A1所成的角为60°， 所以＝cos 60°，即＝，解得a＝(负值已舍去)， 所以该直三棱柱的侧面积为2××1＋×＝2＋2. 答案：2＋2 知识点二　直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos_〈u，n〉|＝＝． 　(2026·云南期末) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AD⊥PB，AB＝AD＝PB＝2CD＝2，PA＝PD＝. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD； (2)求直线PA与平面PCD所成角的正切值． 【解】　(1)证明：取AD中点O，连接PO，BO，则AO＝AD＝1，因为PA＝PD＝， 则PO⊥AD，PO＝＝1， 由AD⊥PB，PO∩PB＝P且PO，PB⊂平面POB，则AD⊥平面POB， 由BO⊂平面POB，则AD⊥BO， 在Rt△ABO中，BO＝＝， 则PB2＝BO2＋PO2，故BO⊥PO，由PO⊥AD，PO⊥BO，AD∩BO＝O且AD，BO⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD. (2)由(1)知OP，OA，OB两两垂直，可构建以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，所以P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(－，，0)，D(－1，0，0)，则＝(1，0，－1)，＝(1，0，1)，＝(，－，0)， 设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量， 则 取y＝1，则n＝(，1，－)， 设直线PA与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 故cos θ＝＝， 所以tan θ＝＝＝. 所以直线PA与平面PCD所成角的正切值为. 【感悟提升】　向量法求线面角的基本步骤 注意　直线与平面所成的角的范围为[0，]. 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点． (1)求证：A1B⊥B1C； (2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值． 解：(1)证明：连接AB1，因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以AC⊥AA1，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABA1，所以AC⊥平面ABA1，又A1B⊂平面ABA1，则A1B⊥AC. 因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1， 因为AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面ACB1，所以A1B⊥平面ACB1， 又B1C⊂平面ACB1，则A1B⊥B1C. (2)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，所以AB，AC，AA1两两垂直， 所以以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0). 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 则 令a＝1，可得n＝(1，－1，2). 设直线A1B与平面AEF所成的角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 即直线A1B与平面AEF所成角的正弦值为，所以直线A1B与平面AEF所成角的余弦值为. 知识点三　平面与平面的夹角(二面角) 1．两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 　如图所示，已知多面体ABCDEP中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，＝. (1)证明：CE∥平面PAB； (2)若AB＝AP＝2，求二面角B-PC-E的余弦值． 【解】　(1)证明：因为＝，故DE∥PA， 因为PA⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，所以DE∥平面PAB. 因为四边形ABCD是正方形，所以CD∥AB， 因为AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB， 因为CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE， 所以平面CDE∥平面PAB， 又CE⊂平面CDE，所以CE∥平面PAB. (2) 因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，所以，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)，所以＝(0，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－2，0，1)， 设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)， 则 故可取m＝(1，0，1)； 设平面PCE的法向量为n＝(a，b，c)， 则 故可取n＝(1，1，2). 则cos 〈m，n〉＝＝＝， 由图知二面角B-PC-E为钝二面角，故二面角B-PC-E的余弦值为－. 【感悟提升】　向量法求两平面的夹角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标． (2)求出两个平面的法向量n1，n2. (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 注意　(1)平面与平面的夹角的范围是. (2)若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解． 　如图所示，AE⊥平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BC∥AD，BA⊥AD，AE＝AD＝2AB＝2BC＝4. (1)求证：CF∥平面ADE； (2)求平面CDF与平面AEFB夹角的正弦值． 解：(1)证明：因为四边形AEFB为矩形，所以BF∥AE. 又BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE.又BC∥AD，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE. 又BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCF， 所以平面BCF∥平面ADE. 又CF⊂平面BCF，所以CF∥平面ADE. (2) 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，F(2，0，4)，所以＝(0，4，0)，＝(－2，2，0)，＝(0，－2，4). 设n＝(x，y，z)是平面CDF的法向量， 则即 令y＝2，则x＝2，z＝1， 所以平面CDF的一个法向量为n＝(2，2，1)， 又是平面AEFB的一个法向量， 所以|cos 〈n，〉|＝ ＝＝， 所以平面CDF与平面AEFB夹角的正弦值为＝. 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设两条异面直线l1与l2所成的角为θ，0＜θ≤，则θ＝π－＝. 2．(多选)如果a，b分别是平面α，β的一个法向量，设α，β夹角的大小为θ，以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，则(　　) A．sin θ＝sin 〈a，b〉 B．cos θ＝cos 〈a，b〉 C．cos φ＝sin 〈a，b〉 D．sin φ＝cos 〈a，b〉 解析：选AC.因为a，b分别是平面α，β的一个法向量，α，β夹角的大小为θ，所以θ，〈a，b〉相等或互补，所以sin θ＝sin 〈a，b〉，故A正确； 所以cos θ＝|cos 〈a，b〉|，故B错误； 因为以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，所以sin φ＝|cos 〈a，b〉|，故D错误； 因为cos φ＝＝＝sin 〈a，b〉，故C正确． 3．(教材P41T3改编)点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，A(2，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，设平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________． 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－2，4，0)，＝(－2，0，2)， 则得 取y＝1，则x＝2，z＝2，所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2). 又平面ABO的法向量可取＝(0，0，2)， 所以cos θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. 答案： 4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P为DF的中点． (1)证明：BF∥平面APC； (2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接PO. 因为四边形ABCD为矩形，所以OB＝OD， 因为P，O分别为DF和BD的中点，所以BF∥PO，又PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，所以BF∥平面APC. (2)因为AF⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD. 因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD， 故以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，2，0)，E(，0，1)，P(0，1，)，＝(1，2，0)，＝(0，1，)，＝(，2，－1). 设平面APC的法向量为m＝(x，y，z)， 则令y＝－1， 则x＝2，z＝2，得m＝(2，－1，2). 设直线EC与平面APC所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，所以直线EC与平面APC所成角的正弦值为. 1．已学习：利用空间向量求两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角(二面角). 2．须贯通：利用空间向量求空间角体现了数形结合和转化与化归的思想方法． 3．应注意：两个向量的夹角与空间角之间的关系，能正确理解空间角的概念；三种空间角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $