第1章 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究距离问题，系统梳理点到直线、点到平面距离的向量解法，通过复习向量数量积与投影向量铺垫基础，再推导公式并将线面、面面距离转化为点到平面距离，构建完整知识支架。 以“惊喜礼物”情境导入，激发学生用数学眼光观察空间问题，通过思考链引导关联旧知培养数学思维，结合长方体、直三棱柱等实例解析，规范用向量表达距离求解过程。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾方法、查漏补缺，强化转化与化归思想。

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 课标要求　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、直线到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．　2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 这一节课老师为同学们准备了一个“惊喜礼物”，礼物放在讲台上，获得礼物的规则如下： 以墙角为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，只要能求出礼物所在点到黑板上沿直线l，或者到窗户所在面α的距离，就能获得此礼物．要想成功获得此礼物，需要用到本节课的知识． 思考1　前面我们学习了向量的数量积及a在b上投影向量的模，请你用公式表达出来． 提示：向量的数量积：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；a在b上投影向量的模为. 思考2　空间中有哪些距离问题？ 提示：两点间距离、点线距、线线距、点面距、线面距、面面距． 思考3　我们该如何用空间向量解决这些问题？ 提示：借助空间向量的模． 知识点一　点到直线的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝． 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，求点E到直线D1C的距离． 【解】　建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，C(0，2，0)，E(1，1，0)， 所以＝(1，1，－1)，＝(0，2，－1)， 所以||＝，||＝＝，与同方向的单位向量为u0＝(0，，－)， 所以点E到直线D1C的距离为 ＝＝. 【感悟提升】　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量(或单位方向向量). (3)找出所求点P与直线上点A所构成的向量. (4)利用公式d＝＝，计算点到直线的距离． 　1.已知空间内有三点E(2，1，1)，F(1，2，2)，P(3，1，－4)，则点P到直线EF的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意得，＝(－1，1，1)，则与同方向的单位向量为u＝(－，，)，又＝(1，0，－5)，则点P到直线EF的距离为d＝＝＝. 2．已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，若z轴上一点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为________． 解析：设点M(0，0，z)，则＝(－1，0，z－2)，＝(0，1，－1)，则方向上的单位向量为e＝(0，，－)，由点M到直线AB的距离为d＝＝＝1， 解得z＝2，故点M(0，0，2). 答案：(0，0，2) 知识点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝． 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． (1)求平面AB1C的法向量； (2)求点B到平面AB1C的距离． 【解】　(1)由题可知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，则＝(2，0，2)，＝(0，2，0)， 设平面AB1C的法向量为m＝(x，y，z)， 则所以y＝0，取x＝1，得z＝－1，则m＝(1，0，－1)，即平面AB1C的一个法向量为m＝(1，0，－1)(答案不唯一，写出与m平行的向量即可). (2)点B(2，0，0)，则＝(2，0，0)，由(1)知，平面AB1C的一个法向量为m＝(1，0，－1)，则点B到平面AB1C的距离为d＝＝＝. 【感悟提升】　用向量法求点到平面的距离的步骤 　如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝3. (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离． 解：(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PC⊥AD，又因为CD⊥AD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD⊂平面PAD， 所以平面PCD⊥平面PAD. (2) 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，2，0)，A(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，0，3)，所以＝(2，0，0)，＝(－2，－2，3)，＝(0，－2，0)， 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 解得y＝0，令x＝3，得z＝2，则n＝(3，0，2)， 所以点B到平面PAD的距离为d＝＝＝. 知识点三　线面、面面的距离 　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)证明：平面BFC1∥平面AED1； (2)求平面BFC1到平面AED1的距离． 【解】　(1)证明：由题意知，A(1，0，0)，B(1，1，0)，E(0，，0)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，F(1，，1)， ＝(0，－，1)，＝(0，－，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，所以∥，∥， 即BF∥ED1，BC1∥AD1.又BF⊄平面AED1，ED1⊂平面AED1，所以BF∥平面AED1， 同理得BC1∥平面AED1.又BF∩BC1＝B，BF，BC1⊂平面BFC1，所以平面BFC1∥平面AED1. (2)设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，，0)，所以 令x＝1，则y＝2，z＝1，所以n＝(1，2，1). 由平面与平面平行的性质可知，平面BFC1到平面AED1的距离即为点F到平面AED1的距离，由(1)得＝(1，0，1)，所以点F到平面AED1的距离d＝＝， 即平面BFC1到平面AED1的距离为. 【感悟提升】　求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均可转化为求点到平面的距离． 方法如下： (1)如果直线l与平面α平行，那么可在直线l上任取一点P，将直线l到平面α的距离转化为点P到平面α的距离． (2)如果两个平面α，β平行，那么可在平面α内任取一点P，将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离． 　如图所示，已知四棱锥的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥AD，PC＝，PD＝1，E，F分别是AB，BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离． 解：因为PD＝CD＝1，PC＝，所以PD⊥CD. 又PD⊥AD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD， 所以PD⊥平面ABCD. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，A(1，0，0)，E(1，，0)，F(，1，0)， ＝(1，，－1)，＝(，1，－1)， 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝2，则x＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3). 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以AC∥EF，又AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，设点A到平面PEF的距离为d，因为＝(1，0，－1)， 则d＝＝，即直线AC到平面PEF的距离为. 1．在空间直角坐标系中，直线l经过点P(2，－1，－2)，且其方向向量n＝(1，2，－1)，则点M(1，0，－2)到直线l的距离为(　　) A． B． C．3 D． 解析：选D.由题意可得与n同向的单位向量v＝＝(1，2，－1)，a＝＝(－1，1，0)，a2＝2，a·v＝，点M到直线l的距离d＝＝＝. 2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，m)到平面α的距离为，则实数m的值可能为(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 解析：选AC.由点A(－1，3，0)，P(－2，1，m)，可得＝(－1，－2，m). 因为平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，且点P到平面α的距离为，可得＝＝，解得m＝4或m＝－16. 3．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________． 解析：依题意，平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，而＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离d＝＝＝. 答案： 4．(教材P35T2改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，B1C1的中点． (1)求点F到直线A1C的距离； (2)求点F到平面A1CE的距离． 解：(1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，＝(－2，2，－2)，||＝＝2，令u＝＝(－2，2，－2). 又＝(1，0，2)，所以2＝12＋02＋22＝5，·u＝(－2＋0－4)＝－， 设点F到直线A1C的距离为d， 则d＝＝＝. (2)设平面A1CE的法向量为n＝(x，y，z)，E(2，1，0)， 则＝(0，1，－2)， 则 令z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1). 又＝(1，0，2)， 所以点F到平面A1CE的距离为＝＝. 1．已学习：点线、点面、线面、面面的距离． 2．须贯通：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离体现了数形结合思想，而线面距、面面距转化为点到平面的距离，则体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：要对距离公式理解到位，在使用时不能生硬套用． 学科网（北京）股份有限公司 $