第1章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“空间中直线、平面的平行”核心知识点，通过观察旗杆与平台等现实情境引出方向向量与法向量的位置关系，系统梳理线线平行（方向向量平行）、线面平行（方向向量与法向量垂直）、面面平行（法向量平行）的向量表示及证明方法，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察现实情境激发探究，通过思考问题引导“数学思维”构建向量关系逻辑，例题中坐标法与向量分解法结合培养推理能力，“感悟提升”总结方法助于“数学语言”精确表达。课中辅助教师清晰授课，课后练习题与总结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　空间中直线、平面的平行 课标要求　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．　2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系． 观察图片，旗杆底部的平台与地面平行，旗杆所在的直线与护旗战士所在的直线平行，旗杆所在的直线与竖直楼面平行．试想，其中涉及的直线的方向向量与平面的法向量各自是什么位置关系？ 思考1　两条直线平行，则两条平行直线的方向向量有什么关系？ 提示：平行． 思考2　直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 提示：垂直． 思考3　两个平面平行，则两个平面的法向量有什么关系？ 提示：平行． 知识点一　直线与直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 【证明】　方法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示， 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，E(0，1，)，N(0，，)，M(，，0)， 所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，)， 所以＝， 又M，N∉AP，故MN∥AP. 方法二：由题意可得，＝＋ ＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋＋ ＝＋＝(＋)＝， 又M，N∉AP，所以MN∥AP. 【感悟提升】　证明直线平行的两种思路 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明： 如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，D1(0，0，c)，B1(a，b，c)，B(a，b，0)，A1(a，0，c). 由D1E＝2EB1，即＝2， 可得E(a，b，c)， 由BF＝2FA1，即＝2， 可得F(a，，c). 因为＝(－，，)，＝(－a，b，c)， 所以＝. 又EF与AC1不共线，所以EF∥AC1. 知识点二　直线与平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 　(对接教材例3)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1⊥平面ABCD，AB＝2A1B1，DD1＝1，P为AB的中点．求证：D1P∥平面BCC1B1. 【证明】　因为底面ABCD是边长为2的正方形，DD1⊥平面ABCD，故DD1，DA，DC两两垂直． 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，DD1＝1，P为AB的中点， 故D1(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，1，1)，P(2，1，0)， 则＝(2，1，－1)，＝(－2，－1，1)， 所以＝－，即D1P∥BC1， 且D1P⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，故D1P∥平面BCC1B1. 【感悟提升】　利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点，AB＝AC＝AA1＝2.求证：EF∥平面ABC. 证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，且AC⊥AB，则A1C1⊥A1B1. 以点A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(2，0，2)，A1(0，0，0)，D(0，1，0)，E(1，0，0)，F(1，，1)，则＝(0，，1)， 平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)， 则·m＝0，故⊥m， 因为EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC. 知识点三　平面与平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 　如图， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明：平面MNP∥平面CC1D1D. 【证明】　 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 易知＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 且即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D. 【感悟提升】　利用空间向量证明面面平行的思路与方法 (1)先求两个平面的法向量，再证明两个法向量共线，给出几何结论． (2)先求一个平面的法向量，再证明该法向量也是另一个平面的法向量． 　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明：因为△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，所以PA⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥平面ABCD.又四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)，所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即得 所以y1＝0，令z1＝1，则x1＝1，所以n1＝(1，0，1). 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则n2⊥，n2⊥， 即得 令z2＝1，得x2＝1，所以n2＝(1，0，1). 因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC. 1．(教材P33 T1(1)改编)已知直线l的一个方向向量为e＝(1，－2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，λ，－1)，若l∥α，则λ＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：选C.因为l∥α，所以e⊥n，故e·n＝(1，－2，－2)·(2，λ，－1)＝2－2λ＋2＝0，解得λ＝2. 2．(多选)已知向量m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c＝(1，0，－2)为直线l的方向向量，且l⊄β，则(　　) A．α∥β B．l∥β C．l⊥α D．α⊥β 解析：选AB.因为m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)，所以n＝－2m，所以α∥β，A正确，D错误；因为c·n＝0，且l⊄β，所以l∥β，B正确；因为c·m＝0，所以l∥α或者l⊂α，C错误． 3．设平面α，β的法向量分别为(1，2，－2)，(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________． 解析：因为α∥β，所以平面α，β的法向量互相平行，所以＝＝，解得k＝4. 答案：4 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD，点E是PC的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2.求证：BE∥平面PAD. 证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AD＝PD＝1，CD＝2， 点E是PC的中点， 所以D(0，0，0)，C(0，2，0)，B(1，1，0)，E(0，1，)， 则＝(－1，0，)， 因为DC⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为＝(0，2，0). 因为·＝0，所以⊥， 因为BE⊄平面PAD， 所以BE∥平面PAD. 1．已学习：线线平行、线面平行与面面平行的向量表示及应用． 2．须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的平行关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：通过向量和平面平行直接得到线面平行，易忽略直线不在平面内的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $