第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间中点、直线、平面的向量表示，系统梳理点的位置向量、直线方向向量（含向量表示式）、平面法向量的概念，以及方向向量（两点坐标差）和法向量（待定系数法）的求法，为用空间向量研究位置关系搭建学习支架。 资料以油纸伞舞蹈等现实情境引入，引导学生用数学眼光观察空间问题，通过思考问题培养数学思维，结合例题（如四棱锥建系求坐标）用向量语言表达，课中助教师授课，课后助学生巩固查漏，提升核心素养。

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 课标要求　1.会用向量语言描述直线和平面．　2.理解直线的方向向量和平面的法向量．　3.会求直线的方向向量和平面的法向量． 油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂．观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙为何却说彩灯在他的右上方？当伞柄的方向改变时，伞面的位置是否也在改变？ 思考1　在空间中，如何确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线． 思考2　如何用一定点和一个定方向确定一个平面？ 提示：过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的． 知识点一　空间中点、直线的向量表示 1．点的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①将＝a代入①式，得＝＋t．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)E的坐标； (2)直线CE的一个方向向量． 【解】　 如图所示，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则P(0，0，1)，D(0，，0)，C(1，，0)， (1)因为E为PD的中点， 所以E的坐标为(0，，). (2)＝(－1，－，)，即为直线CE的一个方向向量． (注意：建系不同，答案不同) 【感悟提升】　(1)直线的方向向量为非零向量． (2)直线的方向向量有无数个，如果a是直线的方向向量，则λa(λ≠0)必是直线的方向向量．求一条直线的方向向量，可以在该直线上取两点A，B，则即为该直线的一个方向向量． 　　　　　　　　　　　　　　　 　(2026·漯河月考)已知直线l经过A(－1，2，5)，B(1，－1，n)两点，向量a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，则n＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C.由点A(－1，2，5)，B(1，－1，n)， 可得＝(2，－3，n－5). 因为a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量， 所以存在实数λ，使得＝λa， 则解得 知识点二　空间平面的向量表示 1．空间中平面的向量表示如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y． 把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的 方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)零向量可以作为平面的法向量．(　　) (2)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (3)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　) (4)如果向量a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－1，2，－2)，且α经过坐标原点O和点A(2，a，2)，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选B.由n⊥⇒(－1，2，－2)·(2，a，2)＝0⇒－2＋2a－4＝0⇒a＝3. 3．(2026·天津模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是(2，0，2)，(2，1，0)，(0，4，－1)，(0，6，m)，若A，B，C，M四点共面，则m＝________． 解析：因为A，B，C，M四点共面， 所以＝＋x＋y， 则(0，6，m)＝(2，0，2)＋x(0，1，－2)＋y(－2，4，－3)， 所以解得 答案：－5 【感悟提升】　(1)平面的法向量所在的直线垂直于该平面内的任何直线． (2)平面的法向量有无数个，且它们相互平行． 知识点三　求平面的法向量 　(对接教材例1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的一个法向量； (2)求平面A1BC的一个法向量． 【解】　易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2). (1)＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)， 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝(1，1，0)， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)(答案不唯一). (2)＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)， 设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝y2＝2，故z2＝1，则m＝(2，2，1)， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1)(答案不唯一). 【感悟提升】　待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，； (3)列方程组：由n⊥，n⊥，列出方程组　 (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； (6)得结论：得到平面的一个法向量． 　1.已知A(1，2，3)，B(0，1，2)，C(3，1，1)，若平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n＝________． 解析：因为A(1，2，3)，B(0，1，2)，C(3，1，1)， 可得＝(1，1，1)，＝(3，0，－1). 因为平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则解得 所以n＝(，－，1). 答案：(，－，1) 2．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．求证：是平面A1D1F的一个法向量． 证明： 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2，0，0)，F(0，1，0)，E(2，2，1)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)， 所以＝(0，2，1)，＝(－2，1，－2)，＝(0，1，－2). 因为·＝0，·＝0， 所以AE⊥A1F，AE⊥D1F. 又因为A1F∩D1F＝F，A1F，D1F⊂平面A1D1F，所以AE⊥平面A1D1F. 所以是平面A1D1F的一个法向量． 1．若P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 解析：选C.依题意，直线l的一个方向向量为＝(3，1，1)－(1，0，－2)＝(2，1，3). 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)，若AB⊂α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析：选C.由题意可知⊥n，故·n＝(2，4，x)·(1，y，3)＝2＋4y＋3x＝0. 3．若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 解析：因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b. 因此＝＝(y≠0)， 解得x＝－，y＝－4，所以x＋y＝－. 答案：－ 4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD的一个法向量． 解：因为底面ABCD是直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝， 所以AD∥BC，则∠BAD＝90°. 又因为SA⊥底面ABCD， 所以SA，AD，AB两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)， 则＝(，1，0)，＝(－，0，1)， 设n＝(x，y，z)为平面SCD的法向量， 则 取x＝2，则y＝－1，z＝1，所以平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)(答案不唯一). 1．已学习：空间中点、直线、平面的向量表示；直线的方向向量与平面的法向量． 2．须贯通：(1)利用待定系数法求平面的法向量； (2)利用空间向量表示点、直线、平面，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：理解直线的方向向量和平面的法向量的不唯一性． 学科网（北京）股份有限公司 $