第1章 1.4.1 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本同步练聚焦空间向量的法向量与方向向量，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|法向量概念、方向向量坐标表示|单选直接考查定义，填空强化基本运算，培养空间观念| |中档层|向量垂直判定、线面位置关系|解答题结合正方体求单位向量，多选分析交线方向向量，发展推理能力| |综合层|多面体中法向量综合应用|解答题证明法向量并计算面积，填空基底表示法向量，提升模型观念|

1．在空间直角坐标系中，坐标平面Oyz的一个法向量可以是(　　) A．n＝(0，0，1) B．n＝(0，1，0) C．n＝(1，0，0) D．n＝(1，1，1) 解析：选C.在空间直角坐标系中，x轴垂直于平面Oyz，故平面Oyz的一个法向量可以是n＝(1，0，0). 2．(2026·惠州期中)已知点A(－1，0，1)，B(a，a＋1，a－1)，若平面ABC的一个法向量为n＝(1，－1，2)，则||＝(　　) A． B．3 C．3 D． 解析：选B.由点A(－1，0，1)，B(a，a＋1，a－1)，可得＝(a＋1，a＋1，a－2). 因为平面ABC的一个法向量为n＝(1，－1，2)，所以·n＝0，即1×(a＋1)＋(－1)×(a＋1)＋2×(a－2)＝0，解得a＝2. 所以＝(3，3，0)，||＝＝3. 3．若n＝(1，－1，－2)是平面α的一个法向量，则下列向量也可以作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，－2，4) C．(，－，1) D．(－，，1) 解析：选D.因为法向量不是零向量，所以A不符合题意； 因为＝≠，所以B不符合题意； 因为＝≠，所以C不符合题意； 因为(－，，1)＝－(1，－1，－2)，所以(－，，1)也可以作为平面α的法向量，所以D符合题意． 4．在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，－1)且以μ＝(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是(　　) A．＝＝ B．＝＝ C．＝＝ D．＝＝ 解析：选C.依题意，＝(x－1，y，z＋1)，∥μ，则＝＝，所以点M的坐标满足的关系式是＝＝. 5．已知点P0(－1，2，3)在平面α内，n＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　) A．(2，－4，8) B．(3，8，5) C．(－2，3，4) D．(3，－4，1) 解析：选B.设P(x，y，z)是平面α内的一点，则＝(x＋1，y－2，z－3)，所以n·＝(x＋1)－(y－2)＋(z－3)＝0，即y＝x＋z，选项B满足题意． 6．(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B.直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 解析：选ABC.设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确； 连接AD1(图略)，因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确； 因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；　 因为＝(1，1，1)，＝(1，0，0)，·≠0，故AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误． 7．已知△ABC的三个顶点分别为A(3，3，1)，B(1，1，5)，C(0，1，0)，则AB边上的中线的一个方向向量为________． 解析：由于△ABC的三个顶点分别为A(3，3，1)，B(1，1，5)，C(0，1，0)， 则线段AB的中点坐标为D(，，)， 即D(2，2，3). 所以AB边上的中线的一个方向向量为＝(2，1，3).　 答案：(2，1，3)(答案不唯一) 8．在空间直角坐标系中，已知向量u＝(1，1，1)，点P0(1，1，1)，点P(x，y，z).若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，则点P的坐标满足的关系式为_____________________________________________． 解析：由题意得＝(x－1，y－1，z－1)，若平面α经过点P0，且以u为法向量，则u·＝(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＝0，即点P的坐标满足的关系式为x＋y＋z－3＝0. 答案：x＋y＋z－3＝0 9．已知向量b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则点E的坐标为________． 解析：＝(－2，－2，2)－(－3，－1，4)＝(1，－1，－2)， 因为E在直线AB上，设＝t， 则＝(t，－t，－2t)，＝＋＝(－3，－1，4)＋(t，－t，－2t)＝(－3＋t，－1－t，4－2t). 因为⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得t＝，因此存在点E，使得⊥b， 此时点E的坐标为(－，－，). 答案：(－，－，) 10．(13分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)直线DB1的一个单位方向向量；(6分) (2)平面BDEF的一个法向量．(7分) 解：(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，2)，B1(2，2，2)，则直线DB1的一个方向向量为＝(2，2，2)，而||＝2， 所以直线DB1的一个单位方向向量为 n＝(2，2，2)＝(，，).(答案不唯一) (2)由(1)可得＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，设平面BDEF的法向量为m＝(x，y，z). 所以即 令x＝2，则y＝－2，z＝－1， 所以平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1).(答案不唯一) 11．已知向量＝(1，2，3)，＝(2，m，3)，＝(4，2，k)，若是平面ABC的法向量，则mk的值是(　　) A．3 B．2 C．6 D．4 解析：选A.由题可得＝－＝(1，m－2，0)，＝－＝(3，0，k－3)， 又为平面ABC的法向量， 所以·＝1×1＋2×(m－2)＋3×0＝2m－3＝0，解得m＝， ·＝1×3＋2×0＋3×(k－3)＝3k－6＝0，解得k＝2，所以mk＝3. 12．(多选)已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(　　) A．(1，0，1) B．(0，1，0) C．(0，2，0) D．(3，0，3) 解析：选BC.平面α，β交线的方向向量应该与a和b同时垂直，对于A，a·(1，0，1)＝(2，0，2)·(1，0，1)＝4≠0，A错误； 对于B，a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，B正确； 对于C，a·(0，2，0)＝(2，0，2)·(0，2，0)＝0，b·(0，2，0)＝(3，0，0)·(0，2，0)＝0，C正确； 对于D，a·(3，0，3)＝(2，0，2)·(3，0，3)＝12≠0，D错误． 13．(13分)已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上两点. (1)求直线l的一个方向向量；(5分) (2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上．(8分) 解：(1)直线l的一个方向向量为＝(1，－2，2).(答案不唯一) (2)由已知得＝(2，1，2). 设＝λ，λ∈R， 即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)， 所以λ无解，即这样的λ不存在，即向量与不共线．故点M不在直线l上． 14．(15分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1). (1)求证：是平面ABCD的法向量；(7分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(8分) 解：(1)证明：·＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A， 所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量． (2)因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝2×4＋(－1)×2＋(－4)×0＝6， 所以cos 〈，〉＝＝ ， 又〈，〉∈(0，π)， 故sin 〈，〉＝ ， S▱ABCD＝||·||sin 〈，〉×2 ＝8. 15．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CC1＝2CD＝2，＝a，＝b，＝c，则平面BC1D的一个法向量为 ________．(用a，b，c表示) 解析：易知{a，b，c}可以作为空间的一个基底，且a·b＝1×1×cos 60°＝，a·c＝b·c＝1×2×cos 60°＝1，而＝－＝a－b，＝－＝c－b， 设平面BC1D的一个法向量为m＝xa＋yb＋zc，则由 即 化简得可取x＝6，y＝6，z＝－1， 故m＝6a＋6b－c，因此平面BC1D的一个法向量为m＝6a＋6b－c. 答案：6a＋6b－c(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $