第2章 2.3.3 点到直线的距离公式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式，通过“乡村饭馆铺路”现实问题导入，结合问题思考从两点间距离过渡到垂线段最短，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过坐标法、向量法推导公式提升数学运算与逻辑推理素养，设置即时练、参数求解及最值问题（如例2将代数式最值转化为点到直线距离），运用数形结合培养数学思维。课堂小结强调公式应用与数形结合，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

2．3.3　点到直线的距离公式 课标要求 1.通过坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，提升数学运算与逻辑推理素养． 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 返回首页 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路．请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 返回首页 新课导入 思考　已知点P和直线l，点P到直线l上任意一点的距离，都可以用两点间的距离公式计算，那么这些距离中的最小值该如何求？ 提示：这个最小值就是点P到直线l的垂线段长度，可通过坐标、斜率或向量思路，推导出统一的计算公式． 返回首页 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点　点到直线的距离 第一部分 6 1．定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是______． 2．图示： 3．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝__________________． 垂足 返回首页 即时练 × × √ × 返回首页 C　 返回首页 3．两条直线l1：x－y＋3＝0与l2：2x＋y＝0的交点到直线x＋y－3＝0的距离为________． 返回首页 4．(2026·延庆期中)已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，则△ABC的边AC上的高的长度为________． 返回首页 【感悟提升】　(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. 返回首页 应用点一　由点到直线的距离求参数 例1　(1)(2026·盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a＝(　　) A．－2 B．－8 C．－2或－8 D．2 B　 返回首页 (2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为__________________________________． x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 返回首页 【感悟提升】　(1)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． (2)根据距离求直线方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程． 返回首页 训练 返回首页 2．(2026·聊城期中)若以A(1，1)，B(3，5)和y轴上一点P为顶点的三角形的面积为5，则点P 的纵坐标为________． 4或－6 返回首页 A　 返回首页 (2)点(0，－1)到直线λx－y＋λ＝0(λ∈R)距离的最大值为________． 返回首页 返回首页 【感悟提升】　(1)有关代数式的最值问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)点到过定点的直线的最大距离就是该点到定点的距离． 返回首页 　　　1.实数a，b满足a＋b＋1＝0，则a2－2a＋b2的最小值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 训练 B　 方法二：由a＋b＋1＝0，得b＝－1－a，所以a2－2a＋b2＝a2－2a＋(－1－a)2＝2a2＋1， 依据二次函数的性质2a2＋1的最小值为1. 返回首页 2．若点P(－2，－1)到直线l：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离取最大值时，则λ＝________． 返回首页 返回首页 课堂巩固自测 B　 返回首页 AC　 返回首页 3．点A(3，1)到直线l：y＝k(x－1)的距离的最大值为________． 返回首页 4．(教材P79 T11改编)在直线l：y＝x上求一点P，使得以A(1，3)，B(2，5)和P为顶点的三角形的面积为2. 返回首页 1．已学习：点到直线距离公式的推导及应用． 2．须贯通：应用点到直线的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想． 3．应注意：在应用点到直线的距离公式时，特别注意，直线的方程应用一般式． 课堂小结 返回首页 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　　) (2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (4)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　) $