第1章 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离问题，系统覆盖点到直线、点到平面、线面及面面距离的求解，通过“惊喜礼物”情境导入，以墙角为原点建立坐标系引导学生求点到直线或平面距离，结合向量数量积、投影等旧知铺垫，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于情境化设计与逻辑推理融合，体现数学眼光（从现实情境抽象空间形式）、数学思维（转化思想，如线面距转化为点面距）和数学语言（用向量公式精确表达距离）。通过长方体、直三棱柱等实例解析，配合训练题巩固，小结强调数形结合与转化，助力学生构建知识体系，提升空间观念与推理能力，也为教师提供清晰教学流程与实例支持。

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、直线到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．　2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 返回导航 这一节课老师为同学们准备了一个“惊喜礼物”，礼物放在讲台上，获得礼物的规则如下： 以墙角为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，只要能求出礼物所在点到黑板上沿直线l，或者到窗户所在面α的距离，就能获得此礼物．要想成功获得此礼物，需要用到本节课的知识． 返回导航 新课导入 思考1　前面我们学习了向量的数量积及a在b上投影向量的模，请你用公式表达出来． 思考2　空间中有哪些距离问题？ 提示：两点间距离、点线距、线线距、点面距、线面距、面面距． 思考3　我们该如何用空间向量解决这些问题？ 提示：借助空间向量的模． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　点到直线的距离 第一部分 6 返回导航 例1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，求点E到直线D1C的距离． 返回导航 返回导航 返回导航 B　 训练 返回导航 2．已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，若z轴上一点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为___________． (0，0，2) 返回导航 知识点二　点到平面的距离 第二部分 13 返回导航 返回导航 (1)求平面AB1C的法向量； 返回导航 (2)求点B到平面AB1C的距离． 返回导航 【感悟提升】　用向量法求点到平面的距离的步骤 返回导航 训练 　　　如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝3. 返回导航 (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； 解：证明：因为PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PC⊥AD，又因为CD⊥AD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD⊂平面PAD， 所以平面PCD⊥平面PAD. 返回导航 (2)求点B到平面PAD的距离． 返回导航 返回导航 第三部分 知识点三　线面、面面的距离 返回导航 (1)证明：平面BFC1∥平面AED1； 返回导航 (2)求平面BFC1到平面AED1的距离． 返回导航 返回导航 【感悟提升】　求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均可转化为求点到平面的距离． 方法如下： (1)如果直线l与平面α平行，那么可在直线l上任取一点P，将直线l到平面α的距离转化为点P到平面α的距离． (2)如果两个平面α，β平行，那么可在平面α内任取一点P，将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离． 返回导航 训练 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 D　 返回导航 AC　 返回导航 返回导航 3．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________． 返回导航 4．(教材P35T2改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，B1C1的中点． 返回导航 (1)求点F到直线A1C的距离； 返回导航 (2)求点F到平面A1CE的距离． 返回导航 1．已学习：点线、点面、线面、面面的距离． 2．须贯通：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离体现了数形结合思想，而线面距、面面距转化为点到平面的距离，则体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：要对距离公式理解到位，在使用时不能生硬套用． 课堂小结 返回导航 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝_________________． 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝ ___________． $