专题14 双曲线与抛物线（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦双曲线与抛物线，以真题研析为核心，构建“定义应用-代数运算-开放探究”三阶方法体系，逻辑链清晰，适配高考命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线|2026-2024年5道真题+多道模拟题|解答题“联立运算+向量数量积”，压轴问“存在性+唯一性”探究|从定义、离心率到渐近线，构建几何性质与代数推理的关联| |抛物线|2026-2024年3道真题+基础题|小题“定义翻译”保分策略|聚焦定义应用，强化距离公式与准线性质的直接转化|

专题14 双曲线与抛物线 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 （一）双曲线——解答题“绝对主力” 填空考定义、大题考联立的分工非常清晰。三年内 3 次占据第 20 题（18 分），是除第 21 题外区分度最高的题目；2025 秋考第 20 题考椭圆，说明双曲线与椭圆在解答题中“轮流坐庄、双曲线更受青睐”。 （二）抛物线——稳定的“小题必得分” 抛物线近三年不出大题，但定义题年年有，属基础送分、不可失分项。 双曲线 2026秋考第20题 2026春考第20题 2025春考第10题 2024春考第8题 2024秋考第20题 抛物线 2026春考第8题 2024秋考第7题 1. 双曲线“两连考”压轴：2026 春考、秋考第 20 题连续选用双曲线。 2. 向量数量积成为大题标配：命题重心从“几何构型”转向“代数运算 + 逻辑推证”。 3. 压轴问出现“开放探究”新形态：把“求值 / 求范围”升级为“存在性 + 唯一性”探究，与第 21 题新定义题的探究风格同向——这是近两年上海卷最值得关注的命题趋势。 4. 抛物线定位未变：2026 春 8 延续“定义翻译”基础题，说明抛物线小题仍属保分项，但上限不高。 考向一 双曲线 典例1．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 考向二 抛物线 典例2．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 考向一 双曲线 1．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 3．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 4．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 考向二 抛物线 5．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 二、填空题 5．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 6．（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 7．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 8．（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 9．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 10．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 三、解答题 11．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 12．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 13．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 14．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 15．（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 16．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 17．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 18．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 19．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 20．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 21．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 22．（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2026·上海徐汇·二模）已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. (1)若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； (2)若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； (3)已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 双曲线与抛物线 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 （一）双曲线——解答题“绝对主力” 填空考定义、大题考联立的分工非常清晰。三年内 3 次占据第 20 题（18 分），是除第 21 题外区分度最高的题目；2025 秋考第 20 题考椭圆，说明双曲线与椭圆在解答题中“轮流坐庄、双曲线更受青睐”。 （二）抛物线——稳定的“小题必得分” 抛物线近三年不出大题，但定义题年年有，属基础送分、不可失分项。 双曲线 2026秋考第20题 2026春考第20题 2025春考第10题 2024春考第8题 2024秋考第20题 抛物线 2026春考第8题 2024秋考第7题 1. 双曲线“两连考”压轴：2026 春考、秋考第 20 题连续选用双曲线。 2. 向量数量积成为大题标配：命题重心从“几何构型”转向“代数运算 + 逻辑推证”。 3. 压轴问出现“开放探究”新形态：把“求值 / 求范围”升级为“存在性 + 唯一性”探究，与第 21 题新定义题的探究风格同向——这是近两年上海卷最值得关注的命题趋势。 4. 抛物线定位未变：2026 春 8 延续“定义翻译”基础题，说明抛物线小题仍属保分项，但上限不高。 考向一 双曲线 典例1．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 考向二 抛物线 典例2．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 考向一 双曲线 1．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 2．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 4．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 考向二 抛物线 5．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【详解】已知双曲线的方程为，则， 当时，，焦点在轴，， 当时，，焦点在轴，， 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 【答案】A 【详解】因为，则，，. 结论（1）：若成等差数列，等价于， 即，整理可得， 即成等差数列等价于， 所以成等差数列的充要条件为，故结论（1）正确； 结论（2）：若成等比数列，显然均不为0， 则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 可知为无理数， 根据指数幂的定义可知当为负数时无定义， 所以函数的定义域不可能为R，故结论（2）正确. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【详解】根据椭圆和双曲线的定义，可设椭圆的长半轴为，短半轴为，双曲线的实半轴为，虚半轴为，两者的半焦距均为； 有，，，，， 即，即. 对于①，根据定义，在椭圆中，有， 在双曲线中有，分别平方并相减， 可得，即； 记计算为事件， 集合共有个子集，其中能计算的子集包括集合， 全部四个有三个元素的子集，集合和集合，共个， 根据古典概型公式，，可知①错误； 对于②，由，可取，，，，此时，，，计算可得，，满足，，可知②错误. 二、填空题 5．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】 【详解】由题可知以为焦点，则， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：， 由双曲线的关系：可得， 设在轴上，则双曲线的渐近线方程为， 由可得两条渐近线的倾斜角为和， 根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为. 6．（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】对于抛物线，可得，即，因此焦点为， 由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离， 由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号， 根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为： 因此的最小值为 7．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 8．（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】 【详解】由双曲线方程，焦点， 以为直径的圆，取渐近线， 联立，解得或， 所以交点，右顶点， 则向量， 所以， 已知，因此，解得，即， 即,由知, 因为 ，所以，所以, 设圆与轴交点为，所以, 设两渐近线夹角为，则， 所以. 9．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. 10．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 三、解答题 11．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 将代入得， 故直线与准线的交点坐标为. （2）设，，由，得到是的中点， 因为，所以， 所以，解得，则， 此时直线的方程为，即. （3）设的方程为，而， 由消去得：，显然 ， ，解得， 于是直线的方程， 由消去得， 设点的纵坐标为， 由，得， 因此， 设，求导得， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 故. 12．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 13．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【详解】（1）由题意可得，交点在椭圆和双曲线上， 代入可得，故， 椭圆离心率， 双曲线离心率，结合，， 解得，因此曲线的方程为. （2）由（1）可知，曲线的方程为：， 又因为切点在双曲线，所以直线是双曲线的切线， 设切线的斜率为，根据斜截式可得切线的方程：， 又因为切线过点，所以，得出， 所以切线的方程化为，联立切线方程和双曲线可得， 化简可得，即， 进一步整理可得， 所以时，对应直线与双曲线相切， 所以， 化简得，则，即， 由图可知，，所以切线方程为：，即， 联立切线方程和双曲线可得， 化简得，得出， 将代入，得，所以. （3）由题意可得的斜率存在且不为零，所以设方程为， 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 所以，即且， 解得或，即， 联立直线与椭圆方程可得， 整理可得：， 所以， 解得或，即， 所以，所以， 所以. 14．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； （2）由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； （3）由，则双曲线方程为，、， 由题意可得直线斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为， ，解得或，则， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， 即，则，又，故， 即直线的方程为，整理得. 15．（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1） 如图：由题意得，准线方程为：.若，则， 所以直线的方程为：，令得，所以点的坐标为. （2）当斜率不存在时直线方程为：； 当斜率存在时设直线方程为：，将之与联立得， 化简得，由题意得，解得 故过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为：或. （3）如图： 过A作，垂足为,过B作，垂足为,设， 则，又 故，， 直线的倾斜角为, . 设，则, 设直线的方程为，则，得， 将直线的方程与联立得， 整理得，则，， ， 所以, 所以, ，当时取等号， 所以的取值范围是. 16．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. (2)设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 17．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【详解】（1）已知双曲线渐近线方程为，即， 又，故，则， 所以双曲线的离心率为． （2）由，故双曲线，则， 又，所以，则， 因为， （i）当点在点右侧时，有， 则直线，即， 所以，解得，，即， 则，所以点的坐标为； （ⅱ）当点在点左侧时，有， 则直线，即， 所以 ，解得，，即， 则，所以点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）若，则双曲线的方程为， 设直线，，，， ，联立得：，，， 则，， 的渐近线方程为， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 因为为的重心，所以，， 所以 ， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 18．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 19．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率： ； （2） 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； (3)设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 20．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 21．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意可得，解得， 则双曲线：； （2）设，，联立， 消去得：， 由题意，，且，即， ， 已知，以为直径的圆过，则， ，即， ， ， 展开并整理得：，即， 当时，直线，过定点，但此时直线过双曲线右顶点，不符合题意； 当时，直线，过定点，符合题意； 所以直线过定点． （3）因为在右支， 所以， 可得，， 设中点为，则， 的垂直平分线方程为：， 已知过，代入得： 化简得：，此时，， ，， ， ， ， ，则． 22．（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由题意，在：中，，， ∴， ∴曲线的离心率为. （2）由题意及（1）得，在抛物线中，点为抛物线上一点， 设，则， 在椭圆中，设，， 易知，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得，即， 令， ∴，当且仅当时等号成立， ∴． （3）由题意，假设存在点使得，设， ∵， ∴，即， ∴，所以， 直线与椭圆交于不同的两点，，易知，关于对称， 设，（，）， 由（1）知，直线方程是，令得， 直线方程是，令得， 由，得， 又在椭圆上，∴， ∴，解得， ∴存在点，使得成立． 23．（2026·上海徐汇·二模）已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. (1)若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； (2)若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； (3)已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为，此时. 根据双曲线渐近线方程 可得. 根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为. （2）， ， ， ， ①，，代入上式 ②， 联立①②，得， ； (3)不存在，理由如下： 的右顶点为. 若直线的斜率为0，此时，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得. 当时， 设，则 . 设，则. 当为异支弦时，，所以，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时，. 因为，所以. 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使. 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $