1.1.3 集合的基本运算 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的交集、并集、补集运算，通过类比实数运算导入新课，衔接学生已学的集合概念与关系，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然进入集合运算的探究。 此资料以具体实例归纳定义培养数学抽象，类比实数运算探究性质提升逻辑推理，结合维恩图与数轴辅助运算体现数形结合，通过讲练结合突破含参及空集处理难点，助力学生发展数学思维与表达能力，为教师提供清晰教学路径与实用教学工具。

高一 数学 教学设计-2026-2027学年 1.1.3 集合的基本运算 人教B版 必修第一册 1.1.3 集合的基本运算 教学设计 课题：1.1.3 集合的基本运算 版本：人教B版 必修第一册 年级：高一 课时：1课时 一、教材分析 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第一章1.1.3节。集合是现代数学的基本语言，而集合的运算则是构建数学逻辑体系的重要基石。在此之前，学生已经学习了集合的概念、表示方法及集合间的基本关系，这为学习集合的运算奠定了认知基础。本节课主要内容包括交集、并集和补集的定义、性质及其表示方法。通过学习集合的运算，学生不仅能进一步理解集合语言的内涵，还能提升逻辑推理能力和数学抽象素养。同时，集合运算知识也是后续学习函数定义域、值域、不等式解法以及概率统计等知识的重要工具，具有承上启下的作用。 二、学情分析 从知识储备来看，高一学生在初中阶段已经接触过简单的数集和不等式，对“集合”一词有初步的感性认识，并在前几节课中系统学习了集合的概念和元素与集合、集合与集合的关系。从认知能力来看，高一学生的逻辑思维能力正在从经验型向理论型过渡，具备了一定的观察、分析和抽象概括能力，但对于符号语言的严谨理解和数形结合思想的灵活运用尚需引导。特别是对于补集中“全集”的理解以及含参集合运算的分类讨论，学生容易感到困惑。因此，教学中应注重从具体实例出发，引导学生通过自主探究和合作交流，逐步掌握集合运算的规律。 三、教学目标 依据课程标准的要求，结合教材特点和学生学情，制定本节课的三维教学目标。 1.知识与技能 （1）理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的符号表示及维恩图表示。 （2）理解全集与补集的概念，掌握补集的符号表示及维恩图表示。 （3）能熟练进行简单的集合交、并、补运算，并能运用数轴或维恩图辅助解决集合运算问题。 （4）掌握交集、并集、补集的基本运算性质。 2.过程与方法 （1）通过观察具体集合的实例，经历从特殊到一般的归纳过程，培养数学抽象素养。 （2）通过类比实数的加法与乘法运算，探究集合运算的性质，提升逻辑推理素养。 （3）通过运用维恩图和数轴表示集合关系，体会数形结合思想在数学解题中的应用。 3.情感、态度与价值观 （1）在探究集合运算规律的过程中，体验数学的严谨性与简洁美，激发学习数学的兴趣。 （2）通过小组讨论与合作交流，培养团队协作意识和勇于探索的科学精神。 （3）感受数学符号语言的通用性与精确性，提升数学表达与交流的能力。 四、教学重难点 重点：交集、并集、补集的定义及其运算性质；利用维恩图和数轴进行集合运算。 难点：含参集合的交并补运算；正确理解“且”、“或”逻辑关系与交并运算的对应；空集在集合运算中的处理。 五、教学方法 本节课采用启发式教学法、探究式教学法和讲练结合法。通过设置问题情境，引导学生思考；利用多媒体辅助教学展示维恩图的变化，直观呈现运算结果；通过典型例题和变式练习，巩固所学知识，突破重难点。 六、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习导入 回顾元素与集合关系、集合间关系。类比实数运算引出集合运算。 教师提问实数加减法，引导学生思考集合是否也能运算。学生回答并举例。 通过类比，激发兴趣，自然引入新课。 探究交集 交集的定义、符号、维恩图及性质。 教师展示两个集合，引导学生找公共元素。学生归纳定义，教师规范表述。 培养观察归纳能力，理解交集的“且”逻辑。 探究并集 并集的定义、符号、维恩图及性质。 教师引导学生合并两个集合的所有元素。学生注意元素互异性，归纳定义。 培养抽象概括能力，理解并集的“或”逻辑。 探究补集 全集的概念，补集的定义、符号及性质。 教师引入全集概念。学生思考相对于全集，A之外的元素构成什么集合。 理解相对性，掌握补集的“非”逻辑。 巩固练习 集合的基本运算应用，含数轴辅助。 学生独立完成练习，教师巡视指导，利用数轴演示解题过程。 巩固所学知识，提升数形结合解题能力。 课堂小结 梳理知识体系，总结运算性质。 教师引导学生回顾本节课知识点，构建知识网络。 强化记忆，形成系统知识结构。 教学环节 （1）复习导入 教师提问：实数之间有加法、减法等运算，那么集合之间是否也有类似的运算呢？回顾上节课我们学习了集合之间的关系，如子集、相等。今天我们来研究集合的基本运算。 教师展示实例：设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}。请同学们观察这两个集合，思考它们之间能进行怎样的“运算”产生新的集合？ 学生活动：学生观察思考，可能会回答“把两个集合合起来”或者“找两个集合中都有的数”。 设计意图：通过类比实数运算，引发认知冲突，激发学生的求知欲，自然引出课题。 （2）探究交集 教师活动：引导学生找出集合A和集合B中公共的元素。 学生活动：找出公共元素为2, 3。 教师讲解：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。 符号语言表示为：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。 教师板书维恩图（两圆相交部分涂色）。 教师提问：A∩A等于什么？A∩∅等于什么？如果A⊆B，那么A∩B等于什么？ 学生活动：思考并回答。 ① A∩A=A； ② A∩∅=∅； ③ 若A⊆B，则A∩B=A。 教师追问：为什么A∩∅=∅？ 学生回答：因为空集中没有元素，所以没有公共元素。 例题1：设A={x|x>-2}，B={x|x<3}，求A∩B。 师生互动：这是一道连续实数集合的运算，适合用数轴表示。 教师画数轴，表示集合A和B。 解析：在数轴上，集合A表示-2右侧的点，集合B表示3左侧的点。两集合的公共部分是-2和3之间的线段。 解：A∩B={x|-2<x<3}。 答案：{x|-2<x<3}。 （3）探究并集 教师活动：回到集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}。如果我们把这两个集合的所有元素合并在一起（重复的只算一个），能组成一个新的集合吗？ 学生活动：组成新集合{1, 2, 3, 4}。 教师讲解：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只出现一次。 符号语言表示为：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。 教师板书维恩图（两圆覆盖的全部区域涂色）。 教师提问：这里的“或”是什么含义？是“或者A或者B只能选一个”吗？ 学生讨论：是“或者A或者B或者两者都有”的包含性“或”。 教师提问：A∪A等于什么？A∪∅等于什么？如果A⊆B，那么A∪B等于什么？ 学生活动：总结性质。 ① A∪A=A； ② A∪∅=A； ③ 若A⊆B，则A∪B=B。 （4）探究补集 教师活动：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集。例如，我们在研究高一一班学生的集合时，它通常是“高一年级所有学生”这个集合的子集。这个给定的集合我们称之为全集，通常用U表示。 教师提问：如果U是全集，A是U的子集，那么U中不属于A的元素组成一个集合吗？ 学生活动：回答可以组成。 教师讲解：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”。 符号语言表示为：∁UA={x|x∈U，且x∉A}。 教师板书维恩图（矩形表示全集，圆表示A，矩形内部圆外部涂色）。 教师提问：A∪(∁UA)等于什么？A∩(∁UA)等于什么？∁U(∁UA)等于什么？ 学生活动：结合维恩图回答。 ① A∪(∁UA)=U； ② A∩(∁UA)=∅； ③ ∁U(∁UA)=A。 （5）巩固练习 练习1：设U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，A={1, 3, 5}，B={2, 4, 5}。求A∩B，A∪B，∁UA，∁UB，∁U(A∩B)。 学生活动：学生独立完成，然后同桌互换批改。 教师解析： A∩B={5}； A∪B={1, 2, 3, 4, 5}； ∁UA={2, 4, 6}； ∁UB={1, 3, 6}； A∩B={5}，∁U(A∩B)={1, 2, 3, 4, 6}。 答案：A∩B={5}，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}，∁UA={2, 4, 6}，∁UB={1, 3, 6}，∁U(A∩B)={1, 2, 3, 4, 6}。 练习2：设A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}，求A∩B和A∪B。 师生互动：引导学生使用数轴法解题。 教师板书：画数轴，标出区间。 解析：A∩B是两区间重叠部分，即1<x<2。A∪B是两区间覆盖部分，即-1<x<3。 解：A∩B={x|1<x<2}，A∪B={x|-1<x<3}。 答案：A∩B={x|1<x<2}，A∪B={x|-1<x<3}。 归纳小结 本节课我们主要学习了以下内容： 1. 三个核心概念：交集（A∩B）、并集（A∪B）、补集（∁UA）。 2. 两种重要工具：维恩图和数轴，它们能直观地表示集合运算结果。 3. 关键逻辑关系：交集对应“且”，并集对应“或”，补集对应“非”。 4. 基本运算性质：如A∩∅=∅，A∪∅=A，A∩(∁UA)=∅等。 请同学们在课后通过练习进一步熟练掌握这些知识。 七、板书设计 1.1.3 集合的基本运算 一、交集 二、并集 定义：既属于A又属于B 定义：所有元素 符号：A∩B={x|x∈A，且x∈B} 符号：A∪B={x|x∈A，或x∈B} 性质： 性质： A∩A=A A∪A=A A∩∅=∅ A∪∅=A A∩B=B∩A A∪B=B∪A 三、补集 全集：U 定义：∁UA={x|x∈U，且x∉A} 性质： A∪(∁UA)=U A∩(∁UA)=∅ 学科网（北京）股份有限公司 $