3.1.2 函数的单调性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性核心知识，涵盖增减函数定义、判断证明方法、平均变化率及一次二次函数单调性应用。通过气温变化图导入，衔接初中函数图象直观认识，搭建从感性到理性的学习支架，引导学生用数学符号精确描述变化规律。 此资料特色在于以情境激发兴趣，通过f(x)=x²图象探究突破“任意性”难点，培养数学眼光中的抽象能力。证明环节规范作差法步骤，强化数学思维的推理能力，结合平均变化率斜率意义渗透数形结合，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供清晰的重难点突破策略和可操作的教学流程。

教学设计-2026-2027学年 3.1.2 函数的单调性 数学 高一 人教B版 必修第一册 一、课型 新授课 二、学习目标 1. 理解函数的单调性、增函数、减函数的概念，掌握判断函数单调性的方法，并能运用定义证明函数的单调性。 2. 理解函数的平均变化率的概念，掌握其几何意义，并能运用平均变化率解决简单的实际问题。 3. 掌握一次函数、二次函数的单调性，并能运用函数的单调性求函数的最值。 三、学情分析 学生在初中阶段已经学习了函数的图象，对函数图象的上升和下降有了直观的感性认识，知道y随x的增大而增大（或减小）的含义。但是，学生的认知水平仍停留在直观感性层面，缺乏将图形语言转化为符号语言的数学抽象能力。对于如何用精确的数学符号语言描述“随着x的增大，y也增大”这一变化规律，特别是定义中的“任意”二字的理解，是本节课的难点。此外，学生在代数式的变形（如作差变形、因式分解、配方法）方面具备一定的基础，但在结合函数性质进行逻辑推理和严谨证明方面尚需加强训练。 四、教学内容及教师活动设计 课题 3.1.2 函数的单调性 课型 新授课 课时 1 1. 情境导入 教师活动：展示某市一天24小时内的气温变化图。提问：观察图象，指出气温在哪些时间段内是逐渐升高的？在哪些时间段内是逐渐降低的？ 学生活动：观察图象，回答问题。例如：从0点到4点气温下降，从4点到14点气温上升，从14点到24点气温下降。 教师活动：引导学生用数学语言描述这种变化趋势。在数学中，我们说函数在某个区间上是“增函数”或“减函数”。这就是我们要研究的函数的单调性。 2. 探究新知：函数单调性的定义 教师活动：画出函数f(x)=x²的图象。提问：观察图象，当x在区间[0，+∞)上变化时，函数值f(x)是如何变化的？当x在区间(-∞，0]上变化时，函数值f(x)又是如何变化的？ 学生活动：观察图象，得出结论：在[0，+∞)上，随着x的增大，f(x)也增大；在(-∞，0]上，随着x的增大，f(x)反而减小。 教师活动：追问：如何用代数式子描述“随着x的增大，f(x)也增大”？能否用具体的数值来说明？ 学生活动：思考并举例。例如在[0，+∞)上，取x₁=1，x₂=2，因为1<2，所以f(1)<f(2)。 教师活动：仅仅取一组数够不够？为什么？ 学生活动：不够，需要验证所有的点都满足这个规律。 教师活动：总结并给出增函数和减函数的定义（采用教材原文口径）：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I⊆D：（1）如果对任意x₁，x₂∈I，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，则称y=f(x)在区间I上是增函数（也称在区间I上单调递增）；（2）如果对任意x₁，x₂∈I，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，则称y=f(x)在区间I上是减函数（也称在区间I上单调递减）。两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性（区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）。 3. 概念深化：反比例函数的单调性 教师活动：画出反比例函数y=的图象。提问：这个函数在定义域上是减函数吗？为什么？ 学生活动：思考并讨论。有的学生认为是，因为图象在每一支上都是下降的。 教师活动：引导学生利用定义进行验证。取x₁=-1，x₂=1，显然x₁<x₂。计算f(x₁)=-1，f(x₂)=1。此时f(x₁)<f(x₂)，这符合减函数的定义吗？ 学生活动：不符合，减函数要求f(x₁)>f(x₂)。所以反比例函数在定义域上不是减函数。 教师活动：总结。反比例函数y=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上分别是减函数，但不能说它在定义域上是减函数。这体现了函数单调性是“局部”性质，必须针对具体的区间而言。 4. 典例剖析：用定义证明函数的单调性 例1：证明f(x)=2x+1在R上是增函数。 证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁<x₂。 作差：f(x₁)−f(x₂)=(2x₁+1)−(2x₂+1)=2(x₁−x₂)。 因为x₁<x₂，所以x₁−x₂<0，从而f(x₁)−f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。 所以f(x)=2x+1在R上是增函数。 教师活动：引导学生总结用定义证明函数单调性的步骤：取值（任取x₁<x₂）→作差（计算f(x₁)−f(x₂)）→变形（通常分解因式或配方）→定号（判断差的符号）→下结论。 练习1：证明f(x)=-在(0，+∞)上是增函数。 答案：任取x₁，x₂∈(0，+∞)，且x₁<x₂。f(x₁)−f(x₂)=--(-)=-=。因为x₁>0，x₂>0，所以x₁x₂>0。又因为x₁<x₂，所以x₁−x₂<0。因此f(x₁)−f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。故f(x)在(0，+∞)上是增函数。 5. 知识拓展：函数的平均变化率 教师活动：回顾直线的斜率公式k=。对于函数y=f(x)，当自变量从x₁变到x₂时，函数值从f(x₁)变到f(x₂)。我们称比值为函数在区间[x₁，x₂]上的平均变化率。 提问：平均变化率的几何意义是什么？ 学生活动：思考后回答，是连接图象上两点(x₁，f(x₁))和(x₂，f(x₂))的直线的斜率。 教师活动：总结。如果函数在区间I上是增函数，那么对于I内任意x₁≠x₂，平均变化率的符号有什么特点？ 学生活动：大于0。 教师活动：正确。增函数的图象上任意两点连线的斜率都大于0；减函数则都小于0。 6. 知识应用：一次函数与二次函数的单调性 教师活动：引导学生回顾一次函数y=kx+b（k≠0）的单调性。当k>0时，函数在R上递增；当k<0时，函数在R上递减。 对于二次函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），其对称轴为x=-。当a>0时，函数在(-∞，-]上递减，在[-，+∞)上递增；当a<0时，函数在(-∞，-]上递增，在[-，+∞)上递减。 例2：求函数f(x)=x²-2x-3的单调区间，并求出函数的最值。 解：函数f(x)=x²-2x-3的定义域为R。 因为a=1>0，所以图象开口向上。 对称轴为x=-=1。 所以函数的单调递减区间是(-∞，1]，单调递增区间是[1，+∞)。 当x=1时，函数取得最小值，最小值为f(1)=1²-2×1-3=-4。 函数没有最大值。 7. 课堂练习 练习2：判断函数f(x)=-x²+4x的单调性，并求出函数的最大值。 答案：函数f(x)=-x²+4x的定义域为R。因为a=-1<0，图象开口向下。对称轴为x=-=2。所以函数在(-∞，2]上递增，在[2，+∞)上递减。当x=2时，函数取得最大值，最大值为f(2)=-4+8=4。 8. 课堂小结 教师提问：这节课我们学习了哪些内容？ 学生总结：1. 增函数和减函数的定义。2. 用定义证明函数单调性的步骤（取值、作差、变形、定号、结论）。3. 函数的平均变化率及其几何意义。4. 一次函数和二次函数的单调性。 五、板书设计 1. 函数的单调性定义： 增函数：任意x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)。 减函数：任意x₁<x₂，都有f(x₁)>f(x₂)。 2. 证明步骤：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论。 3. 例题演算区（略）。 六、作业设计 1. 教材练习题3.1 A组第1、2题。 2. 证明函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数。 答案：任取x₁，x₂∈(1，+∞)，且x₁<x₂。f(x₁)−f(x₂)=(x₁+)-(x₂+)=(x₁-x₂)+=(x₁-x₂)(1-)。因为x₁>1，x₂>1，所以x₁x₂>1，即<1，故1->0。又因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0。因此f(x₁)−f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。所以f(x)在(1，+∞)上是增函数。 七、教学反思 本节课通过观察气温变化图象引入课题，激发了学生的学习兴趣。在讲解单调性定义时，通过层层递进的提问，引导学生从直观感知上升到理性思维，突破了“任意性”这一难点。在证明环节，强调了代数变形的规范性和逻辑的严密性，学生基本掌握了作差法的步骤。但在平均变化率的几何意义理解上，部分学生仍显得吃力，后续教学中需加强数形结合思想的渗透。 学科网（北京）股份有限公司 $