1.2.1 命题与量词 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.1 命题与量词 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 数学 高一 人教B版

一、目标与目标解析

本节课是常用逻辑用语的起始课，主要内容包括命题的概念、全称量词与存在量词的含义及其符号表示。通过本节课的学习，学生应能准确区分命题与非命题，掌握含量词命题的表述方式，并能依据定义判断含量词命题的真假。

二、目标：

（1）理解命题的概念，能判断一个语句是否为命题，能区分真命题与假命题。

（2）理解全称量词与存在量词的含义，掌握它们的符号表示（∀、∃）。

（3）能正确地用量词符号表述全称量词命题与存在量词命题。

（4）掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判定方法。

三、目标解析：

达成目标（1）的标志是学生能从语句的结构（陈述句）和功能（可判断真假）两个方面识别命题。

达成目标（2）和（3）的标志是学生能将自然语言中的“所有”“任意”转化为“∀”，将“存在”“有一个”转化为“∃”，并写出形如“∀x∈M，p(x)”或“∃x∈M，p(x)”的命题。

达成目标（4）的标志是学生理解全称量词命题真假的判定需要“全验证”或“举反例”，存在量词命题真假的判定需要“找特例”或“全否定”。

四、教学过程设计

本节课教学流程设计如下：首先通过生活中的实例引入命题的概念，分析命题的结构及真假性；接着探究含有“所有”“任意”等词语的命题，抽象出全称量词的概念及符号；随后探究含有“存在”“有”等词语的命题，抽象出存在量词的概念及符号；最后重点讲解如何利用定义判定这两类含量词命题的真假，并通过例题巩固。

五、【分析】

在数学和日常生活中，我们会遇到各种语句。观察下列语句：

（1）x > 5；

（2）3是素数；

（3）你会解这个方程吗？

（4）对顶角相等。

思考：上述语句中，哪些是可以判断真假的陈述语句？哪些不是？请说明理由。

六、【详解】

类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。

对于上述分析中的语句：

（1）x > 5，含有变量x，在没有给定x的取值范围时，无法判断其真假，因此不是命题。

（2）3是素数，这是一个陈述句，且根据素数的定义（只有1和它本身两个因数），可以判断它是真的，因此它是真命题。

（3）你会解这个方程吗？这是一个疑问句，不是陈述句，无法进行真假判断，因此不是命题。

（4）对顶角相等，这是一个陈述句，且根据几何定理可以判断它是真的，因此它是真命题。

答案：语句（2）和（4）是命题，其中（2）是真命题，（4）也是真命题；语句（1）和（3）不是命题。

七、【分析】

观察下列命题，它们在表述上有什么共同特点？

（1）所有的正方形都是矩形；

（2）任意一个实数的平方都是非负数；

（3）每一个素数都是奇数。

思考：这些命题中都包含了哪些表示范围的词语？如果用符号表示这些词语，你会用什么？

八、【详解】

上述命题都含有表示全体或任意性的词语，如“所有”“任意”“每一个”。一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，称为全称量词命题。

全称量词命题通常形如“∀x∈M，p(x)”，其中M为对象的集合，p(x)是关于x的命题。

例如：

命题（2）“任意一个实数的平方都是非负数”可以简记为：∀x∈R，x² ≥ 0。

命题（1）“所有的正方形都是矩形”可以表述为：∀x∈{正方形}，x是矩形。

练习：将命题“对所有的x∈Z，3x+1是奇数”改写成符号形式。

答案：∀x∈Z，3x+1是奇数。

九、【分析】

再观察下列命题，它们与全称量词命题有什么不同？

（1）有的奇数是素数；

（2）存在一个实数x，使得x+1=0；

（3）至少有一个三角形没有直角。

思考：这些命题中包含了哪些表示个体或部分的词语？如何用符号表示？

十、【详解】

上述命题都含有表示存在性或部分性的词语，如“有的”“存在”“至少有一个”。一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，称为存在量词命题。

存在量词命题通常形如“∃x∈M，p(x)”。

例如：

命题（2）“存在一个实数x，使得x+1=0”可以简记为：∃x∈R，x+1=0。