第9讲 二次函数中的特殊四边形存在性问题 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第9讲 二次函数中的特殊四边形存在性问题

1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。

 

如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，．

(1)求二次函数的解析式；

(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值；

(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为．

(1)求、两点的坐标及直线的函数表达式；

(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值；

(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。

 

 

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式．

(2)求三角形的面积；

(3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

(4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点．

(1)求该抛物线的解析式：

(2)若，请求出点的坐标；

(3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．

 

 

 

 

 

 

已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接，，，试证明为直角三角形；

(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点．

(1)求抛物线表达式；

(2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由；

(3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．