27.1 反比例函数的概念（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，系统梳理从实际问题抽象出反比例函数的过程，明确定义（形如y=k/x,k≠0）、三种表达形式（分式、乘积、负指数）及判定条件（单自变量、次数-1、分母含自变量、k≠0），构建区分正、一次函数的学习支架。 资料特色在于跨学科整合物理情境（如杠杆平衡、压强等），通过实验数据判断关系培养数学眼光，题型分类指导（参数求解、实际建模）发展推理思维，分层练习助学生用数学语言表达现实问题，课中提升教学效率，课后便于查漏补缺。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 课标要点 1. 结合实际问题情境抽象出反比例函数，认识反比例函数的概念，能准确识别反比例函数，会写出反比例函数的三种表达式，确定比例系数k。 2. 能根据实际情境列反比例函数关系式，区分正比例函数、一次函数与反比例函数，建立 “自变量次数、分母含自变量、k≠0” 的判定逻辑。 3. 能利用反比例函数概念，代入求函数值、逆向求参数，结合实际情境确定自变量的取值范围。 学习重难点 重点： 1. 反比例函数定义辨析，三种表达形式的识别与书写。 2. 根据实际问题列反比例函数关系式，确定比例系数k。 3. 已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的简单代入计算。 难点： 1. 理解隐含条件k≠0，含参数的式子中利用反比例函数定义求参数取值。 2. 对式子变形化简后判断函数类型，区分易混淆函数（正比例、一次、反比例）。 3. 结合实际应用题挖掘等量关系，构建反比例函数模型，确定实际问题中自变量取值范围。 知识点 反比例函数的定义 一、反比例函数的定义 一般地，形如(k为常数，的函数，叫做反比例函数。 三个判定条件(缺一不可) 1.只含1个自变量 函数中只能有一种自变量字母，只能是x(或其他单一字母)，不能同时出现x、y两个未知变量。 例：是反比例函数；含有两个自变量x、y，不是反比例函数。 2.自变量的等价次数为-1 可写成，自变量x的次数是-1; 化简整理之后，自变量不能是1次、2次； 3.自变量在分母，是分式形式 自变量只能出现在分母；自变量不能放在根号内。 注意：分母是，不是单纯x，y不是c的反比例函数，只能说是的反比例关系。 二、反比例函数的三种表达形式(k≠0) ①分式形式：(课本标准形式) ②乘积形式： ③负指数形式： 易错辨析 ①是反比例函数 ②不是x的反比例函数 ③属于反比例函数，是变式形式 ④这是正比例函数 随学随练 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数 的图象经过点，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 4．（2026·河南平顶山·二模）同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 拓展 物理背景下的反比例函数 1.建模判断：读物理背景，确认：存在一个恒定不变量，两个变量乘积=定值→反比例关系； 2.求比例系数k ○表格题：计算，剔除错数据，取正确乘积为k； o公式题：物理公式提取定值作为k； o图像题：图像上点坐标相乘 3.写函数表达式：注明自变量取值范围(物理量不能负数); 4.求解计算：已知x求y；已知y求x；结果带上物理单位； 5.检验合理性：物理量不能是负数、0，结果要符合现实。 活学活用 1．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 题型一 用反比例函数描述数量关系 解题贴士 步骤1：审题，找出两个变化的变量 分清谁是自变量x，谁是因变量y；找出题目中固定不变的常量k。 常见场景：面积、体积、杠杆、压强、路程、工程问题、物理跨学科表格题。 步骤2：判断是否为反比例关系 反比例数量关系判定：两个变量的乘积等于固定不变的常数，即。 满足→是反比例关系，可以写反比例函数； ·×如果是比值固定，属于正比例，不是反比例。 ▌例1（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 ▌对点练1-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 ▌对点练1-2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 题型二 从反比例函数中得出信息 ▌例2 （2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 ▌对点练2-1．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 ▌对点练2-2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）利用如图所示的装置可验证杠杆平衡的条件，在实验过程中杠杆始终处于平衡状态，左侧每个砝码的重量为，选取实验中的6组数对，在平面直角坐标系中描点，正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型三 列反比例函数关系式 ▌例3 （25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 题型四 根据定义判断是否为反比例函数 解题贴士 1.变形整理式子：把式子化为三种形式之一. 2.检查k的条件：k必须是常数，且 3.检查自变量：自变量只能是单独的x,x次数为-1；分母不能是x±常数，不能额外带常数项。 4.得出结论：全部满足，是反比例函数；任意一条不满足，则不是。 易错提醒：形如不是反比例函数。 ▌例4（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 题型五 根据反比例函数的定义求参数 解题贴士 反比例函数： 两个核心条件：①自变量x的次数等于-1；②比例系数k≠0，两个条件必须同时满足。 核心判断步骤 1.根据次数列方程：令自变量x的指数=-1，解出参数的值。 2.根据系数列不等式：保证比例系数不等于0，舍去使系数为0的参数解。 3.综合取舍，得到最终参数结果。 易错点 1.只考虑次数，忘记检验系数不等于0,容易多解出错。 2.看清解析式，区分：分母是x,不是x加减常数。 ▌例5（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． ▌对点练5-1．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． ▌对点练5-2．（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 题型六 求反比例函数的函数值 ▌例6 （25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． ▌对点练6-1．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． ▌对点练6-2．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 题型七 反比例函数的概念综合解答 ▌例7（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． ▌对点练7-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． ▌对点练7-2．（2026·安徽·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上． (1)若，，求的值； (2)若，，，且点在不同象限，求的取值范围． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·三模）在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 5．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 8．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 9．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 10．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 13．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 素养提升 1．（2026·浙江温州·三模）若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 3．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 5．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 7．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 8．（2026·山西晋中·二模）某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 9．（2026·湖南岳阳·二模）令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 10．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 11．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ x 1 2 4 y 4 3 1 迁移创新 1．（2026·广东深圳·三模）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】 (1)对一次函数和反比例函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且不动点是和． 以上结论中，你认为正确的是____________（填写正确结论的序号）． 【探究2】 (2)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，并判断该函数是否“不动点函数”，若是，则求出该函数的不动点；若不是，则说明理由． 【探究3】 (3)对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答． ①若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，则满足的关系式为____________． ②在①的条件下，当时，的取值范围是，求的值． 2．（2026·北京朝阳·二模）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 课标要点 1. 结合实际问题情境抽象出反比例函数，认识反比例函数的概念，能准确识别反比例函数，会写出反比例函数的三种表达式，确定比例系数k。 2. 能根据实际情境列反比例函数关系式，区分正比例函数、一次函数与反比例函数，建立 “自变量次数、分母含自变量、k≠0” 的判定逻辑。 3. 能利用反比例函数概念，代入求函数值、逆向求参数，结合实际情境确定自变量的取值范围。 学习重难点 重点： 1. 反比例函数定义辨析，三种表达形式的识别与书写。 2. 根据实际问题列反比例函数关系式，确定比例系数k。 3. 已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的简单代入计算。 难点： 1. 理解隐含条件k≠0，含参数的式子中利用反比例函数定义求参数取值。 2. 对式子变形化简后判断函数类型，区分易混淆函数（正比例、一次、反比例）。 3. 结合实际应用题挖掘等量关系，构建反比例函数模型，确定实际问题中自变量取值范围。 知识点 反比例函数的定义 一、反比例函数的定义 一般地，形如(k为常数，的函数，叫做反比例函数。 三个判定条件(缺一不可) 1.只含1个自变量 函数中只能有一种自变量字母，只能是x(或其他单一字母)，不能同时出现x、y两个未知变量。 例：是反比例函数；含有两个自变量x、y，不是反比例函数。 2.自变量的等价次数为-1 可写成，自变量x的次数是-1; 化简整理之后，自变量不能是1次、2次； 核心隐含条件：，若，式子变成，不再是反比例函数。 3.自变量在分母，是分式形式 自变量只能出现在分母；自变量不能放在根号内。 注意：分母是，不是单纯x，y不是c的反比例函数，只能说是的反比例关系。 二、反比例函数的三种表达形式(k≠0) ①分式形式：(课本标准形式) ②乘积形式： ③负指数形式： 易错辨析 ①是反比例函数 ②不是x的反比例函数 ③属于反比例函数，是变式形式 ④这是正比例函数 随学随练 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 2．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数 的图象经过点，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得． 故选：B． 4．（2026·河南平顶山·二模）同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 【答案】(1)， 图象如下：    (2)当时，电磁波的频率为 【分析】（1）设波长关于频率的函数解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而画出图象即可． （2）将代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数解析式为． 把点代入上式中，得， 解得， ． （2）解：当时，， ． 答：当时，电磁波的频率为． 拓展 物理背景下的反比例函数 1.建模判断：读物理背景，确认：存在一个恒定不变量，两个变量乘积=定值→反比例关系； 2.求比例系数k ○表格题：计算，剔除错数据，取正确乘积为k； o公式题：物理公式提取定值作为k； o图像题：图像上点坐标相乘 3.写函数表达式：注明自变量取值范围(物理量不能负数); 4.求解计算：已知x求y；已知y求x；结果带上物理单位； 5.检验合理性：物理量不能是负数、0，结果要符合现实。 活学活用 1．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【答案】(1)④ (2)成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） (3)弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用与杠杆平衡原理，解题的关键是根据杠杆平衡条件得出与的函数关系，进而判断错误数据、求解函数表达式及取值范围． （1）根据杠杆平衡条件计算每组数据的乘积，找出不符合的组； （2）由杠杆平衡条件确定与的函数类型，利用正确数据求表达式； （3）代入，结合木杆长度求解的范围． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 题型一 用反比例函数描述数量关系 解题贴士 步骤1：审题，找出两个变化的变量 分清谁是自变量x，谁是因变量y；找出题目中固定不变的常量k。 常见场景：面积、体积、杠杆、压强、路程、工程问题、物理跨学科表格题。 步骤2：判断是否为反比例关系 反比例数量关系判定：两个变量的乘积等于固定不变的常数，即。 满足→是反比例关系，可以写反比例函数； ·×如果是比值固定，属于正比例，不是反比例。 ▌例1（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B ▌对点练1-2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二 从反比例函数中得出信息 ▌例2 （2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． ▌对点练2-1．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）利用如图所示的装置可验证杠杆平衡的条件，在实验过程中杠杆始终处于平衡状态，左侧每个砝码的重量为，选取实验中的6组数对，在平面直角坐标系中描点，正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了根据题意列函数关系式及一次函数、反比例函数图象的特征，熟练掌握以上函数图象的特征是解题的关键．根据题意列出y与x的函数关系式，再根据关系式判断y与x的关系是一次函数还是反比例函数，再选出正确答案即可． 【详解】解：根据题意得：，即， y与x呈反比例关系，且，只有D两个选项符合， 故选：D． 题型三 列反比例函数关系式 ▌例3 （25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 题型四 根据定义判断是否为反比例函数 解题贴士 1.变形整理式子：把式子化为三种形式之一. 2.检查k的条件：k必须是常数，且 3.检查自变量：自变量只能是单独的x,x次数为-1；分母不能是x±常数，不能额外带常数项。 4.得出结论：全部满足，是反比例函数；任意一条不满足，则不是。 易错提醒：形如不是反比例函数。 ▌例4（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数形如（为常数，）． 【详解】解： A、为正比例函数，不符合题意； B、符合该形式，且，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． ▌对点练4-1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． ▌对点练4-2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 题型五 根据反比例函数的定义求参数 解题贴士 反比例函数： 两个核心条件：①自变量x的次数等于-1；②比例系数k≠0，两个条件必须同时满足。 核心判断步骤 1.根据次数列方程：令自变量x的指数=-1，解出参数的值。 2.根据系数列不等式：保证比例系数不等于0，舍去使系数为0的参数解。 3.综合取舍，得到最终参数结果。 易错点 1.只考虑次数，忘记检验系数不等于0,容易多解出错。 2.看清解析式，区分：分母是x,不是x加减常数。 ▌例5（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． ▌对点练5-1．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． ▌对点练5-2．（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 题型六 求反比例函数的函数值 ▌例6 （25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． ▌对点练6-1．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． ▌对点练6-2．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 题型七 反比例函数的概念综合解答 ▌例7（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． ▌对点练7-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． ▌对点练7-2．（2026·安徽·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上． (1)若，，求的值； (2)若，，，且点在不同象限，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）把，分别代入求出，即可求解差值； （2）易得点在第三象限，点在第一象限，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ； （2）解：∵，， ∴反比例函数的图象过一，三象限， ∵，点在不同象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ，解得， 即的取值范围是． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 2．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设点的坐标为，则，不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为，则，，据此可得答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点到两坐标轴的距离分别为，， ∴不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 4．（2026·河北邯郸·三模）在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 5．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 6．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 8．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 9．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 10．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 【答案】(1)，图见解析； (2)或． 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再列表格，画出函数图象的另一支图象即可； （2）当时，；当时，由，可求，即可求解． 【详解】（1）把点代入，即， 解得：， 反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： 列表格： （2）由图象得： 当时，， ∴， 当时，， 解得， 则时，， 当，且时，或． 13．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 素养提升 1．（2026·浙江温州·三模）若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 2．（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 3．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 4．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 5．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断． 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据“对偶关系”的定义，若在，在，、关于轴对称，则横坐标为时，横坐标为，二者纵坐标相等，据此逐一验证每个结论即可，用到一次函数、反比例函数的点坐标特征和一元二次方程根的判别知识。 【详解】解：根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”， ①对于，，代入得，， 令，解得， 存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误； ②由①得，对偶值为，故②正确； ③对于，，代入得，， 令，整理得， ， 方程有实根，存在满足条件的点， 因此两函数具有“对偶关系”，故③正确； ④是“对偶值”， 纵坐标为， 在上，令，得，即， 与关于轴对称， ，将代入得，解得，故④正确； 综上，②③④正确. 7．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 【答案】4 【分析】当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 8．（2026·山西晋中·二模）某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可． 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 9．（2026·湖南岳阳·二模）令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【答案】 ①②/②① 【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可； （2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立． 【详解】解：（1）当时，， ∵是反比例函数， ∴， 解得； （2）①若是关于的一次函数， ∵， ∴， ∴， 当时，即时，， ∴函数恒过定点，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若是关于的二次函数， ∴， ∴， 当时，， ∴函数过点， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，， 整理得：， ∴当时，，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 10．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 11．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 【答案】(1)， 图象如图： (2) 【分析】（1）设第二象限的图象上任一点为，设其关于直线对称的点为，得出，，则可得，即可得出的关系式，再描点画图即可； （2）先求出点C的坐标，同（1）的方法求出的关系式，再代入点C的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴，即， ∴的关系式为； 列表得 x 1 2 4 y 4 3 1 （2）解：∵，两点，点是线段的中点， ∴，即， 设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的关系式为， 将代入，得， 解得． 迁移创新 1．（2026·广东深圳·三模）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】 (1)对一次函数和反比例函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且不动点是和． 以上结论中，你认为正确的是____________（填写正确结论的序号）． 【探究2】 (2)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，并判断该函数是否“不动点函数”，若是，则求出该函数的不动点；若不是，则说明理由． 【探究3】 (3)对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答． ①若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，则满足的关系式为____________． ②在①的条件下，当时，的取值范围是，求的值． 【答案】(1)③ (2)解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． 该函数是“不动点函数”，理由如下： 把点代入函数，得， 即， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点为，． (3)①；②0 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据题意列出y关于x的函数表达式，代入点，计算即可得解； （3）①先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义即可解答； ②画出函数的图象，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：①对于，代入点， 得，该方程无解， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，不动点是，原说法错误； ③对于，代入点， 得，即， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是和，原说法正确． 综上所述，正确的结论是③． （2）略 （3）解：由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 即． ②函数，其图象为 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴由图象可得或时，， ∵当时，的取值范围是， ∴t的值为0． 2．（2026·北京朝阳·二模）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可； （）根据函数图象进行求解即可； （）根据函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，连线， 画图象如图， （2）解：如图， 当时，对应号弦长为，号弦长为， ∴对应号弦长与号弦长的差为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理； 弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误； 弦长相同时，频率比，是定值，推断合理； 若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理； 故答案为：． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $