21.2用公式法分解因式（第1课时）（平方差公式）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦利用平方差公式分解因式，通过分解x²-25等导入问题引导学生联系平方差公式，结合知识回顾衔接提公因式法，构建从整式乘法到因式分解的逆向学习支架。 其亮点是通过逆向思维推导公式，设置分层练习如例3先提公因式再分解，例4简便计算培养运算与推理能力，课堂小结“一提二套三查”步骤明确。学生提升分解技能，教师可高效实施教学。

21.2 用公式法分解因式 第21章 因式分解 第1课时 利用平方差公式分解因式 学 习 目 标 1 2 理解平方差公式进行因式分解的意义,掌握公式的特点 ． 能用平方差公式进行因式分解,发展学生的运算能力和推理能力 ． 3 经历探索利用平方差公式进行因式分解的推导过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性 ． 知识回顾 因式分解与整式乘法是互逆过程. 把一个多项式分化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做将这个多项式分解因式. 1.什么是因式分解？ 2.因式分解与整式乘法有 什么关系？ A×B = C 整式相乘 一个多项式 整式乘法 因式分解 一般地，如果多项式的各项有（ ），可以把这个公因式提取出来，将多项式写成（ ）的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公因式 公因式与另一个因式的乘积 3.什么是提公因式法？ 知识回顾 练一练 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算： 4.3 ×202.5+0.76 × 2025-1.9 ×202.5 3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值. 4、把 9am+1 –21 am+12a m-1分解因式. 解： （1）(-2)101+(-2)100 =(-2)100（-2）++(-2)100 =(-2)100[（-2）+1] =-(-2)100 =-2100 (2) 4.3 ×202.5+0.76 × 2025-1.9 ×202.5 = 4.3 ×202.5+7.6 × 202.5-1.9 ×202.5 =(4.3 +7.6-1.9)×202.5 =10×202.5 =2025 4 知识回顾 练一练 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算： 4.3 ×202.5+0.76 × 2025-1.9 ×202.5 3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值. 4、把 9am+1 –21 am+3a m-1分解因式. 解： (3) ∵a+b=3, ab=2 ∴ a2 b + 2 a2 b2 +a b2 = a b (a + 2 ab +b) =2×（3+2×2） =14 （4） 9am+1 –21 am +3a m-1 = 3am-1•3a² –3 am-1•7a + 3 am-1•1 = 3am-1•（3a²-7a+1） 5 导入新课 分解因式: , 对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果，类似的，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式 大家试一试! 你能想到我们学过的什么内容？ 平方差公式 新知探究 探究点1 平方差公式分解因式 议一议 1.请同学们计算下列各式， 大家说说计算的依据是什么呢? 解: 平方差公式 (a+b)(a－b)=a2－b2 两位同学上台板演 7 新知探究 探究点1 平方差公式分解因式 议一议 2. 根据上面两道题,请大家试着分解因式 (１ ); (２ ) ． 解: （1）; （2）． 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果 ． 平方差公式 (a+b)(a－b)=a2－b2 3.同学们发现了什么规律呢? 8 新知探究 探究点1 平方差公式分解因式 议一议 4. 二项式有什么特点呢? 你能将它分解因式吗? 两个数的平方差的形式 整式乘法 因式分解 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： ) 逆用平方差公式 典例分析 探究点1 平方差公式分解因式 例1、分解因式: (１ ) ( ２ )． 解: (１ ) ; (２ )) 分 析 =（ ）²－（ ）²＝（ ）（ ） a² － b² = ( a +b) ( a - b ) =（ ）²－（ ）²＝（ ）（ ） (1)公式左边： ； 公式右边： ； ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - ▲ ▲ 新知探究 探究点2 平方差公式分解因式应用 议一议 平方差公式结构特征是什么？ 被分解的多项式含有两项，且这两项异号 写成（　）2－（　）2的形式. ▲ 分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 典例分析 探究点2 平方差公式分解因式应用 例 ２　 分解因式: (1) ( 2)． 解: (１ ); 分 析 改写形式 写出结果 公式中a，b分别对应为 确定底数 典例分析 探究点2 平方差公式分解因式应用 例 ２　 分解因式: (1) ( 2)． 解:（2） . 分 析 写出结果 公式中a，b对应 确定底数 和各看成一个整体 新知探究 探究点2 平方差公式分解因式应用 （1）公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式. （2）分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。 （3）如果各项有公因式，需要先提取公因式再分解，分解要彻底 注 意 ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 议一议 平方差公式中字母a、b除了能表示单项式，还能表示其他类型的代数是吗？ 例3.分解因式: （1） （2）4a³ － 4a (3) 典例分析 （ 1） 解: 有公因式2 （2）4a³ － 4a =4a（a2 －1） =4a（a ＋1）（a －1） 有公因式4a 有公因式（） 例4. 利用平方差公式因式分解计算： （1）9992 – 1； （2）502 – 492 + 482 – 472 + ··· +22 – 12； 解：(1)原式 = (999 + 1)×(999 – 1) = 1000×998 = 998000 (2)原式 = (502 – 492) + (482 – 472) + ··· + (22 – 12) = (50 + 49)(50 -49) + (48 + 47)(48 -47) + ……+ (2 + 1)(2-1) = 99 + 95 + ··· + 3 = 1275 典例分析 （3）(1－) (1－) (1－) … (1－) . （3）原式 = (1－) (1－) (1－) (1－) (1－) (1－) … (1－) (1－) = × × × × × × … × × = × = 拓展提升 1. 已知求的值 ． 将已知的平方差公式进行因式分解，再将＋的值代入计算即可求出的值 ． 解:∵ , ∴＝（）÷ =－２． 分 析 拓展提升 2.已知＝５ ,求的值 ． 解: ． ∵＝５ , ∴ , ∴的值是 25． 观察原式，发现 －部分可先利用平方差公式分解因式，再将已知式子的值代入,化简后可进一步求值 ． 分 析 1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ （1） x2 + y2 （2） x2 – y2 （3） –x2 + y2 （4） –x2 – y2 = y2 – x2 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式， 即能写成：a2 – b2的形式.两数是平方,减号放中央 新知巩固 平方和 = –(x2+y2) 2. 分解因式： （1）36 – m2； （2）49n2 – 1； （3） ； （4）81a2 – 16b4 ； （5）4b2 – (b + c)2 ； （6）(m + 2n)2 – (m – 2n)2 . 解：(1)原式= 6² – m2 = (6 + m)(6 – m) 新知巩固 (2) 原式=（7n）2 – 1 = (7n + 1)(7n – 1) (3) 原式 ＝ (a ＋b) (a－ b) （4）原式= (9a)2 – (4b2)2 ＝(9a ＋4) (9a－4) （5）原式= (2b)2 – (b + c)2 = [2b + (b + c)][2b – (b + c)] = (3b + c)(b – c) （6）原式= [(m + 2n) + (m – 2n)][(m + 2n) – (m – 2n)] = 2m · 4n = 8mn 真题感知 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）若满足 ，则代数式 的为 ． 解：∵ ∴ 真题感知 2．（24-25八年级上·北京·期中）已知a 、 b、c 是 的三边，且满足a2–b2+ac –bc =0，则△ABC 的形状是（ ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵a 、 b、c 是 的三边 ∴ ∴ ∴△ABC是等腰三角形 C 课堂小结 怎样利用平方差公式分解因式? 用式子如何表示? 分解因式时,必须遵循什么原则? 平方差公式分解因式 公 式 a2–b2=(a+b)(a–b) 步 骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 课后练习 分解因式. 1.（1）9a2 – 16； （2）81x2 – 64y2； （3） － ； （4）－ . 解：(1) 原式 = (3a + 4)(3a – 4) (2) 原式 = (9x + 8y)(9x – 8y) (3) 原式 = (＋) (－ ) (4) 原式 = (＋2) (－2) 课后练习 2. 利用因式分解计算: －＋－． 解: －＋－ ＝ ( －) ＋ (－) ＝(2021＋2020 )( 2021－2020 ) ＋ ( 2010＋2009 )( 2010－2009 ) ＝4041＋4019 ＝8060 分两组,用平方差公式分别进行分解 课后练习 3. 已知 n 为正整数，求证：(4n + 3)2 – (2n + 3)2 能被24整除. 解： (4n + 3)2 – (2n + 3)2 = [(4n + 3) + (2n + 3)][(4n + 3) – (2n + 3)] = (6n + 6)·2n = 12n(n + 1) ∵ n 为正整数，n 与 n + 1 为一奇一偶， ∴12n(n + 1) 能被 24 整除. ∴ (4n + 3)2 – (2n + 3)2 能被24整除. 感谢聆听! $