17.2 用公式法分解因式（第1课时 用平方差公式分解因式）课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册满分全攻略备课系列

该初中数学课件聚焦用平方差公式分解因式，通过回顾乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²的逆用，以多项式a² - b²的特点分析为导入，搭建从整式乘法到因式分解的知识支架，帮助学生理解公式的联系与区别。 其亮点在于采用分层练习设计，结合典型例题（如分解4x²-9）和易错点提示（分解需彻底），培养学生的运算能力与推理意识。通过“智慧数”“奇特数”等应用问题，发展抽象能力与模型意识，课堂小结明确公式特点，助力学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。

人教版（2024）八年级数学上册 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 （第1课时 用平方差公式分解因式） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.经历通过乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的相反变形得出利用公式法分解因式的过程， 2.理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 新课导入 多项式 a2 – b2 有什么特点？ 你能将它分解因式吗？ 对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果.类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式. (a + b)(a – b) = a2 – b2 把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式. 思 考 5 典型例题 经典例题 例1　分解因式：　 (1) 4x2 – 9； (2) a2 – 25b2 . 解：(1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 (2) a2 – 25b2 = a2 – (5b)2 = (a + 5b)(a – 5b) = (2x + 3)(2x – 3) 分析:在(1)中，由于4x²=(2x)²，9=3 ² ，所以4x²-9 =(2x) ² -3 ²,即可以利用平方差公式分解因式;在(2)中，由于25b²=(5b)²，所以 a²-25b²=a²-(5b)²，即可以利用平方差公式分解因式. 例2　分解因式：　 解：(1) x2 – y4 = (x)2 – (y2)2 (2) (x + p)2 – (x + q)2 = [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)] = (2x + p + q)(p – q) = (x + y2)(x – y2) (1) x2 – y4； (2) (x + p)2 – (x + q)2 . 分析:在(1)中，由于=(y)²，所以x²=x²-(y²)² ，即可以利用平方差公式分解因式;在(2)中，可把x+p和x+q各看成一个整体，设 x+p=a，x+q=b，则原式化为a²一b²，即可以利用平方差公式分解因式. 总结归纳 特别解读 1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式. 2. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点：系数是某个数的平方，指数要成双，减号在中央. 课堂练习 基础题 知识点1 用平方差公式分解因式 1.［2024河北石家庄质检］课堂上老师在黑板上布置了如下题目，小聪马上发现 了其中有一道题目错了，错误的题目是( ) 用平方差公式分解下列各式： （1）; （2） ; （3）; （4） . C A.第（1）题 B.第（2）题 C.第（3）题 D.第（4）题 【解析】 都可以用平方差公式进行因式分解，（3）不能用平方差公式进 行因式分解，故选C. 2.［2024山东烟台期末］小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他 只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业 本上的式子是（“ ”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有 ( ) D A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【解析】该指数可能是2,4,6,8,10.故选D. 12 3.［2025山西长治质检］有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.例如：对 多项式因式分解的结果是，若取， ，则各 个因式的值是，， ，把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码.对于多项式 ， 若取， ，请你写出一个用上述方法产生的密码：________. 212361 【解析】，若取， ， 则，， ，把这些值从小到大 排列得到212361，故答案为212361. 13 4.［2025陕西西安期中］分解因式： __________________________ _____________. 【解析】 . 14 知识点2 平方差公式分解因式的应用 5.［2024福建泉州期中］已知 可以被10到20之间的某两个整数整除，则这 两个数是( ) D A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17 【解析】原式， 这两个数是15和17.故选D. 15 6.［2024四川成都质检］已知,满足方程组则 的值为 _____. 【解析】 . 故答案为 . 16 7.［2025上海嘉定区期中］定义：如果一个正整数能表示为两个正整数， 的平 方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如：当， 时，，且 ，所以8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数” 从小到大排列，则第2 024个“智慧优数”是______. 【解析】， ， ,都是正整数， 是大 于等于2的正整数，是从8开始且能被4整除的正整数， 第2 024个“智 慧优数”是 ，故答案为8 100. 17 易错题 易错点 因式分解时因分解不彻底而出错 8.在实数范围内分解因式： . 丽华的解法如下： 解：原式 . 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来. 【解】丽华因式分解的结果不正确.正确的解题过程如下： 原式 . 易错警示 因式分解要分解到不能再分解为止，不能遗留仍然可以分解的因式. 提升题 9.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 10.先化简，再求值：，其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 20 11.计算下列各式： （1） __； （2） __； （3） __； （4）请你用简便方法计算： 解：原式 . 21 拓展题 12. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”， 例如：， ， ，则8，16，24这三个数都是“奇特数”. （1）32和2 026这两个数是“奇特数”吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差的形式. 解：32是“奇特数”，不是“奇特数”. . （2）设两个连续奇数是和（其中 为正整数），由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8 的整数倍吗？为什么？ 解：由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的整数倍.理由如下： . 为正整数， 由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的整数倍. （3）两个连续偶数的平方差（都取正数）是“奇特数”吗？为什么？ 解：两个连续偶数的平方差（都取正数）不是“奇特数”.理由如下：设这两个连续偶数分别为 和，其中 为正整数，则 . 不是8的整数倍， 两个连续偶数的平方差（都取正数）不是“奇特数”. 课堂小结 用平方差公式分解因式 a2-b2=(a+b)(a-b)， 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第129页练习 第1，2题 课本练习 1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ （1） x2 + y2 （2） x2 – y2 （3） –x2 + y2 （4） –x2 – y2 × √ × √ 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成：a2 – b2的形式. 两数是平方 减号放中央 2. 分解因式： （1）36 – m2； （2）49n2 – 1； 解：(1) 36 – m2 = (36 + m)(36 – m) (2) 49n2 – 1 = (7n + 1)(7n – 1) （4）81a2 – 16b4 ； (4) 81a2 – 16b4 = (9a)2 – (4b2)2 = (9a + 4b2)(9a – 4b2) (3)a2-b2; (3)a2-b2 =(a+b)(a-b). 感谢观看 $