6.3.1 角（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件围绕角的概念展开，涵盖静态与动态定义、表示方法、度分秒换算及方位角等核心知识点。通过图片情境导入，联系线段知识引出角，搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于结合探究讨论与典例评析，如通过钟表指针旋转理解动态定义培养几何直观，度分秒换算例题强化运算能力，方位角应用体现数学与现实的联系。学生提升识图和问题解决能力，教师可利用系统资源优化教学。

角 第 3 节 第6章 6.3.1 角的概念 几何图形初步 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 在现实中,认识角是一种基本的几何图形,理解角的概念,掌握角的表示方法.了解方位角并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 认识角的度量单位度、分、秒,能根据角的度量比较角的大小,熟练进行角的换算. 提高学生的识图的能力,学会用运动变化的观点看问题.保持学习兴趣,养成积极探索的精神和合作意识,感受数学的价值. 理解角的两种定义,掌握角的表示方法 重点 认识角的单位.会进行度、分、秒之间的换算. 难点 重 难 点 创设情境 下列图片中所表示的部分都给我们以什么几何图形的形象？ 想一想：这些表示角的图形有什么共同特点呢？ 与线段一样，角也是一种基本的几何图形. 角 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 角的定义1 (1)观察角的图象,你能归纳出角的特点吗?尝试用数学语言描述一下角 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角. 角的顶点 角的两条边 顶点 射线 静态描述 讨论 射线 两条射线共同一个端点 角 边 边 两条射线所夹的平面区域 角 顶点处只有一个角 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 （2）还记得射线如何表示射线吗？ 讨论 射线有一个端点，可以用两个大写英文字母表示，端点字母在前. 射线OA O A （3）角是两条射线共一个端点组成的图形，如何表示角呢？ ►角的几何符号为“∠” ►角的表示方法: 记法1 用三个大写英文字母表示 记作： ∠AOB或∠BOA O A B 表示顶点的字母必须写在中间, 其他两个字母分别表示角的两边上的点 记作： ∠ XXX（大写英文字母） 可以用一个顶点字母表示 记作：∠O 记作： ∠ X（顶点字母） ►角的表示方法: 记法2 用一个小写希腊字母表示 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 记作：∠α 记法3 用一个数字表示 记作：∠1 同时在图上标注角度弧线和对应的希腊字母 记作： ∠ X（希腊字母） 记作： ∠ X（数字） 同时在图上标注角度弧线和对应的数字 α 1 注意：“∠”不要与“＜”混淆 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 （4）图中有哪些角?（用三个字母表示） O A B C α β ∠α还可以表示为∠AOB ∠AOB ∠AOC ∠BOC ∠α不能记作∠O ∠β还可以表示为∠BOC 讨论 （2）能把∠α记作∠O吗？为什么? （3）∠α还可以怎么表示？ ∠β？ 当在顶点处只有一个角时，才可以用一个大写英文字母表示 . 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 角的表示方法 表示方法 图示 记法 注意 用三个大写英文字母表示 用一个大写英文字母表示 用数字或一个希腊字母表示 O A B O A B C α 1 ∠AOB 或 ∠BOA ∠O ∠AOB记作∠α ∠BOC记作∠1 顶点字母写在中间 在顶点处只有一个角时才能用这种方法表示 在图上标注角度弧线和对应的希腊字母或数字 归纳 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 思 考 （1）钟表上指针转动，这个“角”是怎样形成的？ 指针转动时，指针开始位置与终止位置形成了“角” 的形象图形 （2）如果把指针看成射线，射线绕端点旋转形成怎样的图形？观察图形，说一说 射线OA绕点O旋转, 顶点 始边 终边 O A 角的定义2: 角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 动态描述 思 考 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 （3）当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,形成什么角?继续旋转,OB和OA 重合时,又形成什么角? O A B 当终边OB和始边OA成一条直线时，形成平角 注意： 平角的两边是两条射线，在一条直线上但方向相反，不能说平角就是直线，直线是平角 1 平角 = 180° 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 O A （B） 当终边OB和始边OA重合时，形成周角 1 周角 = 360° 今后，若无特别说明，本套书所说的角都是指还没有旋转成平角时所成的角. 说 明 思 考 （3）当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,形成什么角?继续旋转,OB和OA 重合时,又形成什么角? 注意： 周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线 新知讲授 探究点1 角的概念及表示方法 角度范围 角的名称 相互关系 0°＜∠α＜90° 锐角 锐角<直角<钝角<平角<周角; 1平角=2直角; 1周角=2平角=4直角 ∠α=90° 直角 90°＜∠α＜180° 钝角 ∠α=180° 平角 ∠α=360° 周角 角的分类 归纳 新知讲授 探究点2 角的度量 小学时我们如何度量角的大小? 度量工具：量角器 角度测量仪 360° 新知讲授 探究点2 角的度量 角的度量单位 度量单位：度，分，秒 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 角的度量单位 1° 讨论 ∠α的度数是48度56分37秒 记作∠α = 48º56ʹ37ʺ 角的度数表示： 示例 新知讲授 探究点2 角的度量 角的单位换算： 1周角=_____° 1平角=_____° 1直角=_____° 1°= _____' 1' = _____'' 1'' = _____' 1' = _____° 1'' = _______° 1周角=___平角 1平角=___直角 360 180 90 60 60 2 2 1周角=___直角 4 归 纳 角的度、分、秒是六十进制的 角的度、分、秒是六十进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的. 典例评析 探究点2 角的度量 1. 25°= '= "； (2) 5400"= '= °； (3)91. 34°= ° ' "； (4)15°48'36"= °. 解： (1)1.25°=1.25×60′=75′ 75′ =75×60"=4500"， 即1.25°=75'=4500". (2)5400"=5400×()'=90' 90' =90×()°=1.5°， 即5400" =90′=1.5°. 75 4500 90 1.5 例1.完成下列填空 典例评析 探究点2 角的度量 1. 25°= '= "； (2) 5400"= '= °； (3)91. 34°= ° ' "； (4)15°48'36"= °. 75 4500 90 1.5 例1.完成下列填空 (3)91.34° =91°+0.34×60′ =91°+20.4' =91°20' + 0.4×60" =91°20'24". (4)15°48'36" =15°+48′+36×()' =15°+48'+0.6' =15°+48.6×()° =15.81°. 解： 91 20 24 15. 81 新知讲授 探究点2 角的度量 归 纳 角度制： 度量角的单位制介绍 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 弧度制： 以弧度为基本度量单位的弧度制 密位制： 密位制在军事上经常使用。 用途：军事瞄准、测距、算目标高低 把一个圆周分成 6000 份，每 1 份 = 1 密位。 角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦。最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密 （Ptolemaeus,约90—168）的 《天文学大成》．托勒密在书中将圆周分为360等份，将１份记 为１°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制． 新知讲授 探究点3 方位角 讨论 在航行、测绘等工作中经常用到表示方向的角——方位角 ►平面图上方向规定为 “上北下南，左西右东” 1.方位角定义： 用方向和角度表示方向的角. O 北 南 西 东 A 45° B 60° ►正北、正南为基准 ►以正北或正南为角的始边向第二个方向正东或正西转动所形成的角。 2.方位角的形成： 射线OA的方向是北偏东45° 射线OB的方向是南偏西60° 示例 新知讲授 讨论 在航行、测绘等工作中经常用到表示方向的角——方位角 探究点3 方位角 带方位的量角器 ►方位角度数： 方向坐标里方向线与南北线的夹角度数 O 北 南 西 东 A α A β ►方位角表示: 南（北）偏东（西） ° “东北方向”指的是北偏东45°， “西北方向” 指北偏西45° 、 东南方向、西南方向同理. 北偏东 南偏西 讨论 在航行、测绘等工作中经常用到表示方向的角——方位角 新知讲授 探究点3 方位角 东 西 南 O 正东： 正南： 正西： 正北： 西北方向： 西南方向： 东北方向： 东南方向： 射线 OA A B C 45° E G F H 45° 八大方位： 45° 45° 射线 OB 射线 OC 射线 OD 射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG 典例评析 例1 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线. O 北 南 西 东 A 60° 方位角的画法： ①确定中心，以参照物为中心 ②确定始边，以正北或正南方向为始边 ③确定偏向，偏东或偏西 ④确定角度，画出终边 终边所指的方向就表示物体所在的方向 探究点3 方位角 画图分析 典例评析 例1 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线. 探究点3 方位角 O 北 南 西 东 A 60° B 40° D 45° C 10° 解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间. 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置. 类似地，可画出表示货轮C和海岛D方向的射线OD、射线OC 新知巩固 1. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ 解： 6时整钟表的时针和分针构成的角是180°， 8时钟表的时针和分针构成的角是120°， 8时30分钟表的时针和分针构成的角是75°. 【教材P172 】 2.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来. 表示方法1 ∠1 ∠3 ∠D 表示方法2 ∠CAD ∠ACB ∠ABC ∠ACD ∠2 ∠B ∠4 ∠BAC ∠ADC 25 课后练习 3.（1）35°等于多少分？等于多少秒？ （2） 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？ 解：（1）35°=2100'=126000'' （2）这两个角不相等，38°15'大. 4. 从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形（六条边相等，六个角也相等）构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形. 【教材P172 】 检测反馈 1.下图中表示∠ABC的图是 (　　) 2.如图所示,能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是 (　　) C D 3.下列关于角的说法正确的是 (　　) A.两条射线组成的图形叫做角 B.延长一个角的两边 C.角的两边是射线,所以角不可以度量 D.角的大小与这个角的两边长短无关 4嘉嘉一家去赵州桥参观.如图，嘉嘉站在点 B 处，赵州桥在点 A 处，则从点 B 看点 A 的方向是(　　) A. 南偏东43° B. 南偏东47° C. 北偏西43° D. 北偏西47° A 检测反馈 D 5.填空： (1)40°12'36″＝ °； (2)7.26°＝ ° ' ″； (3)35.15°＝ ° '. 40.21　 7　 15　 36　 35　 9　 检测反馈 6.如图，写出全部符合条件的角. (1) 能用一个大写字母表示的角； (2) 以 D 为顶点且小于平角的角； (3) 以 A 为顶点的角. 解：(1) 能用一个大写字母表示的角是∠B. (2) 以 D 为顶点且小于平角的角有∠ADC和∠ADB. (3) 以 A 为顶点的角有∠BAD，∠DAC(∠2)和∠BAC. 拓展提升 1. 如图，点C 在 的边上，是 内部的一条射线． (1)在射线上取一点 D，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点P ，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据： ； (4)若 ，则______ °． D P （2）如图所示，连结CD交OE于P点，点P即为所求； 解：（1）如图所示，点D即为所求； （3）解：∵ ∴当点C，P，D三点共线时， 最小， ∴依据是两点之间，线段最短； 两点之间，线段最短 1.如图，点C 在 的边上，是 内部的一条射线． (1)在射线上取一点 D，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点P ，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据： ； (4)若 ，则______ °． D P （4）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 拓展提升 两点之间，线段最短 1.（24-25七年级上•湖南衡阳•期末）在锐角 内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 解： ∵在锐角内部，画1条射线， 可得 个锐角， 在锐角内部，画2条射线， 可得 个锐角， 在锐角 内部，画3条射线， 可得 个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是： ∴画2020条不同的射线，可得锐角： 2043231 真题感知 课堂小结 类型 概念 图 形 静态描述 动态描述 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角. 由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角. 顶点 边 边 顶点 终边 始边 角的概念及表示方法 O A B O A （B） 平角和周角： 角的表 示方法 用三个大写字母或一个大写字母表示 用一个数字加弧线表示 用一个小写希腊字母加弧线表示 角的度量 度、分、秒 1°=60′，1′=60″ 角 方位角 物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角 通常要先写北或南，再写偏东或偏西 课堂小结 课后练习 1.图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来. 解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC. 习题 6.3 课本p178页 3.填空题. （1）0.4°=_______′； （2）12″=______′； （3）57°31′+17°39′=______°______′； （4）25°36′×4=______°______′； （5）46.8°÷6=_____°=______°______′ 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 课后练习 5.按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线： （1）北偏西30°；（2）南偏东75°； （3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）. 解：如图所示（1）射线 OA； （2）射线 OB； （3）射线 OC； （4）射线 OD. 习题 6.3 课本p178页 课后练习 6.（1）时钟的时针1h旋转多少度？ （2）时钟的分针1min旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ 解：（1）360°÷12=30°； （2）30°÷5=6°； （3）因为时针一分钟转0.5°， 所以 6°×25-（30°×3+25×0.5°）=47.5°. 习题 6.3 课本p178页 课后练习 13.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置. 60° 30° P 解：如图，点P位置即为这艘船的位置. 习题 6.3 课本p179页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $