6.2.2 线段的比较与运算 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦线段的和差倍分运算及中点、等分点概念，通过知识回顾（尺规作图、线段比较方法等）衔接旧知，以作一条线段等于已知线段为基础，逐步过渡到和差作图及中点应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过尺规作图分步演示、动画展示线段和差动态过程，结合分类讨论例题（如点C在线段上或延长线求MN长度）培养学生空间观念。课堂小结清晰归纳中点、等分点数量关系，检测反馈与真题感知强化应用，助力学生提升运算能力与探究意识，便于教师高效开展教学。

直线、射线、线段 2.线段的比较与运算 第 2 节 第6章 第2课时 线段的运算 几何图形初步 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 能够运用线段的和、差关系求线段的长度;体会数形结合思想,并能进行简单的应用 理解线段的和､差及线段中点的意义,了解三等分点､四等分点的意义.会画两条线段的和､差 通过探究实际问题得出结论的过程，发展几何直观感知能力、合情的推理能力以及探究意识，提高学生的学习兴趣与解决实际问题的能力． 利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差, 重点 利用线段的和、差、倍、分求线段的长度. 难点 重 难 点 1.限定用 和 作图，这就是尺规作图． 知识回顾 无刻度的直尺 圆规 2．比较两条线段的长短， 用刻度尺分别测量出它们的 来比较，即度量法； 用圆规把其中的一条线段移到另一条线段 作比较，即叠合法． 长度 上 3.两点的所有连线中，线段 ；简记 。 最短 两点之间，线段最短 4. 连接两点间的 ，叫做这两点间的 . 线段的长度 距离 知识回顾 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a a 作法： 1）用直尺画射线AC. 2）用圆规在射线AC上截取AB=a. B ∴ 线段AB为所求. A C 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 （1）如图，线段AB与AC， BC与AC的大小关系是怎样的？ 讨论 A B C AB ＜ AC BC < AC （2）如图，线段AB、BC与AC的长度关系是怎样的？ 线段AB的长度+线段BC的长度=线段 AC的长度 线段AC的长度－线段BC的长度=线段 AB的长度 线段的和 AB+BC=AC 线段的差 AC－BC=AB AC－AB=BC 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 讨论 （3）线段的和 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在线段 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= . （4）线段的差 A B C a b A B D a-b a b a+b a b a+b a b a－b 若线段c的长度是线段a，b的长度的和(差)，称线段c是线段a，b的和(差) 新知讲授 归纳 探究点1 线段的和、差、倍、分 线段的和与差 从“数”的角度看 从“形”的角度看 a b c c=a+b a b c c=a－b 画一画 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 你能用尺规作图得到线段a和线段b的和、差吗？ （1）已知线段a与线段b，作一条线段AC，使AC=a+b. 步骤：①在直线上作线段AB=a； A B a ②在AB的延长线上作线段BC=b. C b a b 线段AC=a+b 画一画 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 你能用尺规作图得到线段a和线段b的和、差吗？ （1）已知线段a与线段b，作一条线段AC，使AC=a－b. a b A B D a b 步骤：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB上作线段BD=b. AD = a-b 归纳 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 你能用尺规作图得到线段a和线段b的和、差吗？ AB = a+b a A E b B l 动画展示 归纳 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 你能用尺规作图得到线段a和线段b的和、差吗？ CD = a-b 动画展示 a C F b D l 新知讲授 探究点1 线段的和、差、倍、分 例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b. 解：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a； ③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b. a a A B C D b a b 新知讲授 探究点2 线段的中点、等分点 a A l M B 线段AB就是所求作的线段 AM=MB 中点 = AB 若点M在线段AB上，且把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，这时M叫作线段AB的中点. 如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a. 活动 想一想：线段 AB上的点M 位于什么位置？ 新知讲授 探究点2 线段的中点、等分点 A M B 若点M是线段AB的中点，你能得到哪些线段之间的数量关系？ 若点M是线段AB的中点，则AM=______=________ MB 若点M是线段AB的中点，则AB=_______=________ 2AM 2MB 思考 O A B ∵ O是线段 AB 的中点 ∴ AO= OB = AB ( 或 AB =2AO = 2OB ) ∵ AO = OB = AB ( 或 AB = 2AO = 2OB ) ∴ O 是线段 AB 的中点 线段中点的几何表述 探究点2 线段的中点、等分点 新知讲授 归纳 定义： 线段上把这条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点. 反之也成立 几何语言： 线段的中点只有1个 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？ 探究点2 线段的中点、等分点 新知讲授 活动 A B M 中点 新知讲授 探究点2 线段的中点、等分点 类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点？ A M B N 三等分点：将一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. AM=MN=NB=AB 线段的三等分点有2个 思考 新知讲授 探究点2 线段的中点、等分点 四等分点：将一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. AM=MN=NP=PB=AB A M B N P 线段的四等分点有3个 类比线段的中点，想一想什么叫线段的四等分点？ 思考 例2.如图，线段 ． (1)反向延长线段 到点C，使 ； (2)在所画图中，设D是的中点，E是的中点，求的长． （1）解：如图所示： C （2）解：∵ ，由（1）知 ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∵ ， ， ∴ ． 如图所示： 典例评析 典例评析 例3.已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，求线段的长度 解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ， ∴（）． 典例评析 例3.已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，求线段的长度 ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 例4.如图，、是线段上两点，已知，、分别为、的中点，且，求线段的长． 典例评析 解：设、、的长分别为、、， 则因为， 所以，解得：， 所以，，， 因为、分别为、的中点， 所以（3分） 所以（5分） 答：的长为． 按比例设线段长 新知巩固 教材P166 2.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b. A C 解： (1) 作射线 AM； (2) 在射线 AM 上截取 AC=a； (3) 在射线 CM 上连续截取 CD=DE=b； 则线段 AE 即为所求. D E M b a b 新知讲授 解：当点 P在线段 MN 的延长线上时，如图①，MP=MN+NP=3+1=4(cm)； 当点P在线段MN上时，如图②，MP=MN-NP=3-1=2(cm). 综上所述，线段 MP 的长为 4 cm 或2 cm. 3.点M，N，P，在同一直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长. 教材P166 1.线段，是直线上的一点，，则的长度为　　 A． B． C．或 D．以上都不对 当点在点的左边时， 检测反馈 解：当点在点的右边时， ； ； 2.如图所示，如果延长线段到，使，为中点，，则的长是　　 解：∵为中点，， ， ∵，而， ， ． 检测反馈 A．5 B．3 C．13 D．4 D 3.如图，点是的中点，点是的中点，则下列等式中成立的有 （填写序号） ①； ②； ③； ④． 解：因为点是的中点，点是的中点， 所以，， 则，①错误；②正确； ，③错误； 因为点是的中点，点是的中点， ，④错误， 检测反馈 ② 4.在数轴上，点，点分别表示和5，则线段的中点所表示的数是 ． 检测反馈 解：根据题意，得 ， ，所以线段的中点所表示的数是1． 1 5.如图,点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如MC比NC长2 cm，AC比BC长 (　　) A.2 cm　　 B.4 cm　　 C.1 cm　　 D.6 cm 解:点M是AC的中点,点N是BC的中点, 所以AC=2MC,BC=2NC, 所以AC-BC=(MC-NC)×2=4 cm, 即AC比BC长4 cm. B 检测反馈 6.如图,B,C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点,EC=2 cm,求: (1)AD的长. (2)AB∶BE. 解:(1)设AB=2x,则BC=3x,CD=4x, 由线段的和差,得AD=AB+BC+CD=9x. 由E为AD的中点,得ED=AD=x. 由线段的和差得 CE=DE-CD=x-4x==2. 解得x=4.所以AD=9x=36(cm). (2)AB=2x=8(cm),BC=3x=12(cm). 由线段的和差,得BE=BC-CE=12-2=10(cm). 所以AB∶BE=8∶10=4∶5. 方法总结: 在遇到线段之间比的问题时,往往设出未知数,列方程解答. 拓展提升 解: 两种情形: (1)当点C在线段AB上时,如图: AC=AB-BC,又因为AB=6,BC=4， 所以AC=6-4=2,D是AC的中点,所以AD=1; (2)当点C在线段AB的延长线上时,如图: AC=AB+BC,又因为AB=6,BC=4, 所以AC=6+4=10，D是AC的中点,所以AD=5. 方法总结: 解答本题关键是正确画图,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解. 1.如果线段AB=6，点C在直线AB上，BC=4，D是AC的中点，那么A，D两点间的距离是(　　) A.5　　B.2.5　　C.5或2.5　　D.5或1 D 真题感知 1 .（24-25七年级上•重庆秀山•期末）三点在同一直线上，线段， ，那么、两点的距离是( ) A． B． C． 或 D．以上答案都不对 解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵， ， ∴、两点的距离是； C ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵， ， ∴、两点的距离是； 综上所述：、两点的距离是： 或 ， 2.（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是-20 ，-12 ，8． (1)填空：AB= 　 　，BC= 　 　； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．试探索：BC-AB 的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． （1）解：由图象可知： （2）解：设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数是-20-t ，点B表示的数是-12+2t ，点C表示的数是 8+5t， ∴ BC-AB的值与时间t无关 BC-AB的值不随时间的变化而变化 真题感知 真题感知 3.[2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ； －1　 2或16　 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). 解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图①， ① 则点 C 表示的数为5＋ x . 因为 M 为线段 OC 的中点， 所以点 M 表示的数为 . 所以 BM ＝ －(－1)＝ . 真题感知 3.[2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ； －1　 2或16　 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). ②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ， 所以点 M 表示的数为 . ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②， 则 BM ＝ －(－1)＝ . ② ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③， 则 BM ＝－1－ ＝ . ③ ②在AB的延长线上作线段BC=b. a A B b C 线段a与线段b的和 线段AC就是a与b的和 记作 AC = a+b a b l 课堂小结 步骤：①在直线上作线段AB=a； 用尺规作线段a与线段b的和与差的画法（a＞b） 步骤：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB上作线段BD=b. a A B b D 线段a与线段b的差 线段AD就是a与b的差 记作 AD = a-b l 课堂小结 线段的中点 线段的三等分点 线段的四等分点 AM=MN=NP=PB= AB AM=MN=NB=AB AM=MB=AB 4.如图，点C，D在线段AB上，且AC=CB，CD=DB. （1）点_____是线段AB的中点，点C是线段_____的三等分点. （2）AC是DB的几倍？AB是CD的几倍？ C AD 解：AC是DB的2倍，AB是CD的4倍. 课后练习 课后练习 5.已知线段AB，延长AB至点C，使BC= AB，D是线段AC的中点，如果DC=2，那么AB的长为（ ） B （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 A D C B 4 2 因为BC= AB 所以AB= C B 所以 C B+ C B=AB=4 所以CB=1, AB=3 课后练习 7. A，B，C是数轴上的三个点，点 A 表示数 3，且线段 AB的长为 4，C为AB的中点. 点C表示的数是多少？ 解:点C表示的数是1或 5. b b 8.如图，已知线段a，b，c，作一条线段，使它等于a+2b-c. A B C D E 解：如图所示，AE= a+2b-c. c a 习题 6.2 课本p167页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $