专题13 椭圆（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以分层设问构建椭圆解题体系，通过真题研析与模拟探源，系统整合标准方程、离心率及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆标准方程与离心率|2026真题2例+模拟5题|“识别→转化→运算”三层思维台阶，几何意义与分类讨论|从基本量(a,b,c)概念生成，到离心率几何意义推导，再到三角形绑定应用拓展| |椭圆综合解答|2024-2025真题3题+模拟11题|“三问递进”结构（基础求方程/离心率、中档条件转化、压轴探究），规避套路化路径|从方程求解到存在性/定值问题，构建“概念→推导→综合应用”逻辑链条，覆盖不同层次考生需求|

专题13 椭圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 大题结构：统一采用“三问递进、分值 4 + 6 + 8”。第 1 问基础（求方程 / 离心率，覆盖大多数考生）；第 2 问中档（条件转化、求值，区分中上等生）；第 3 问压轴（范围 / 存在性 / 定值探究，选拔顶尖生）。 小题结构：虽为单空，内部同样呈现“识别 → 转化 → 运算”三层思维台阶（如 2026 秋考第 12 题）。 椭圆的标准方程与离心率 2026秋考第12题 2026春考第11题 椭圆综合解答 2025秋考第20题 2025春考第20题 2024春考第20题 将椭圆基本量（a、b、c）与三角形三边长度绑定，综合考查顶点、焦点、离心率的几何意义与分类讨论能力，规避“直接设方程代入”的套路化路径。 考向一 椭圆的标准方程 典例1．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 考向二 椭圆的离心率 典例2．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 考向一 椭圆综合解答 1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 2．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）由，则，即离心率为； （2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. （3）由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 3．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 2．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 二、填空题 3．（2026·上海·三模）椭圆的离心率为________． 【答案】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 4．（2026·上海黄浦·三模）若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 【答案】或 【详解】由题意可知：、为椭圆的两个焦点，在椭圆上,长轴长， 可知 由正弦定理可得：, 或. 6．（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 【答案】20 【详解】如图所示： 由题意可得 以或或或为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有个； 以或或或为等腰三角形的腰， 则， 设另一点为， 若， 即， 由，解得，符合题意；(舍去)； 同理，若， 即， 由，解得，不符题意； 故只能， 这样的点关于轴对称，共有2个， 故共有个； 以为腰， 因为， 设另一点为， 若， 即， 由，解得， 同理若， 即， 由，解得， 这样的点关于轴对称，共有4个； 若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意； 综上，共有个这样的等腰三角形. 7．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 三、解答题 8．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . (2)证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 9．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)最大值为4，最小值为2 (3)，四边形面积的最大值为 【详解】（1）当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； （2）椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； （3）设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 10．（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)0 (3)是， 【详解】（1）由题设，则，离心率为； （2）由（1）知，，即， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； （3）由，则为的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 11．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【详解】（1）记椭圆 的长轴长为，短轴长为，焦距为 ， 则，所以离心率. （2）由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） (3)易知，当直线斜率为0时， 为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 12．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 【答案】(1)椭圆的焦距为，离心率. (2)存在；. (3) 【详解】（1）由椭圆知：，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率. （2）由（1）知：，因为，所以， 若存在点，使得的面积为， 设点到直线的距离，则，即， 因为，所以直线方程为：，即， 设过点平行于直线的直线方程为， 由点到直线的距离，即直线与间的距离为， 所以，解得：或， 当时，直线方程为， 联立得：，解得：或， 因为点位于第二象限点，所以，代入解得：，即， 当时，直线方程为， 联立得：， 由，所以方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点， 综上所述：存在满足条件的点，且. （3）由题意可设直线，， 联立化简得：， 由，即， 所以， 设线段中点为，则， 所以，即，又为中点，所以， 因为，所以，即， 所以， 因为直线与轴和轴均不平行，所以，所以， 所以，整理可得：， 因为，所以，解得：，又， 所以实数的取值范围为. 13．（2026·上海闵行·模拟预测）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求出点E的轨迹的方程； (2)又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； （2）设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：. （3）设到直线的距离为， ， ，由（2）可知， ， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 14．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】(1)、 (2)或． (3) 【详解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 15．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【详解】（1）由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； (2)证明如下： 设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以， 因此，得证. （3）设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 16．（2026·上海奉贤·二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l与相切，求当时，的长； (3)若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）由，则，可设，、， 则由直线与相切，可得，化简得， 联立，消去可得， ， 则，， 则 ； （3）设，、，， 联立，消去可得， ，即， ，， 由点在以为直径的圆上，则， 由，， 则 ， 即 故，则有， 由，故，则有， 即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点， 且点坐标为. 17．（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 【详解】（1）由，故，，故， 故离心率． (2)设直线，的方程分别为，，,， 由，得， ，得， 又，． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线，在轴上的截距之和为0． 由四边形为菱形得，设的斜率分别为,则， 由（1）知，关于原点对称， 由椭圆的对称性知点与点，点与点均关于原点对称， 所以 ．整理得， 所以直线,之间的距离， 所以直线，之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，，四边形的面积， 因为，且，，故， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积． 18．（2026·上海·三模）设椭圆 (1)若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； (2)若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； (3)若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】(1)椭圆方程为，其焦点坐标为， (2)，. (3). 【详解】（1）由和可得，，所以椭圆方程为，其焦点坐 标为， （2）由和可得，，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， ， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为 ， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑 ， 令，则，则，则 ， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. （3）如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则. 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值. 令，则点在椭圆上， 易知，等号成立时当且仅当 ， 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部. 综上所述，的最大值为. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，即，所以，即， 则直线的方程为：，令，得，即. 因为椭圆：的左右顶点分别为， 上下顶点分别为，四边形为菱形，边长为， 所以周长为，即， 又因为，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，满足，即， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 由题意知，当时最小，所以，即. （3）由题意知直线的方程为，设， 由，得， 所以，解得， 又， 设，因为在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上，所以， 所以，所以， 所以点在直线上，所以. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 椭圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 大题结构：统一采用“三问递进、分值 4 + 6 + 8”。第 1 问基础（求方程 / 离心率，覆盖大多数考生）；第 2 问中档（条件转化、求值，区分中上等生）；第 3 问压轴（范围 / 存在性 / 定值探究，选拔顶尖生）。 小题结构：虽为单空，内部同样呈现“识别 → 转化 → 运算”三层思维台阶（如 2026 秋考第 12 题）。 椭圆的标准方程与离心率 2026秋考第12题 2026春考第11题 椭圆综合解答 2025秋考第20题 2025春考第20题 2024春考第20题 将椭圆基本量（a、b、c）与三角形三边长度绑定，综合考查顶点、焦点、离心率的几何意义与分类讨论能力，规避“直接设方程代入”的套路化路径。 考向一 椭圆的标准方程 典例1．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 考向二 椭圆的离心率 典例2．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 考向一 椭圆综合解答 1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 2．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 二、填空题 3．（2026·上海·三模）椭圆的离心率为________． 4．（2026·上海黄浦·三模）若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 6．（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 7．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 三、解答题 8．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 9．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 10．（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 11．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 12．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 13．（2026·上海闵行·模拟预测）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求出点E的轨迹的方程； (2)又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 14．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 15．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 16．（2026·上海奉贤·二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l与相切，求当时，的长； (3)若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 17．（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 18．（2026·上海·三模）设椭圆 (1)若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； (2)若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； (3)若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $