圆锥曲线解答题专项训练-2026届高三数学二轮专题复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线离心率与定点问题，以题载法构建"定义-性质-运算"逻辑链，强化数学运算与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离心率计算|题目1,3|焦半径公式+角平分线定理；渐近线参数方程|椭圆定义→焦点三角形性质→离心率公式推导| |定点与范围|题目2,4,5|韦达定理设而不求；导数求最值；对称性分析|直线与曲线联立→方程思想→动态问题转化|

题目1：椭圆C+广=1a>b>0左、右焦点分别为r,R,A为下顶点P在 a b2 第一象限且在椭圆上，PA平分∠F1PF2,设PA和x轴交于B,且有AB3=AO2×AP, (O为坐标原点)，则椭圆离心率e2为 题目2如图，椭圆C:+号-1，F为其右焦点D为其左顶点过F的直线与C交于 43 A,B两点直线1：X=-4AD和交于E点BD和交于G点取GE中点M,AB中点V (1)设SAD旭=λ，求，的取值范围 SADGE (2)求∠MON最小值 题目3：双曲线E:X.上=1的左右焦点分别为F,下，过F,的直线与双曲线的渐近线交于 A.与双曲线交于B(A、B在第-象限)，若AB LAFAB号a,则E的离心率为 A、2 B、2V2 C、4 D、8 题目4：已知椭圆C:Y+y=1过×轴上定点T(1,0)的直线1与椭圆交于A,B 4 两点.设椭圆左顶点为D,直线DA,DB分别交定直线x=4于M,N两点，证明： 以MN为直径的圆恒过定点. 题目5：已知抛物线C:x=4y的焦点为F,过点F的直线1与抛物线交于 A,B两点，分别过A,B两点作抛物线的切线，两条切线相交于点P若点Q是× 轴上的动点且满足QA·QB=0记△PAB的面积为S:△QAB的面积为S,若 斜率范围为(-1,1)，求S1的取值范围. S2 题目1解答： 由角平分线定理，在△FPF2中，有 PF BF PF,BF, 利用椭圆焦半径公式PF,=a+eX,PF,=a-eX,以及Bt,0 得a+xo_t+c a-exo c-t 解之得t=ex即B(e'X,0 由A,B,P共线，斜率相等：Y+也=b xo exo 放y,+b= e 代入椭圆方程： +1-e 解得=a2.2e1 利阿条作AF-A加共+0=e+AP怎 代入并平方得 e*6-6 将-a,2C6=1-e2代入化简得e=1e之 即e4+e2-1=0. 解方程得e-5-1(舍负. 2 因此，椭圆的离心率的平方为5-1 2 二级结论：椭圆的焦半径公式：PF1=a+exo,PF2=a-exo 焦点三角形和×轴焦点坐标关系：(e'X,0]° 题目2解答：①当直线AB斜率存在时，设AB:y=k(x-1),k≠0 联立稀圆方程丈+KX-1=1=3+4kKX-8kx+4心-12=0. 43 设AX1,y,B（x） 由韦达定理： 8K2 4k2-12 X+x3+4xx,= 3+4k2 直线AD与l的交点E:由D(-2,0),A(X1,y1)得参数式，令x=-4解 得E4, 2y1。 同理G 2y2 X1+2 -4, X2+2 由于D在E与A之间，且DE=DG=2,故 S△DAB=DA·DB-X1+2(X+2 SADGE DE·DG 4 则(x+20x+2)=xX,+2x+6+4=4:12+16 +4=36K2 3+4k23+4k23+4k2’ 代入得1=是.36k=9 43+4k23+4k2 2当直线AB斜率不行在时AB:X=1.代入椭园得y=号则X=X1 (x+2(x2+2)=9,A=9 41 器wea学1-受 3+4K】 4 的取值范国为0，号。 由@-4，w 3k) 3+4k23+4k2 设t=k2>0.OM.0N=.16t+3 3+4t 1m1=11成1- 4t 2 3t VtV16t+9 t t 3+4t 3+4t 那么cos∠MON= OM.ON 16t+3 |OM|1ON|16t+1)(16t+9 令u=16t>0,cos∠MON=- u+3 u+1)(u+9 考虑函数guFu+1u+9 u+3 >0其平方 u+32） guFu+1u+91+10u+9 =1- 4u 4u 、-4 41 当u>0时，+10u*9u+10+g10+2g4,等号当u是即u=3时成立。 u 故gae1-子-子即gu ,从而 COS 2 MONS3 2 当月仅当u=3即=是k=±平时取字。此时∠w0N=150. 4 评析：本题方法不同于倒角公式，求余弦用向量也是处理角度问题的办法，读者也可 用倒角公式尝试，但本题计算量偏大 题目3解答：注：（本题计算太大，做法过于暴力，参考价值不大） 由垂直条件(x+c)(c-xo)+y(-yo)=0及A在渐近线上，解得A(a,b)。直线AF1 的方向向量为a+c,b,利用参数方程： x=-c+(a+c)t, y=bt, 代入双曲线方程得关于t的二次方程： c(2a+c)t2-2c(a+c)t+b2=0. 设t=1对应点A,另一根tg>1对应点B,则 1AB|=(t。-1)a+c'+b=tg-1)2c(a+c=3a 3 解得tB=1+ 5V2c(a+c) 将tB代入二次方程，化简得 (2+ex2+2x.1=0,x= 3 2e1+e 代入x并整理得 119e2-824e-1024=0, 解得e=8（负根舍去)。故离心率为8，对应选项D。 具体计算过程请读者自行计算，解答仅为大致思路 注：本题计算太大，做法过于暴力，参考价值不大 题目4解答： 设直线：x=my+1 设A(x1,y1),B(x2,y2 联立消去X整理得： (m2+4)y2+2my-3=0由韦达定理得： y+y2= m2+4少y2=.3 2m m2+4 直线DA过点D-2,0方程为y=1（x+2) X1+2 令X4得M点纵坐标yw《 6y1即M(4, y11° 1+2 同理得N(4, 6y21 2+2 由对称性，定点一定在x轴上，设以MN为直径的圆过x轴上定点P(x,0),由直 径所对圆周角为直角，得PM·PN=0即：(4-xP+ywyx=0 36y1y2 yw'yN=x+2)(x2+2) (x1+2j(x2+2)=(my1+3)(my2+3)=m2y1y2+3m(y1+y2)+9 36(3 yM'yN=- m+4=-3 36 m+4 代入(4-x2-3=0 解得 x=4±V3° 故以MN为直径的圆恒过×轴上定点(4+3,0)和(4-3,0)。 评析：本题难度适中，思路不困难，但是要考虑对称性得到定点在x轴上 题目5解答： 设直线1的方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立直线与抛物线方程，消去y整理得：x2-4x-4=0 由韦达定理得：X1+x2=4k,X1X2=-4 -Xi(x-Xi) 过点A的切线方程为：y-y= 化简得： X1 y= 2 X-- 4 同理，过点B的切线方程为：) 2 x- 4 联立两条切线方程得X=X十义=2k 2 将x=2k代入切线方程，结合y1=kX1+1,得：y=kx1-y1=-1 因此点P的坐标为(2k,-1) 设×轴上动点Q,0由QA·QB=0得：(x-t〔x,t)+y,=0 展开： X1X2-t(x1+x2)+t+y1y2=0 .足-X=1代入x+x=4kXX=4 由韦达定理，yy,=4416 -4-4t+t2+1=0整理得 t2.4t-3=0解方程得： t=2k±V4k2+3 1AB=1+k2·x1x2=41+k2） 点p2k,-1到直线1：kx-y+1=0的距离：d,k~2k--1+1=2+ Vk2+1 则saBd,=41+k月 点Q1t,0到直线1的距离：d,t+1 Vk2+1 则s,=AB1d=21+Rk+ 带入得面积比：S-4(1+k2)7 2(1+k2) S2 21+k2.kt+1 kt+1 将t=2k±4K+3代入，则k+1=22+1±k4K+3 令S1=T 则由分子有理化，T=4K+2干2k4K+3 记fk)=4k2+2+2kV4K+3gk)=4K2+2-2k4K+3 且k∈(-1,1 不难发现f(k)=g(-k),且k范围对称 故而只用研究其中一个函数即可，不妨研究fk 求导：fk)=8k4k+3+16k2+6 94k2+3 对于分子考海8kV4+3+16k2+620。k0显然成立考虑k0时 即16k2+68kV4K+3平方整理即可，发现恒成立那么f(k)单调递增 则fk值域为：(6-2V7.6+2V7) 评析：本题目强行解二次方程少见，但是两种情况对称，计算量较大，题目较复杂。 实际上f(k)在负无穷处极限为0.5，表明面积比存在下确界，但是求极限相关过程超出 高中范围