四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学综合训练一

**基本信息** 树德中学高二数学期末综合训练，整合代数、几何、概率统计核心模块，以问题链串联知识网络，突出数学思维的逻辑性与应用能力的综合性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|约10题（如等比数列前n项积、导数应用）|多知识点交叉，强调公式逆用与转化思想|从概念定义（如等比数列公比）到性质推导（如导数与单调性关系），构建“定义-性质-应用”逻辑链| |几何|约5题（如立体几何折叠、椭圆中点弦）|空间想象与代数运算结合，注重动态问题分析|以空间几何体（圆台、折叠体）为载体，融合解析几何（椭圆方程），体现“空间形式-数量关系”转化| |概率统计|3题（如条件概率、投资决策）|实际情境建模，强调数据分析与决策|从随机事件（机器狗移动）到统计应用（投资期望与方差），培养用数学语言描述现实世界的能力|

树德中学外国语校区高二数学综合训练题一 一、选择题：共8小题，每题5分共40分。在每小题的四选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的前项积为，且，那么数列的公比为（   ） A． B． C． D． 2．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 4.如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 6．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 8．函数，若存在，使，且最大值为1，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B．函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C．曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 10．甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车､乘公交车､坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车､乘公交车､坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为 B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为 C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于 D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为 11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆C:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M(x0,y0),且M为AB的中点,下列说法正确的是( ) A.当y0=1时,直线l的斜率为2 B.当y0=2时,|AB|=8 C.当r=5时,符合条件的直线l有两条 D.当r=3时,符合条件的直线l有四条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则______. 13.如图是一个圆台的侧面展开图,若扇环的两条圆弧所在圆的半径分别是1和3,且∠ABC=120°,则该圆台的体积为 14．若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图①,在直角梯形ABCD中,CD⊥AD,AB=BC=2CD=2,AD=,现将△ACD沿着对角线AC折起,使点D到达点P的位置(如图②),此时二面角P-AC-D的大小为. (1)求异面直线PA与BC所成角的余弦值; (2)求点A到平面PBC的距离. 16.（15分）某公司计划在2024年年初将200万元用于投资,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,. (1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. (2)若市场预期不变,该投资公司按照(1)中选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻两番?(参考数据lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 17．（15分）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 18.（17分）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF2|=. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满足=3(O为坐标原点),求直线l的方程. 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数． （i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：； （ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围． 树德中学外国语校区高二数学综合训练题一 参考答案 1．B2．A3．C4.D5．D6．C7．【答案】A【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：，设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为，因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等，记，，则，即.若即则路径数有6种；若即则路径数有24种；若即则路径数有6种；所以.事件“向右移动2次且回到点”，要使向右移动2次且回到点，则且，又，所以，路径数有6种；..故选：A. 8．【答案】B【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，由存在，使，得，则，，因此，令函数，求导得，当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而的最大值为，于是，解得，此时，符合题意，所以的值为.故选B 9．【答案】BC10．【答案】BCD【详解】设“甲同学乘出租车出行”为事件，“甲同学乘公交车出行”为事件，“甲同学乘地铁出行”为事件，“甲同学在图书馆能找到空座位”为事件.对于A，，故A错误；对于B，因为，故B正确；对于，由全概率公式得：，故C正确；对于D，由题意，故D正确.故选：BCD. 11.[解设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当直线l的斜率k存在时,x1≠x2,y0≠0,则·=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.当y0=1时,k=2,故A正确.由CM⊥AB,得k·=-1,即y0k=5-x0,故2=5-x0,解得x0=3,即M必在直线x=3上.当y0=2时,k=1,点M(3,2),直线l的方程为y=x-1,直线l恰好过抛物线的焦点(1,0),故|AB|=x1+x2+2=2x0+2=8,故B正确.将x=3代入y2=4x,得y2=12,由M在抛物线内部得<12.因为点M在圆C上,所以(x0-5)2+=r2,当r=5时,由(3-5)2+=25,解得=21,与<12矛盾,所以斜率存在的直线l不存在,当直线l的斜率不存在时,符合条件的直线l只有一条,故C错误.当r=3时,由(3-5)2+=9,解得=5,符合<12,所以斜率存在的直线l有两条.当直线l的斜率不存在时,符合条件的直线l也有两条,故D正确.故选ABD. 12．0.2 13. π解：设圆台上底面的半径为r1,下底面的半径为r2,依题意得2πr1=×1,且2πr2=×3,解得r1=,r2=1.因为圆台的母线长l=AD=3-1=2,所以圆台的高h===,所以圆台的体积V=h(+r1r2+)=××=. 14．【答案】【详解】由得，令，则其对称轴方程为，因为函数在区间上存在极小值点，所以不符合题意；若，则，解得；若，由于，在区间上单调递减，且，所以函数在区间上不存在极小值点；综上所述，实数的取值范围为.答案. 15.解:(1)过点D作DO⊥AC交AC于点O,连接OP,以O为坐标原点,以OA所在直线为x轴,DO所在直线为y轴,过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为DO⊥AC,所以PO⊥AC,所以∠DOP即为二面角P-AC-D的平面角,所以∠DOP=.又因为OD=OP=,所以P,C,A,由等边三角形ABC可得B,所以=,=(-1,-,0),所以cos<,>===,所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为. (2)由(1)得=,=(-1,-,0),设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则令x=,得n=(,-1,-).又=,所以点A到平面PBC的距离d===. X1 60 -30 P 16.解:(1)设投资项目一获利X1万元,则X1的分布列为 ∴E(X1)=60×+(-30)×=40. X2 100 0 -60 P 设投资项目二获利X2万元,则X2的分布列为 ∴E(X2)=100×+0×+(-60)×=40,∴E(X1)=E(X2).D(X1)=(60-40)2×+(-30-40)2×=1400,D(X2)=(100-40)2×+(0-40)2×+(-60-40)2×=5600,∴D(X1)<D(X2),这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一进行投资. (2) 假设n年后总资产可以翻两番,依题意得200×=800,即1.2n=4,等号两边取对数,得n·lg 1.2=lg 4,则n=≈7.61,∴大约在2031年年底总资产可以翻两番 17． 解（1）在数列中，①，又因为②，，所以得．又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； 18． （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，也满足，所以通项为； （3）由（2）知，，因为对于任意恒成立，所以恒成立．设，则，当和时，，即； 当时，，所以，所以数列的最大项是，所以，即实数的取值范围为．17分 18.解:(1)因为点P在椭圆C上,且|PF2|=,所以+=1,=,可得c=1,又c2=a2-b2,所以a=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由(1)可知F2(1,0),设直线l的方程为x=ky+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l与椭圆C的方程得(k2+2)y2+2ky-1=0,则y1+y2=-,则x1+x2=k(y1+y2)+2=,所以线段AB的中点M的坐标为,所以=3=3,所以点N的坐标为,将点N的坐标代入椭圆的方程得+=1,解得k2=7(负值舍去),即k=±,所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 19．解。（1）当时，． 所以，切线的方程是即； （2）（i）可得．令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．不妨设，令，则，所以函数在上单调递增，从而，即时，恒成立．而，从而，又，，函数在上单调递减．，得．令，则，当时单调递增；当时单调递减，所以，即，由不等式得，成立，所以. （ii），整理得．令，因在上恒成立，所以，得，即．下面证明：当时，在上恒成立．因为，所以．设，则． ①当时，由知恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，恒成立． ②当时，设，当时，，则在上恒成立，所以在上单调递增．所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，恒成立．综合①②可知，当时，在上恒成立．实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $