四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试题（二）

**基本信息** 以文化情境与数学探究为特色，覆盖解析几何、数列、立体几何等核心知识，梯度设计适配高二期末综合能力评估，体现数学眼光的几何直观与数学思维的推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|抛物线焦点、等比数列、圆的公切线|第3题结合“埙”的几何轮廓，融合文化传承与椭圆方程应用| |多选题|3|等比数列性质、平行六面体线面关系|第10题通过侧棱垂直底面条件，考查空间观念与逻辑推理| |填空题|3|双曲线离心率、递推数列、向量最值|第14题以等腰直角三角形为背景，体现数学语言的模型观念| |解答题|5|圆方程、四棱锥线面角、数列求和、椭圆范围、双曲线探究|第19题综合双曲线与等比数列，设计定值证明，培养创新应用能力|

成都树德中学高2024级数学期末模拟试题（二） 一、单选题 1．已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知数列满足，则（    ） A．32 B． C．1320 D． 3．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（   ）   A． B． C． D． 4．已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．49 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 8．已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列是各项为正数的等比数列，公比记为q，是其前n项的积，若则（    ） A． B． C． D．与均为的最小值 10．在平行六面体 中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则平面 11．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 三、填空题 12．已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为 . 13．已知正项数列满足，且，则 ． 14．设是等腰直角（为直角顶点）内的一个动点，已知，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知点，，， (1)求的外接圆的方程； (2)若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值. 16．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求； (2)记数列的前项和为，证明：. 18.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．求的取值范围； 19．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D C D B D B ABD AC AC 12． 13．27 14． 15【详解】（1）设圆的方程为，因为点，，在圆上，所以圆的方程为，即； （2）由（1）知圆的圆心为，半径为，因为，所以圆心到直线的距离为，直线方程，即为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得或. 16．【详解】（1） 与为等腰直角三角形且， 所以，..   E为的中点，， ，，即， ∴四边形为平行四边形，故，分别为的中点，，所以， 平面，平面，平面； （2）平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为，， ，取，.设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1）当时，由，得，所以， 因为，所以，两式相减得，即，因为的各项均为正数，所以， 当为偶数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 当为奇数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 综上，，，所以， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，； （2），， 因为的各项均为正数，所以，所以. 18.【详解】（1）椭圆的标准方程； （2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，，， ，，同号， ，，同号，，，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为，，，，，，，，， 的取值范围. 19．【详解】（1）∵渐近线为．又过点，代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为，若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得：或（舍去）．代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：，与双曲线联立得：，因为，则， 由韦达定理得，. 将代入直线方程，并取相反数， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $