奥数培优——比例应用题（讲义）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

本讲义聚焦比例的意义与性质、解比例、正反比例判断、比例尺及用比例解决问题等核心知识点，从比例的意义（两个比相等）出发，通过基本性质（外项积等于内项积）过渡到解比例，再区分正反比例（比值一定与乘积一定），结合比例尺（图上与实际距离比），最终落实到实际应用，形成从概念到应用的学习支架。 资料以知识思维导图构建比例知识网络，典例精析分类型突破重点，分层练习兼顾基础与拓展。通过正反比例判断培养推理意识，借助比例尺问题发展应用意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升分析解决问题的能力。

比例应用题 六年级下册 · 人教版 培优讲义 —— 比例的意义、性质与实际应用 —— 学习目标 1. 理解比例的意义和基本性质，能正确判断两个比能否组成比例。 2. 掌握解比例的方法，能熟练求出比例中的未知项。 3. 理解正比例和反比例的意义，能正确判断两种量成什么比例。 4. 理解比例尺的意义，能解决与比例尺有关的实际问题。 5. 能运用正比例和反比例的知识解决生活中的实际问题，提高分析和解决问题的能力。 知识思维导图 比例的意义与性质 ① 两个比相等 ② 外项×外项=内项×内项 ③ 判断：比值是否相等 解比例 ① 求未知项 ② 依据：基本性质 ③ 交叉相乘 正比例 ① 比值一定 ② = k（一定） ③ 同扩同缩 反比例 ① 乘积一定 ② xy = k（一定） ③ 一扩一缩 比 例 比例尺 ① 图上距离:实际距离 ② 数值/线段比例尺 ③ 1km=100000cm 用比例解决问题 ① 找不变量 ② 判断比例关系 ③ 设未知数 ④ 列比例式 ⑤ 解比例 ⑥ 检验作答 知识梳理 一、比例的意义和基本性质 ★ 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如：6:10 = 9:15，因为 = ， = ，两个比的比值相等。 ★ 比例各部分名称：组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 例如： 6 : 10 = 9 : 15 外项 内项 内项 外项 ★ 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 用字母表示：如果 a:b = c:d，那么 ad = bc。 例如：6:10 = 9:15，6×15 = 90，10×9 = 90，外项积 = 内项积。 ★ 判断两个比能否组成比例：方法一：看比值是否相等（求两个比的比值）。方法二：看外项积是否等于内项积（假设能组成比例，验证积是否相等）。 例：判断 20:5 和 1:4 能否组成比例。 解： = 4， = 0.25，4 ≠ 0.25，比值不等，不能组成比例。 或：20×4 = 80，5×1 = 5，80 ≠ 5，不能组成比例。 二、解比例 ★ 解比例的意义：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 ★ 解比例的依据：比例的基本性质（外项积 = 内项积），即“交叉相乘”。 1. 整数比形式的解比例 例：解比例 x:24 = 3:8 解：根据基本性质，8x = 24×3 = 72，x = 72÷8 = 9。 2. 分数形式的解比例 例：解比例 = 解：交叉相乘，3x = 2×12 = 24，x = 24÷3 = 8。 3. 含小数的解比例 例：解比例 1.5:2.5 = 6:x 解：1.5x = 2.5×6 = 15，x = 15÷1.5 = 10。 ★ 解比例步骤：① 根据比例基本性质，将比例转化为方程（外项积=内项积）；② 解方程求出未知项；③ 检验（可选）。 三、正比例 ★ 正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 用字母表示： = k（一定） ★ 正比例的判断方法：一看是否相关联；二看比值（商）是否一定。比值一定则成正比例，否则不成正比例。 例如：单价一定时，总价和数量成正比例。因为总价/数量 = 单价（一定）。 例如：圆的周长和直径成正比例。因为周长/直径 = π（一定）。 ★ 正比例图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。（本单元不要求画图，了解特征即可。） 四、反比例 ★ 反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母表示：xy = k（一定） ★ 反比例的判断方法：一看是否相关联，二看乘积是否一定。乘积一定则成反比例，否则不成反比例。 例如：路程一定时，速度和时间成反比例。因为速度×时间 = 路程（一定）。 例如：总页数一定时，每天看的页数和天数成反比例。 五、正比例与反比例的对比 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化 变化方向 同扩同缩（同向变化） 一扩一缩（反向变化） 定量关系 比值（商）一定 乘积一定 字母表达式 = k（一定） xy = k（一定） 图像特征 经过原点的直线 曲线（不要求掌握画法） 六、比例尺 ★ 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 变形公式： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 1. 数值比例尺和线段比例尺 数值比例尺：用数字的比例式或分数形式表示，如 1:6000000 或 。 线段比例尺：在图上画一条线段，注明图上1厘米代表实际距离多少千米。 2. 缩小比例尺和放大比例尺 缩小比例尺：前项为1，如 1:1000，表示把实际距离缩小后画在图上。 放大比例尺：后项为1，如 10:1，表示把实际距离放大后画在图上（如精密零件图纸）。 3. 单位换算 1km = 1000m = 100000cm，1m = 100cm ★ 比例尺计算注意：图上距离一般用厘米（cm），实际距离常用千米（km）或米（m），计算前务必统一单位！ 例：比例尺 1:4000000，图上距离5cm，实际距离 = 5×4000000 = 20000000cm = 200km。 七、图形的放大与缩小 ★ 图形放大与缩小的特征：图形放大或缩小后，形状不变，大小发生变化。各边按相同的比放大或缩小，对应角不变，对应边的比相等。 例：一个长方形长6cm、宽4cm，按 2:1 放大后，长变为 6×2 = 12cm，宽变为 4×2 = 8cm。 按 1:2 缩小后，长变为 6÷2 = 3cm，宽变为 4÷2 = 2cm。 八、用比例解决问题 ★ 用比例解决问题的步骤：① 找不变量（一定的量）；② 判断成什么比例（比值一定→正比例，乘积一定→反比例）；③ 设未知数；④ 列比例式；⑤ 解比例；⑥ 检验并作答。 1. 正比例应用题（归一问题） 特征：单价一定、速度一定、工效一定等，即“每一份”不变。 解题关键：找到不变的比值，列出比值相等的比例式。 2. 反比例应用题（归总问题） 特征：总量一定、总面积一定、总路程一定等。 解题关键：找到不变的乘积，列出乘积相等的等量关系。 3. 按比例分配问题 把一个总量按一定的比进行分配。解法：先求总份数，再求各部分占总量的几分之几，用总量乘以对应分率。 例：把120本书按 3:2 分给甲乙两班。总份数 = 3+2 = 5，甲班分 120× = 72本，乙班分 120× = 48本。 典例精析 类型一：判断能否组成比例 【例1】判断 6:10 和 9:15 能否组成比例。 【分析】判断两个比能否组成比例，可以分别求比值看是否相等，也可以假设组成比例后验证外项积与内项积是否相等。 【解答】 方法一（比值法）： = ， = ，两个比的比值都等于 ，所以能组成比例。 方法二（性质法）：假设 6:10 = 9:15，外项积 = 6×15 = 90，内项积 = 10×9 = 90，90 = 90，所以能组成比例。 即 6:10 = 9:15。 【例2】判断 20:5 和 1:4 能否组成比例。 【分析】两种方法都可以判断，比值法更直观，性质法在比较复杂时更方便。 【解答】 方法一： = 4， = 0.25，4 ≠ 0.25，比值不相等，不能组成比例。 方法二：假设能组成比例，外项积 = 20×4 = 80，内项积 = 5×1 = 5，80 ≠ 5，不能组成比例。 类型二：解比例 【例3】解比例 x:24 = 3:8 【分析】整数比形式的比例，直接用外项积等于内项积列方程求解。 【解答】 解：根据比例的基本性质（外项积 = 内项积）： 8x = 24×3 8x = 72 x = 72÷8 = 9 【例4】解比例 = 【分析】分数形式的比例，交叉相乘即可：左上×右下 = 右上×左下。 【解答】 解：分数形式的比例，交叉相乘（外项积 = 内项积）： 3x = 2×12 3x = 24 x = 24÷3 = 8 【例5】解比例 1.5:2.5 = 6:x 【分析】含小数的比例，解法与整数相同，注意小数除法计算要仔细。 【解答】 解：根据基本性质： 1.5x = 2.5×6 1.5x = 15 x = 15÷1.5 = 10 类型三：判断正反比例 【例6】判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例？ 【分析】判断的关键是找到不变的量：比值（商）一定→正比例，乘积一定→反比例，两者都不是→不成比例。 【解答】 （1）单价一定，总价和数量。 解：总价/数量 = 单价（一定），比值一定，总价和数量成正比例。 （2）路程一定，速度和时间。 解：速度×时间 = 路程（一定），乘积一定，速度和时间成反比例。 （3）总页数一定，每天看的页数和看完的天数。 解：每天看的页数×天数 = 总页数（一定），成反比例。 【例7】判断下列各题中的两种量是否成比例。 【分析】不是所有相关联的量都成比例，必须严格按比值一定或乘积一定来判断。 【解答】 （1）圆的周长和直径。 解：周长/直径 = π（一定），成正比例。 （2）正方形的边长和面积。 解：面积/边长 = 边长（不一定），比值不一定；面积×边长也不一定。所以不成比例。 （3）一个人的身高和体重。 解：身高和体重不是相关联的量，比值和乘积都不一定，不成比例。 类型四：正比例应用题 【例8】买3支同样的笔需要12元，照这样计算，买8支需要多少元？ 【分析】这是典型的购物归一问题。单价一定时，总价与数量成正比例，可以列比例式求解。 【解答】 ① 找不变量：单价一定（12÷3 = 4元/支）。 ② 判断：总价和数量成正比例（总价/数量 = 单价一定）。 ③ 解：设买8支需要 x 元。 = 3x = 12×8 = 96 x = 96÷3 = 32 ⑥ 检验：32÷8 = 4元，与12÷3 = 4元相等，正确。 答：买8支需要32元。 【例9】一辆汽车2小时行驶120km，照这样的速度，5小时行驶多少千米？ 【分析】行程问题中，速度一定时路程与时间成正比例。 【解答】 ① 不变量：速度一定（120÷2 = 60km/时）。 ② 判断：路程和时间成正比例。 ③ 解：设5小时行驶 x km。 = 2x = 120×5 = 600 x = 600÷2 = 300 答：5小时行驶300km。 【例10】一位打字员5分钟打300个字，照这样计算，打840个字需要多少分钟？ 【分析】工程（工作）问题中，工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例。 【解答】 ① 不变量：每分钟打字个数一定（300÷5 = 60个/分）。 ② 判断：打字总数与时间成正比例。 ③ 解：设需要 x 分钟。 = 300x = 5×840 = 4200 x = 4200÷300 = 14 答：打840个字需要14分钟。 类型五：反比例应用题 【例11】用边长3dm的方砖铺地，需要200块。如果改用边长5dm的方砖，需要多少块？ 【分析】铺砖问题要特别注意：成反比例的是方砖的面积与块数，不是边长与块数！ 【解答】 ① 不变量：铺地总面积一定。 ② 判断：每块砖的面积与所需块数成反比例（面积×块数 = 总面积一定）。 ③ 解：设需要 x 块。 注意：是方砖面积与块数成反比例，不是边长与块数！ (5×5)x = (3×3)×200 25x = 9×200 = 1800 x = 1800÷25 = 72 答：需要72块。 【例12】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60km，4小时到达。如果要3小时到达，每小时应行多少千米？ 【分析】路程一定时，速度越快用时越短，速度与时间成反比例。 【解答】 ① 不变量：甲乙两地路程一定。 ② 判断：速度与时间成反比例。 ③ 解：设每小时应行 x km。 3x = 60×4 = 240 x = 240÷3 = 80 答：每小时应行80km。 【例13】一批货物，每次运25吨，12次运完。如果每次运30吨，几次运完？ 【分析】总量一定时，每份的量与份数成反比例。 【解答】 ① 不变量：货物总吨数一定。 ② 判断：每次运的吨数与次数成反比例。 ③ 解：设 x 次运完。 30x = 25×12 = 300 x = 300÷30 = 10 答：10次运完。 类型六：比例尺问题 【例14】在比例尺是1:6000000的地图上，量得AB两地的距离是5cm。AB两地的实际距离是多少千米？ 【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，注意最后要换算单位（cm换km除以100000）。 【解答】 解：设AB两地实际距离为 x cm。 = x = 5×6000000 = 30000000（cm） 30000000cm = 300km 答：AB两地的实际距离是300km。 【例15】AB两城实际距离180km，画在比例尺是1:4000000的地图上，图上距离是多少厘米？ 【分析】已知比例尺和实际距离求图上距离，务必先将km换算成cm。 【解答】 解：先统一单位：180km = 18000000cm。 设图上距离为 x cm。 = 4000000x = 18000000 x = 18000000÷4000000 = 4.5（cm） 答：图上距离是4.5cm。 类型七：按比例分配 【例16】用240cm长的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是3:1。这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【分析】按比例分配的关键是先求出“长+宽”的总和，再按比例分配。注意不要直接把240按3:1分！ 【解答】 解：长方形周长 = 240cm，所以长+宽 = 240÷2 = 120cm。 总份数 = 3+1 = 4 长 = 120× = 90（cm） 宽 = 120× = 30（cm） 检验：(90+30)×2 = 240cm，与周长相符；90:30 = 3:1，与题意相符。 答：长是90cm，宽是30cm。 分层练习 A组 基础巩固 1. 表示两个比相等的式子叫做（　　　）。 2. 在比例里，两个外项的积等于（　　　　　　　），这叫做比例的基本性质。 3. 两种相关联的量，比值一定，这两种量成（　　　）比例。 4. 两种相关联的量，乘积一定，这两种量成（　　　）比例。 5. 比例尺 = （　　　　　） : （　　　　　）。 6. 1km = （　　　）cm；1m = （　　　）cm。 7. 判断题：圆的周长和直径成正比例。（　　　） 8. 判断题：正方形的面积和边长成正比例。（　　　） 9. 判断题：比例尺100:1表示把实际距离放大100倍画在图纸上。（　　　） 10. 在○里填上“>”“<”或“=”： （1）3:4 ○ 6:8 （2）2:5 ○ 1:3 （3）0.6:0.2 ○ 3:1 11. 选择题：下面各组的两个比，能组成比例的是（　　　）。 A. 4:5和8:10　　B. 2:3和4:5　　C. 1:2和3:5　　D. 6:9和3:2 12. 选择题：路程一定，速度和时间（　　　）。 A. 成正比例　　B. 成反比例　　C. 不成比例 13. 解比例：x:15 = 4:3 14. 解比例： = 15. 解比例：0.6:0.2 = x:5 16. 买4本同样的笔记本需要20元，买9本需要多少元？ 17. 在比例尺是1:5000000的地图上，量得AB两地距离4cm，AB两地实际距离是多少千米？ 18. 学校把120本图书按3:2分给甲乙两个班，甲乙两班各分得多少本？ B组 提高拓展 1. 用2、3、4、6四个数（每个数只用一次）组成比例，你能写出几个不同的比例式？请写出来。 2. 解比例：: = :x 3. 解比例：3. = 0..5 4. 甲乙两数的比是5:3，甲数比乙数多24，甲乙两数各是多少？ 5. 一辆汽车3小时行驶180km，照这样的速度，行驶420km需要多少小时？ 6. 用边长4dm的方砖铺地需要360块，如果改用边长6dm的方砖，需要多少块？ 7. 在比例尺是1:4000000的地图上，量得AB两地距离6cm。甲乙两车同时从AB两地相向开出，2小时后相遇。已知甲车每小时行50km，乙车每小时行多少千米？ 8. 工厂生产一批零件，计划每天生产200个，15天完成。实际每天生产250个，实际多少天完成？ 9. 已知5x = 6y（x、y均不为0），x和y成什么比例关系？为什么？ 10. 把一根绳子按3:2截成甲乙两段，已知甲段长4.8m，这根绳子原来长多少米？ 11. 一个长方形操场，长120m，宽80m。把它画在比例尺是1:2000的图纸上，长和宽各应画多少厘米？ 12. 某工程队修一条路，原计划每天修80m，25天完成。实际每天修100m，实际多少天完成？ 参考答案 A组 基础巩固 1. 比例 2. 两个内项的积 3. 正 4. 反 5. 图上距离；实际距离 6. 100000；100 7. √（周长/直径 = π，一定） 8. ×（面积/边长 = 边长，不一定，不成比例） 9. √ 10. （1）= （2）> （3）= 　　提示：（2） = 0.4， ≈ 0.33，0.4 > 0.33 11. A（ = = 0.8） 12. B（速度×时间 = 路程，一定） 13. 解：3x = 15×4 = 60，x = 20 14. 解：24x = 6×20 = 120，x = 5 15. 解：0.2x = 0.6×5 = 3，x = 15 16. 解：单价一定，总价与数量成正比例。设需要 x 元： = ，4x = 180，x = 45。答：需要45元。 17. 解：实际距离 = 4×5000000 = 20000000cm = 200km。答：实际距离200km。 18. 解：总份数 = 3+2 = 5，甲班 = 120× = 72（本），乙班 = 120× = 48（本）。答：甲班72本，乙班48本。 B组 提高拓展 1. 解：因为 2×6 = 3×4 = 12，所以可以组成4个比例式： 2:3 = 4:6　　2:4 = 3:6　　6:3 = 4:2　　6:4 = 3:2 2. 解：()x = ()×() = ，x = ()÷() = 。 3. 解：0.9x = 3.6×0.5 = 1.8，x = 1.8÷0.9 = 2。 4. 解：设甲数为5x，乙数为3x。5x - 3x = 24，2x = 24，x = 12。甲数 = 5×12 = 60，乙数 = 3×12 = 36。答：甲数是60，乙数是36。 5. 解：速度一定，路程与时间成正比例。设需要 x 小时： = ，180x = 1260，x = 7。答：需要7小时。 6. 解：总面积一定，方砖面积与块数成反比例。设需要 x 块：(6×6)x = (4×4)×360，36x = 5760，x = 160。答：需要160块。 7. 解：实际距离 = 6×4000000 = 24000000cm = 240km。两车速度和 = 240÷2 = 120km/时，乙车速度 = 120 - 50 = 70km/时。答：乙车每小时行70km。 8. 解：总个数一定，每天生产个数与天数成反比例。设实际 x 天完成：250x = 200×15 = 3000，x = 12。答：实际12天完成。 9. 解：由 5x = 6y 得 = （一定），比值一定，所以 x 和 y 成正比例。 10. 解：甲段3份长4.8m，1份 = 4.8÷3 = 1.6m，总长 = 1.6×(3+2) = 8m。答：绳子原来长8m。 11. 解：120m = 12000cm，80m = 8000cm。长 = 12000÷2000 = 6cm，宽 = 8000÷2000 = 4cm。答：长画6cm，宽画4cm。 12. 解：总路程一定，每天修的长度与天数成反比例。设实际 x 天完成：100x = 80×25 = 2000，x = 20。答：实际20天完成。 比例应用题 · 培优讲义　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $