微专题01 锐角三角函数的五大题型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 以五大题型为框架，系统提炼锐角三角函数的解题方法，构建从定义应用到综合拓展的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格中求角的三角函数值|多题|构造直角三角形→网格算边长→定义计算|基于三角函数定义，通过网格特性转化为直角三角形边长计算| |几何图形中求角的三角函数值|多题|作高构造直角→利用图形性质求边长→定义计算|结合几何图形性质（全等/相似等），强化边角转化能力| |由三角函数值求边长|多题|锁定直角模型→设元列方程→结合性质求解|逆向应用三角函数定义，培养方程思想与推理意识| |特殊角三角函数混合运算|多题|熟记特殊角值→按规则化简→规避符号陷阱|强化运算能力，巩固特殊角与函数值的对应关系| |由三角函数值判断三角形形状|多题|逆用特殊角值→算内角和→结合边长验证|综合运用三角函数与三角形性质，发展逻辑推理|

微专题01 锐角三角函数的五大题型 题型一 网格中求角的三角函数值 1.构造直角三角形：以所求角为一个锐角，借助网格线作垂线（水平或竖直），补全直角三角形，确保直角边与网格线重合，方便计算边长。 2.利用网格算边长：通过数网格单位长度，结合勾股定理（斜边长=√(水平边长²+竖直边长²)），求出直角三角形的对边、邻边、斜边长。 3.按定义求三角函数值：根据sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边，代入边长计算，结果需化简（分母有理化）。 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点（网格线的交点）上，则的余弦值为 ． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接交于点P，则的正切值是 ．    5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 6．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 题型二 几何图形中求角的三角函数值 1.构造直角三角形：非直角图形需作高（如三角形的高、梯形的高），将所求角转化为直角三角形的锐角，明确对边、邻边、斜边。 2.求关键边长：利用勾股定理、全等/相似三角形性质、特殊三角形（30°/45°/60°）边长关系，计算直角三角形的三边长度。 3.代入定义计算：按sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边列式，结果化简（分母有理化），结合图形验证边长对应无误。 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点H，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，则的值是 ． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 5．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连结． (1)求证：四边形A是菱形． (2)若，，则 ． 9．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 题型三 几何图形中由三角函数值求边长 1.锁定直角模型与边角对应：先在几何图形中找/构造直角三角形，明确已知三角函数对应的角，确定“对边、邻边、斜边”的对应关系，列出核心等式（如cosα=邻边/斜边）。 2.设元列方程求解：设未知边长为x，结合已知三角函数值（含特殊角值），代入定义建立方程（如已知∠A=30°，sinA=1/2，斜边为12，求对边则x/12=1/2）。 3.结合几何性质补全计算：若单方程无法求解，搭配勾股定理、全等/相似三角形、等腰/等边三角形性质联立，结果化简后，检验是否符合图形边长逻辑。 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 3．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 4．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 5．（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 7．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 题型四 含特殊角的三角函数值的混合运算 1. 熟记特殊角值：精准牢记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1），避免代入错误，这是运算基础。 2. 按运算规则化简：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；遇到根式先化简，分母有理化，合并同类项。 3. 巧避常见陷阱：注意符号（如cos60°≠cos(90°-30°)的反向错误），区分三角函数名称，运算后核对结果是否最简，避免计算失误。 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 2．（24-25八年级下·广东中山·期中）计算：． 3．（2022·江苏宿迁·一模）计算：． 4．（2025·广东清远·一模）计算：． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期末）计算： 6．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）计算： (1) (2) 7．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·山东东营·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 题型五 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.逆用特殊角三角函数值：由已知sinA、cosA、tanA的值，反推对应锐角（如tanA=1则∠A=45°，cosA=1/2则∠A=60°）。 2.算内角和定形状：结合三角形内角和180°，求出所有内角度数，按角分类（如含90°为直角三角形，三内角60°为等边三角形）。 3.结合边长关系验证：若有边长信息，搭配勾股定理（a²+b²=c²）或等腰/等边三角形性质，佐证形状（如两角45°且斜边²=两直角边²和，为等腰直角三角形）。 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 2．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 3．（22-23九年级上·山东·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 4．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 7．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 锐角三角函数的五大题型 题型一 网格中求角的三角函数值 1.构造直角三角形：以所求角为一个锐角，借助网格线作垂线（水平或竖直），补全直角三角形，确保直角边与网格线重合，方便计算边长。 2.利用网格算边长：通过数网格单位长度，结合勾股定理（斜边长=√(水平边长²+竖直边长²)），求出直角三角形的对边、邻边、斜边长。 3.按定义求三角函数值：根据sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边，代入边长计算，结果需化简（分母有理化）。 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切函数，勾股定理的逆定理．连接，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理可得， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点（网格线的交点）上，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，构造，利用勾股定理求出斜边的长，进一步计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 则，， 在中，, ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接交于点P，则的正切值是 ．    【答案】2 【分析】本题考查网格中求角的正切值，将直线向下平移，得到，连接，易得为直角三角形，，求出的正切值即可． 【详解】解：将向下平移1格，得到，连接，设小正方形的边长为1，则：，    ∴， 由图和勾股定理可知：，，， ∴； 故答案为：2． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 【答案】 【分析】如图，连接．只要证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 几何图形中求角的三角函数值 1.构造直角三角形：非直角图形需作高（如三角形的高、梯形的高），将所求角转化为直角三角形的锐角，明确对边、邻边、斜边。 2.求关键边长：利用勾股定理、全等/相似三角形性质、特殊三角形（30°/45°/60°）边长关系，计算直角三角形的三边长度。 3.代入定义计算：按sinα=对边/斜边、cosα=邻边/斜边、tanα=对边/邻边列式，结果化简（分母有理化），结合图形验证边长对应无误。 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 直接利用锐角三角函数关系得出的值． 【详解】解：如图， 在中，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点H，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比邻边，求出即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点P的坐标为， ． 故答案为：. 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、余弦值的求解．根据勾股定理求出斜边，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由题意知，分三种情况求解：①若，如图，过点F作于H，的延长线交于点G， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连结． (1)求证：四边形A是菱形． (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定、勾股定理以及求锐角的余弦；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理：，得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，再由勾股定理即可得出的长，根据余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质和折叠的性质可得，进而得到、，然后运用勾股定理求解即可；②如图：过C作延长线于点G，易证，根据相似三角形的性质可得，，进而得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）如图：延长交于M，过E作交于N，则，易证可得，易证为等腰直角三角形，设，则， ，然后根据平行线分线段定理即可解答． 可得， 【详解】（1）解：①∵矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接， ∴，， ∴，   ∴， ∴； ②如图：过C作延长线于点G， ∴，       ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴． （2）解：如图：延长交于M，过E作交于N，则 ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形 设，则， ， ∵， ∴． 题型三 几何图形中由三角函数值求边长 1.锁定直角模型与边角对应：先在几何图形中找/构造直角三角形，明确已知三角函数对应的角，确定“对边、邻边、斜边”的对应关系，列出核心等式（如cosα=邻边/斜边）。 2.设元列方程求解：设未知边长为x，结合已知三角函数值（含特殊角值），代入定义建立方程（如已知∠A=30°，sinA=1/2，斜边为12，求对边则x/12=1/2）。 3.结合几何性质补全计算：若单方程无法求解，搭配勾股定理、全等/相似三角形、等腰/等边三角形性质联立，结果化简后，检验是否符合图形边长逻辑。 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正弦三角函数的定义，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它所对的直角边与斜边的比，利用定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 6． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．延长至E，使，连接，作于点F，证得，得到，，推导出．利用三角形函数求得，利用勾股定理求得，进而得到，利用面积计算公式解答即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接，作于点F． ∵四边形的内角和是，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：48． 3．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即，解得：， ∴， ∴， 如图：过B作于G， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高相等， ∴， 如图：过D作， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 【答案】3或12 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴设的三等分点为点，，则， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴点的坐标为， 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 故答案为：3或12． 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)84 【分析】本题考查了比例的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，设出未知数并表示出与c是解决本题的关键． （1）设，则依次用x表示与c的值，再由即可求解； （2）作出三角形的高，由即可求解三角形的高，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ 设， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ； （2）解：过点C作交于点D，如图， 在中，， 由（1）知，，， ∴，解得， ∴． 7．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解：， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 含特殊角的三角函数值的混合运算 1. 熟记特殊角值：精准牢记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1），避免代入错误，这是运算基础。 2. 按运算规则化简：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内；遇到根式先化简，分母有理化，合并同类项。 3. 巧避常见陷阱：注意符号（如cos60°≠cos(90°-30°)的反向错误），区分三角函数名称，运算后核对结果是否最简，避免计算失误。 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·广东中山·期中）计算：． 【答案】1 【分析】根据绝对值的化简，负整数指数幂，零指数幂以及特殊三角形的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，负整数指数幂，零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2022·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的意义及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（2025·广东清远·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据算术平方根的定义，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则，性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂的意义，乘方的意义，特殊角的三角函数化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，特殊角三角函数的混合运算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角三角函数值代入，化简绝对之，计算负整数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算乘方和零指数幂，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算绝对值和零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 8．（24-25九年级上·山东东营·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、立方根、代入三角函数值，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出a的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， ， 原式． 题型五 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.逆用特殊角三角函数值：由已知sinA、cosA、tanA的值，反推对应锐角（如tanA=1则∠A=45°，cosA=1/2则∠A=60°）。 2.算内角和定形状：结合三角形内角和180°，求出所有内角度数，按角分类（如含90°为直角三角形，三内角60°为等边三角形）。 3.结合边长关系验证：若有边长信息，搭配勾股定理（a²+b²=c²）或等腰/等边三角形性质，佐证形状（如两角45°且斜边²=两直角边²和，为等腰直角三角形）。 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 2．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 3．（22-23九年级上·山东·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 4．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 7．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $