专题3 轴对称-（夹卷）【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

专题三轴对称 考点1图形的轴对称 1.下列选项图案中的两个图形成轴对称的一项是( A ⊙ D 2.如图，△ABC和△AB'C关于直线I对称，下列结论：①AB=AB';②∠BAC= ③连接CC',直线l垂直平分线段CC'.其中正确的结论有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (第2题图) (第3题图) 3.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线1对称，∠A=50°，∠C'=30°，则 数为() A.90° B.100° C.70° D.80 考点2线段的垂直平分线 1.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是( A.AF=BF B.AF=1AC C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC 2.如图，在四边形ABCD中，AC=AD,BC=BD,则正确的结论是( A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.以上说法都正确 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，∠B=39°，AB的垂直平分线与BC交于点D,将△ABD 翻折得到△AED,则∠CDE的度数是 10 4.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠A=∠C,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC 于点F,连接EF,BD (1)求证：△ADE≌△CDF; (2)求证：BD垂直平分EF ∠B'AC'; 考点3画轴对称的图形 1.如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有3个小正方形已经被涂上阴 影，在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正 方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B的度 (第1题图) (第2题图)》 2.如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点A(a,2)与点B(3,b)关于x轴对称，则a+2b=( ) A.-4 B.-1 C.-2 D.4 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-1),B(-5,-4), C(-1,-3) (1)画△A'B'C',使△A'B'C与△ABC关于y轴对称； (2)求△A'B'C'的面积； (3)在y轴上作一点P,使得PA+PC最短. 5-4-3-2-1012345x 沿着AD 核心考点提前精练卷 考点4等腰三角形 考点5等边三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() 1.如图，在面积为1的等边三角形ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则 A.100° B.115° C.130° D.145 △DEF的面积是() A.1 8. c号 A B D (第1题图) (第2题图) 30° 2.如图，在△ABC中，若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°，则∠C=°. 3.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，在边AB上取点D,使DB=DE.若∠A= (第1题图) (第2题图) 65°，LAED=45°，求∠EBC的度数 2.如图，一棵与地面垂直的大树在离地面3处折断，如果树的另一部分倒地后与地 面成30夹角，那么这棵树折断之前的高度是m. 3.如图，点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点，且BD=CE,BE与AD交于 点F.求证：AD=BE. 4.如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC,垂足为F,交BC 于点E,且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形. 4.如图，AB=AC,点D是BC的中点，AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E,且BE∥AC.求 证：△ABC是等边三角形 5.如图，点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC,BF=AE. (1)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若AF=4,求CE的长. D 核心考点提前精练卷 115.解：在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 2.证明：'AEBC,EF∥CD, ∠A=2∠B,∴.∠B=30° ∴.∠A=∠B,∠AFE=∠BDC. 6.解：∠A=75°，∠C=35°， AD=BF, ∴.∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°. .AD+DF=BF+DF,AF=BD. :∠B=25°， 「∠A=∠B, ∴.∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°. 在△AEF和△BCD中，{AF=BD, 综上，∠BDC=110°，∠1=135° ∠AFE=∠BDC, 专题二全等三角形 ∴.△AEF≌△BCD(ASA), 考点1全等三角形 ∴.EF=CD. 1.C2.B3.B 考点4用“角角边”(AAS) 4.解：△OAD≌△OBC,∠C=25°， 判定两个三角形全等 .∴.∠D=∠C=25. 1.证明：点B为线段AC的中点，.AB=BC. .∠0=70°， AD∥BE,∴.∠A=∠EBC. .∴.∠0AD=180°-25°-70°=85°， LA=L EBC, 在△ABD和△BCE中，{∠D=∠E, 5.解：.△ABC≌△DEC,CE=3,AC=5, AB=BC, ∴.DC=AC=5,BC=EC=3, .△ABD≌△BCE(AAS). 则BD=DC+BC=5+3=8. 2.证明：.∠DAM=∠BAC, .BD的长为8. ∴.∠DAM+∠BAM=∠BAC+∠BAM, 考点2用“边角边”(SAS) .∠DAB=∠EAC. 判定两个三角形全等 .·∠DAM=∠DNE,∠AMD=∠BME, 1.证明：∠1=∠2， ·.∠D=180°-∠DAM-∠AMD ∴.∠1+∠DCB=∠2+∠DCB, =180°-∠DNE-∠BME 即∠ACB=∠DCE. =∠E. (AC=DC, 「∠D=∠E, 在△ABC和△DEC中，{LACB=∠DCE, 在△ABD和△ACE中， ∠DAB=∠EAC, BC=EC, AB=AC, ∴.△ABC≌△DEC(SAS). ∴.△ABD≌△ACE(AAS). (AB=AC, 考点5用“边边边”(SSS) 2.解：在△ABE和△ACD中，{∠A=∠A, 判定两个三角形全等 AE=AD, 1.证明：点C是AB的中点，.AC=CB. .△ABE≌△ACD(SAS). (AD=CE, 考点3用“角边角”(ASA)》 在△ACD与△CBE中，{CD=BE, 判定两个三角形全等 AC=CB, 1.（1)证明：.CF∥AB,∴.∠ADE=∠F. ∴.△ACD≌△CBE(SSS). ∠ADE=∠F, 2.证明：AF=DC, 在△ADE和△CFE中，{DE=FE, ∴.AF+CF=DC+CF,即AC=DF. ∠AED=∠CEF, AB=DE, ∴.△ADE≌△CFE(ASA). 在△ABC和△DEF中，AC=DF, （2)解：由(1)得，△ADE≌△CFE,AD=CF, BC=EF, .BD=AB-AD=AB-CF=5-4=1. .△ABC≌△DEF(SSS). 18 考点6用“斜边、直角边”(HL) 判定两个三角形全等 1.证明：.AD与A'D'分别为BC,B'C边上的中 线，.CB=2CD,C'B=2C'D. B CD=CD',∴.CB=C'B 提示：由作图可知，OE是∠AOB的平分线， 在R△ABC和R△A'BC中，BC=B'C, (AB=A'B', &∠B0E7∠A0B7X50°=252 .Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). :∠ADF=∠AOB,∴.DF∥OB, 2.证明：·CA⊥AB,DB⊥AB, ∴.∠0CD=∠B0E=25°， .△CAF和△DBE是直角三角形 3.证明：BD是∠ABC的平分线， ,AE=FB,∴.AE+EF=FB+EF,即AF=BE. ∴.∠ABD=∠CBD. 在Rt△CAF和Rt△DBE中， CF=DE, (AB=CB, AF=BE, :在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, .Rt△CAF≌Rt△DBE(HL). BD=BD, 考点7判定两个直角三角形 .△ABD≌△CBD(SAS), 全等的其他方法 ∴.∠MDP=∠NDP,∴.BD是∠ADC的平分线 1.解：添加的条件为AB=DB. :PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PN. 证明如下： 4.证明：CE⊥AB,CD⊥AF, 在Rt△ABC和Rt△DBC中， BC=BC, ∴.∠CEB=∠D=90° AB=DB, 在Rt△BCE和Rt△FCD中， BC=FC, .Rt△ABC≌Rt△DBC(HL). BE=FD, 2.(1)证明：在Rt△ACD和Rt△CBE中， (AC=CB, ∴.Rt△BCE≌Rt△FCD(HL),∴.CE=CD. CD=BE, .Rt△ACD≌Rt△CBE(HL), CE⊥AB,CD⊥AF, ∴.点C在LBAF的平分线上， ∴.AD=CE. (2)解：Rt△ACD≌Rt△CBE, .AC是∠BAF的平分线. ∴.AD=CE=9,CD=BE=5, 专题三轴对称 ∴.DE=CE-CD=9-5=4. 考点1图形的轴对称 ,BF=DE,∴.BF+BE=DE+CD,即EF=CE, 1.B2.D3.B ∴.EF=AD=9. 考点2线段的垂直平分线 ∠ADG=∠E, 1.B2.A3.24° 在△ADG和△FEG中 ∠DGA=∠EGF, 4.证明：(1)DE⊥AB,DF⊥BC, AD=FE, ∴.∠AED=∠CFD=90°. .△ADG≌△FEG(AAS), 「∠AED=∠CFD, ÷DG=BC,EG=DE=2, 在△ADE和△CDF中， ∠A=∠C, 2 AD=CD, .△ADE≌△CDF(AAS). SAE=2EC.EF=9. (2).·△ADE≌△CDF,∴.ED=FD 考点8角的平分线 1.D 在Rt△DBE和Rt△DBF中， (BD=BD, ED=FD, 2.解：如图，点C即为所求。 .∴，Rt△DBE≌Rt△DBF(HL),∴.BE=BF. 参考答案 ED=FD,BE=BF, ∴.∠AED=∠C=45° ∴.BD垂直平分EF. 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180° 考点3画轴对称的图形 .∠A=65°， 1.C如图所示，在剩余的6个白色小正方形中 .∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°， 任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小 正方形组成轴对称图形，符合条件的小正方形 ·∠BBC=2∠MBC=359 在①②③④的位置，共有4个. 4.证明：BD=BE,∴.∠D=∠BED ① 又.∠BED=∠CEF,∴.∠D=∠CEF .DF⊥AC,∴.∠A+∠D=90°，∠C+∠CEF=90°， ∴.∠A=∠C,∴.AB=BC(等角对等边)， ②③④ ∴.△ABC是等腰三角形 2.C3.B 5.(1)证明：.AEBC, 4.解：(1)如图所示，△A'B'C'即为所求 ∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB ,·点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一 点，∴.∠DAE=∠EAC, .∠B=∠ACB,∴.AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形 -4-3-2-1012345x (2)解：由(1)可知，∠DAE=∠B,∠DAE= ∠EAC,.∠B=∠EAC. (AB=CA, 在△ABF和△CAE中，{∠B=∠EAC, BF=AE, (2)△A'B'C'的面积=4×3- ×4×1- ∴.△ABF≌△CAE(SAS),∴.AF=CE. 2 2 ×2×3 ,AF=4,CE=4. ×3x1-号 考点5等边三角形 1.D2.9 (3)如图，连接CA'交y轴于点P,点P即为所求 3.证明：：△ABC是等边三角形， .∴.AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°. (AB=BC. 在△ABD和△BCE中， ∠ABD=∠BCE, BD=CE, 43-2-102345 ∴.△ABD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. 4.证明：AB=AC,点D是BC的中点， .∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. B .AB平分∠DAE,∴.∠BAE=∠BAD, 考点4等腰三角形 ∴.∠BAD=∠CAD=∠BAE. 1.B2.52 .AE⊥BE,∴.∠E=90°. 3.解：.BE是∠ABC的平分线， .BE∥AC,∴.∠EAC=90°， ∴.∠DBE=∠CBE. .∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°， .·DB=DE,∴.∠DBE=∠DEB, ∴.∠BAC=60°， ∴.∠DEB=∠CBE,∴.DEBC, ∴.△ABC是等边三角形 参考 专题四整式的乘法与因式分解 考点4用提公因式法分解因式 考点1幂的运算 1.B2.C3.A 1.D2.C3.B4.B5.B6.A7.D 4.整式乘法因式分解5.(a-b)(2m-3n) 8.(a-b)59.8110.-27x611.3 6.①①x2+2x-3=(x+3)(x-1),是因式分解， 2氟，(1)原式-(3=（宁邓 符合题意；②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,是整式 乘法，不是因式分解，不符合题意 (2)原式=cm2-m3=c5 7.解：(1)错误.因为多项式的公因式是n,而不 (3)原式=a2x3-2a2*4=a6-2a6=-a6. 是2n,故错误， 考点2整式的乘法 (2)错误.因为提取公因式-b后，第三项没有 1.B2.B3.D4.B5.D6.C7.A 变号，故错误 8.6a3b39.2a2b-4ab210.3y-311.2 (3)正确.x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)= 12.913.5x+4 14.解：(1)(-2a2b3)·（-3a)·（-2c) (x-y)2,故正确. =-12a2+1b3c (4)错误.根据因式分解的定义可知，最后结果 =-12a3b3c. 应是乘积的形式，但a(a-1)-2不是乘积的形 (2)(-3x+9)(6x-8) 式，故错误 =-18x2+24x+54x-72 8.解：(1)-20a-15ax=-5a(4+3x). =-18x2+78x-72. (2)-4a3b3+6a2b-2ab=-2ab(2a2b2-3a+1). (3)(a-b)°÷(b-a)7 (3)-10a2bc+15bc2-20ab2c=-5bc(2a2-3c+ =(a-b)9÷[-(a-b)7] 4ab). =-(a-b)2 考点5用公式法分解因式 =-a2+2ab-b2. 1.C2.D3.A4.B5.B (4)(2x2y+6xy3)÷2xy 6.±87.k=-2(答案不唯一) =2x2y÷2xy+6xy3÷2xy 8.解：(1)7x2-28=7(x2-4) =x+3y2. =7(x+2)(x-2). 考点3乘法公式 (2)x2-14x+49=x2-2×7x+72 1.A2.B3.D4.B5.D =(x-7)2. 6.（1)4-y2x2-4x+4-y2=x2-4x+(4-y2). (3)3ax2-6ax+3a=3a(x2-2x+1) (2)a-b+12a2-a+b-1=2a2-(a-b+1). =3a(x-1)2. 7.12xy(x+3y)2-(x-3y)2=x2+6xy+9y2-x2+ (4)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2)2-(2xy)2 6xy-9y2=12xy. =(x2+y2+2xy）(x2+y2-2xy） 8解：(0(xx+宁=-号 =(x+y)2(x-y)2 (2)(0.1-x)(0.1+x)=0.01-x2. 专题五分式 (3)原式=(1000+1)2 考点1分式及其基本性质 =1000000+2×1000×1+12 1.B2.D3.D4.B =1002001. 5.26.6m2-6mn (4)原式=(100+1)2+(100-1)2 7.解：(1 3xy2_3x2y2·x=x =1002+2×100×1+1+1002-2×100×1+1 6x2y33x2y2.2y2y =10000+200+1+10000-200+1 x2-16(x+4)(x-4)_x+4 =20002. (2)2-8+16(x-4 x-4 答案 19