专题1 一元二次方程-（夹卷）【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

考点3用公式法解一元二次方程 核心考点提前精练卷 1.在用求根公式解一元二次方程3x-1-2x2=0时，a,b,c的值分别是 专题一一元二次方程 A.3,-1,-2 B.-2,-1,3 C.-2,3,1 D.-2,3,-1 考点1一元二次方程的概念 2.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 1.下列四个方程中不是一元二次方程的是 A.(x-2)(x+2)=0 B.x(x2-5)=x2-x2 C.只有一个实数根 D.没有实数根 C.x2-3x=x(x+5) D.(x-2)2=0 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是 () 2.下列各数：①-3：②-2；③2；④3.其中是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 A.x2-2x-3=0 B.x2+x+1=0 C.x2=5 D.2x2+x-1=0 A.①2 B.①③ C.②④ D.③④ 4.若关于x的一元二次方程x2-2x+(2k-1)=0有两个相等的实数根，则k的取值 3.在一元二次方程5x2+6x-3=0中，二次项系数为 ,一次项为 ,常 范围是 () 数项为 A.k<1 B.k>1 C.k≤1 D.k=1 4.将方程(3x+2)(x-1)=x(x+2)化成一元二次方程的一般形式为 5.用公式法解方程： 考点2用配方法解一元二次方程 (1)2x2-2x+4=0: 1.用配方法解一元二次方程x2-6x-2=0的过程中，配方正确的是 (2)3x2+5(2x-1)=0. A.(x-3)2=11 B.(x-3)2=7 C.(x+3)2=11 D.(x+3)2=7 2.将一元二次方程x2-6x-4=0化成(x+a)2=b的形式，则b等于 A.3 B.4 C.7 D.13 3.用配方法解下列方程： (1)x2-4x-2=0: (2)2(y+2)2-6=0: 6.当k为何值时，关于x的一元二次方程x2+6x-9=0, (1)有两个不相等的实数根？ (3)5x=7x2-1; (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 核心考点提前精练卷 5 6.已知关于x的一元二次方程x2-(2a-1)x+a2-a=0. 考点4用因式分解法解一元二次方程 (1)求证：方程有两个不相等的实数根： 1.用因式分解法解方程，下列过程正确的是 (2)若方程有两个实数根x1,x2,且x(,2+1)+x2(x1+1)=7,求a的值 A.(2x-2)(3x-4)=0化为2x-2=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0化为x+2=0 考点6一元二次方程的实际应用 2.一元二次方程(x-5)2=4(x-5)的根为 () 1.某学校准备修建一个面积为200m的矩形花圃，它的长比宽多10m,设花丽的宽为 A.x=5 B.x=-5 xm,则可列方程为 () C.x1=5,名3=9 D.x1=5,为2=1 A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200 3.用因式分解法解一元二次方程x2-5x=6,下列是排乱的解题过程： C.2x+2(x+10)=200 D.x(x+10)=200 ①x+1=0或x-6=0:②x2-5x-6=0:③x1=-1,x2=6;④(x+1)(x-6)=0. 2.某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均 其中正确的解题步骤顺序是 月增长率为x,根据题意列出方程是 () 4.已知(x2+y2)2-5(x2+y2)=0,那么x2+y2= A.150(1+x)2=450 B.150(1+x)+150(1+x)2=450 5.用因式分解法解下列方程： C.150(1+2x)2=450 D.150(1+x)+150(1+2x)=450 (1)x2-2x+1=0: 3.某品牌服装，经过两次调价，从每件1000元降至810元，则该服装平均每次的降价 (2)x(2x-3)=2(2x-3). 率为 () A.10% B.9% C.8% D.19% 4.若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为 () A.16 B.17 C.±16 D.±17 5.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字的平方刚好等于 这个两位数，求这个两位数 考点5一元二次方程的根与系数的关系 1.已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为1，则另一个根是()》 A.5 B.4 C.3 D.2 2.关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x=1,则这两根之积为 6.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC () 边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏）.设矩形ABCD的宽AD为xm,矩形的长为 AB(AB>AD). A号 B号 C.1 (1)若所用铁栅栏的长为40m,用含x的代数式表示矩形的长AB: 3.若一元二次方程-3x-1=0的两根分别为名，西，则以+上的值为 (2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192m2,则AD,AB的长分别为多少米？ 墙 A.3 B.-3 C.±3 D.9 4.已知关于x的一元二次方程x2+x+4=0的一个根为-3，则k= ,另一个 根为 5.若1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根，则x+x2-xx2= 核心考点提前精练卷∴.∠ACD+∠DCB=90°，∠A+∠ABC=90°， ∴.∠A=∠ACD, ∴.CD=AD, .AD =BD, D是AB的中点. (3)解：当∠A=45时，四边形BECD是正方 形.理由如下： ∠ACB=90°，∠A=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形 :D为AB的中点， .CD⊥AB, ∴.∠CDB=90° 又：四边形BECD是菱形， ∴.四边形BECD是正方形 故答案为45， 19.解：（1)设购买A种规格的粽子x件，B种规 格的粽子y件 根张应得3801680， 每供[化m 答：购买A种规格的粽子400件，B种规格的 粽子200件. (2)①设每件A种规格的粽子的利润为α 2 元，则每件B种规格的粽子的利润为(20- a)元， 根据题意得w=400a+200(20-a), 整理得0=200a+4000. ②.：A种规格的棕子利润率不超过50%， ∴.a≤24×50%，即a≤12. 在w=200a+4000中，w随a的增大而 增大， ∴.当a=12时，w取最大值，最大值为200× 12+4000=6400 y=-2x+7, 20.解：(1)联立方程组，得 3 y= 2, 解得x2, ly=3, ∴.点A的坐标是(2,3). (2)设点P的坐标是(0，y). ,△OAP是以OA为底边的等腰三角形， .OP =PA, .22+(3-y)2=y2, 解得y=13 , 点P的坐标是(0，名)。 18 故答案为0，日》。 (3)直线y=-2x+7与x轴，y轴分别交 于点C,B, B(0,7),C(3.0), 4Su=7×7x2=7 设点Q的坐标是(a,b),如图，作QD⊥y轴于 点D,则QD=a, B y=-2x+7 .S△0B0=S△0B-SA040=7-6=1, 20B·0D=1,即3×7a=1,解得a-号 把a=弓代y=-2x+7中，得6-5， 点Q的坐标是（号月）。 1.(1)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=90°， AC=√AB2+BC2=√32+42=5(cm). 由题意得AE=CF=tcm, 当点E,F相遇前，EF=AC-AE-CF=(5- 2t)cm; 当点E,F相遇后，EF=AE+CF-AC=(2t- 5)cm. 故答案为tcm,(5-2t)cm或(2t-5)cm. (2)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°， .AC=AB2 +BC2=32+42=5(cm) ∠GAF=∠HCE. :G,H分别是AB,DC的中点， .AG-BG-AB.CH-DH-CD, ∴.AG=CH. AE CF,..AF CE. rAG=CH, 在△AFG和△CEH中，{∠GAF=∠HCE, LAF=CE, ∴.△AFG≌△CEH(SAS), ∴.GF=HE. 同理可得GE=HF, 参考 ∴.四边形EGFH是平行四边形. (3)解：如图，连接GH. x=-6±√6-4ac=-10±160 2a 2×3 -5±2√10 3 即x1=-5+21 3 ,=5-0 3 6.解：(1)k>-1,且k≠0. 由第(2)问可知，四边形EGFH是平行四 (2)k=-1. 边形. (3)k<-1. :点G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的 考点4用因式分解法解一元二次方程 中点， 1.A2.C3.②④①③4.0或5 ∴.GH=BC=4cm, 5.解：(1)因式分解，得(x-1)2=0, .当EF=GH=4cm时，四边形EGFH是矩 于是，得x-1=0, 形，分两种情况： 解得x1=x2=1. ①当点E,F相遇前，AE=CF=tcm,EF= (2)因式分解，得(2x-3)(x-2)=0, (5-2t)cm,此时5-2t=4,解得t=0.5; 于是，得2x-3=0,或x-2=0, ②当点E,F相遇后，AE=CF=tcm,EF= (2t-5)cm,此时2t-5=4,解得t=4.5. 解得号=2 故当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为 考点5一元二次方程的根与系数的关系 矩形. 核心考点提前精练卷 1.c2.D3.B4号-号51 3 专题一一元二次方程 6.(1)证明：因为x2-(2a-1)x+a2-a=0, 考点1一元二次方程的概念 所以4=[-(2a-1)]2-4(a2-a) =4a2-4a+1-4a2+4a 1.C2.C =1>0, 3.56x-34.2x2-3x-2=0 所以该方程有两个不相等的实数根。 考点2用配方法解一元二次方程 (2)解：由(1)及根与系数的关系，得 1.A2.D x1+x2=2a-1,x1x2=a2-a. 3.解：(1)x1=2+√6，x2=2-V6 因为x1(x2+1)+x2(x1+1)=7, (2)y1=-2+25,y2=-2-25. 所以x1x2+x1+x1x2+x2=7, (3)x,=5+53=5-53 即2x1x2+x1+x2=7, 14,x2=14 代入得2(a2-a)+(2a-1)=7, 3 (4)x1=1,为2=-2 整理得a2=4, 解得a=±2. 配方过程略。 考点6一元二次方程的实际应用 考点3用公式法解一元二次方程 1.D2.B3.A4.C 1.D2.D3.B4.D 5.解：设个位上的数字为a,则十位上的数字为 5解：(1)a=2,6=-2c=4, (a-3).根据题意得a+10(a-3)=a2,解得 a1=5,a2=6. 则4=6-4ac=(-2)°-4x2×分=0， 当a=5时，这个两位数是25； 当a=6时，这个两位数是36. 则原方程有两个相等的实数根， 所以这个两位数是25或36. -%-治2-异 6.解：(1)因为AD=BC=x, AD+BC-2+AB-2=40, (2)方程化为一般形式为3x2+10x-5=0, 所以AB=-2x+44. a=3,b=10,c=-5, (2)由题意得(-2x+44)x=192, 则4=b2-4ac=102-4×3×(-5)=160>0, 即x2-22x+96=0, ∴.方程有两个不相等的实数根， 解得x1=6,x2=16. 答案 当x=16时，AB=12,AB<AD,故舍去； 当x=6时，AD=6,AB=-2×6+44=32,符 =(+分+=++3 合题意 (2)点B平移后的坐标为(1-m,9), 故AD的长为6m,AB的长为32m. 则9=(1-m)2+（1-m)+3, 专题二二次函数 解得m=4或m=-1(舍)， 考点1二次函数y=ax2的图象和性质 ∴.m的值为4. 1.A2.A3.8 4解：(1)因为y=(k+2)x2+k-4是二次函数， (3)当n<-时， 所以作02 。解得k1=-3,k2=2, 最大值与最小值的差为5-[(n+2)2+]= 因为当x<0时，y随x的增大而增大， 9 , 所以k+2<0,即k<-2,所以k=-3. (2)-4≤n≤0. 1 解得m=n=-2,不符合题意； 考点2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.B2.D3.C4.B 当-方≤n≤1时， 5.7或0 6.解：(1)抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直 最大值与最小值的差为5-=？，符合 4 线x=-2, 题意； ∴.h=-2, 当n>1时， 即抛物线的解析式为y=a(x+2)2. ,抛物线过点(1，-3)， 最大值与最小值的差为(a+宁》”+号-号- 44 巴-3=(1+2)2×a,解得a=-3 4, 该抛物线的解析式为y=号(x+23。 解得n1=1,n2=-2,不符合题意 (2)由(1)得，该抛物线的解析式为y= 综上所述，n的取值范围为-≤n≤1， -3(x+22, 考点4二次函数与一元二次方程 1.D2.C ·该抛物线是由抛物线)=-了向左平移2 考点5实际问题与二次函数 个单位长度得到的 1.B2.4310 (3)由(1)得，该抛物线的解析式为y= 4.y=-x2+10x -号(x+23. 5.解：(1)根据题意可知，A(0,5),B(20,5) 把(0,5)，(20,5)代入抛物线的表达式y= ∴.该抛物线开口向下， 动2+证+6得 1-20+20b+c=5, ∴.当x>-2时，y随x的增大而减小. 考点3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 解得1， 1c=5, 1.B2.D3.D4.B 抛物线的表达式为y=分2+*+5， 53或-骨 6.解：(1)设二次函数的解析式为y=（x+ (2)y=20++5=20（x-10)2+10, 宁+，把4(-2,5)代人得（-2+ ∴.顶点坐标为(10,10)， ∴.拱顶到x轴的距离为10m. 7)2+k=5, 由题意得20÷2-16÷2=2(m), 解得= 将=2代入y=++5中， 41 解得y=6.8, 参考 10-6.8=3.2(m), .k的取值范围为k>4. ∴.除湿板与仓顶间的距离为3.2m. (2)由题意知，反比例函数的图象位于第一、 专题三反比例函数 第三象限，∴.在第一象限内y随x的增大而 考点1反比例函数 减小. 1.D2.C3.D4.35.2 ,y2<y1,.2a+1>a+5, 6.解：(1)由题意，得m-2=-1且m-1≠0， 解得a>4, ∴.m=-1. ∴.a的取值范围为a>4. (2)m=-1, 考点3实际问题与反比例函数 ·反比例函数的解析式为y=-2 1.D2.D3.4004.0≤x≤40 5.解：(1)由题意得，250×1.2=pd, 小当=3时，y=- 2 则p=3四 考点2反比例函数的图象和性质 300=125. 1.A2.B3.D4.6 (2)当d=2.4时，p=2.4 5.-12第二、第四增大6.3 所以杆的另一端所施加的压力为125N. 7.解：(1)八反比例函数y=(m≠0)的图象与 6.解：(1)水库蓄水量达到190万立方米需放水 30万立方米. 一次函数y=x+3(k≠0)的图象交于点 由题意，得a=30,即1=30(a>0). A(-4,-1), -1=4-1=-4+3, 0二5. (2)当a=6时，t=6 ∴.m=4,k=1, 答：5天可以使水库蓄水量达到160万立方米. 二反比例函数的解析式为y=,一次函数的 专题四旋转 考点1图形的旋转 解析式为y=x+3, 1.C2.D3.C y= 4.解：(1)点D为旋转中心. 联立方程，得 x (2)旋转了90°. y=x+3, (3)∠GDF=45 解或： 考点2中心对称 ly=4, 1.D2.D3.B4.D5.D ∴.点B的坐标为(1,4) 6.(3,2)（-3,-2)（-3,2) (2)如图，画一次函数图象，交y轴于点C. 7.线段AB的中点8.4 考点3关于原点对称的点的坐标 1.A2.A3.（1,-3) 4.解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求，点A1的 坐标为(4，-5). 6-53-2123456x 6 -3 2 由(1)知一次函数的解析式为y=x+3, A-士 令x=0,则y=3, 6-543421.0123456 则点C的坐标为(0,3)，即C0=3, -2 1 一S△A0B=S△A0c+S△B0c=2X3×4+2×3X 1-9 8.解：(1)由题意知，k-4>0,解得k>4, (2)如图所示，△A2BC2即为所求，点A2的坐 答案 19