第4章 实数概念清单速记表（知识清单）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学“实数”单元知识清单全面梳理了无理数、平方根与立方根、用计算器开方、实数四大知识范畴，以“章节-概念-定义-相关概念”的表格形式搭建学习支架，覆盖从概念本质到运算应用的完整知识链条。 清单通过分类呈现知识体系，如将实数按正负细分，关联“平方根与立方根的性质”对比，体现完整性与条理性。设计“无理数的常见形式”举例√2、π，“平方根的个数”明确正负零情况等重难点标注，培养学生抽象能力和推理意识。“无理数的估算”用夹逼法指导近似计算，助力不同学生高效掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第4章 实数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1 无理数 有理数的表示 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 有限小数、无限循环小数 无理数 无限不循环小数称为无理数。 无限不循环小数、π、不是有理数的数 无理数的常见形式 如 、、、（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1）等无限不循环小数都是无理数。 √2、π、无限不循环小数 无理数的发现 古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现，边长为 1 的正方形的对角线长不能用整数或整数之比表示，从而导致第一次数学危机，也说明无理数并不“无理”。 第一次数学危机、希帕索斯、反证法 2 平方根与立方根 算术平方根 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫作 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。 平方、正数、根号 0 的算术平方根 0 的算术平方根是 0，即 。 0、算术平方根 算术平方根的性质 当 时，，；当 时，。 非负数、根号、平方 平方根（二次方根） 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的平方根（也叫作二次方根）。 平方、正负根号 平方根的个数 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 两个、0、负数 平方根的表示 正数 有两个平方根，一个是 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数，合起来记作 ，读作“正、负根号 ”。 算术平方根、相反数、±√a 开平方 求一个数 的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。开平方与平方互为逆运算。 被开方数、平方、逆运算 立方根（三次方根） 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的立方根（也叫作三次方根）。 立方、三次方根 立方根的表示 每个数 都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号 ”。正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。 三次根号、正负、唯一 立方根的性质 ，。 三次根号、立方 开立方 求一个数 的立方根的运算，叫作开立方， 叫作被开方数。开立方与立方互为逆运算。 被开方数、立方、逆运算 无理数的估算 对于开方开不尽的数，可通过夹逼的方法估计其大小（如用有理数估计无理数的大致范围），并按要求精确到某一位。 夹逼、估计、近似值 3 用计算器开方 用计算器进行开方运算 利用科学计算器上的开平方键和开立方键可求被开方数的平方根与立方根（按键顺序：被开方数再按开方键），并按要求取近似值。 计算器、开平方、开立方、按键顺序 用计算器比较数的大小 先用计算器求出各数的近似值，再比较它们的大小。 近似值、比较大小 4 实数 实数 有理数和无理数统称为实数。 有理数、无理数 实数的分类（按正负） 实数按正负可分为正实数、零、负实数；正实数又分为正有理数和正无理数，负实数又分为负有理数和负无理数。 正实数、负实数、零 实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一样。如 和 互为相反数，，，。 相反数、倒数、绝对值 实数的运算 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 运算法则、运算律 实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 数轴、一一对应 数轴上比较大小 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 数轴、大小比较 无理数的近似计算 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，可以根据精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。中间过程所取的近似值要比要求的精确度多取一位小数，计算出最后结果后再按精确度取近似值。 近似值、精确度、四舍五入 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $