微专题15 隐圆问题&阶段测评6（30.1-30.3）-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

微专题15 堡型①定点定长 十方法指导+++++++++++++++ 图①中，若点O是定点，OA=OB=OC, 则点A,B,C在以点O为圆心的圆上.图② 中，若点O是定点，OA是定长，则动点A在 以点O为圆心，半径为OA的圆上 0 图① 图② 1.如图，点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4), C为坐标平面内一点，BC=2,点M为线段 AC的中点，连接OM,则OM的最大值是 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，AB=4,AD=4√3，∠B =60°，E是线段BC上一动点，连接AE,将 △ABE沿着AE翻折，得到△AFE,连接CF, DF,则△CDF面积的最小值为 类型2四点共圆 +方法指导+++ 图①中，若∠A+∠C=180°，则A,B,C, D四点共圆， 图②中，若∠A=∠D,则A,B,C,D四点 共圆 图① 图② 3.如图，在△ABC中，AB= AC=6,∠B=30°，E为BC 上一点，BE=2EC,DE= DC,∠ADC=60°，则AD的长是 隐圆问题 类型3 直角所对的弦是直径 方法指导++++++++++++ 点A,B是定点，动，点 C满足∠ACB=90°，则动 A 点C的轨迹是以AB为直 径的圆（不含A,B). 4.如图，在正方形ABCD中，AD=4,E为边AB上 一动点，连接CE,过点B作BF⊥CE于点F,连 接AF,则AF的最小值为 第4题图 第5题图 5.(中考·海南)如图，点E是☐ABCD内一动 点，且∠AEB=90°，AB=4,BC=7. (1)△AEB面积的最大值为； (2)连接CE,分别取CD,CE的中点M,N,连 接MN.若∠BAD=120°，则线段MN长度的 最小值为 类型④定弦定角 方法指导+++++++十+十+十++ 在△ABC中，∠A=a,BC=m(a,m是定 值)，若点B,C是定点，A是动点，则动点A 的轨迹是个圆（⊙O,不包含B,C),圆心O在 BC的垂直平分线上，且满足∠BOC=2a(a为 锐角时，如图①)或∠BOC=360°一2a(a为钝 角时，如图②) 20 a是锐角 α是钝角 图① 图② 6.如图，在四边形ABCD中， AD=2,∠ABC=∠ADC= 60°，对角线AC⊥AD,则BD 的最大值为 第三十章120 阶段测评6( (时间：40分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.正十边形的中心角度数是 ( A.72° B.36° C.30° D.18 2.(昆明期末)已知⊙O的半径为1cm,圆心O 到直线l的距离为2cm,则直线l与⊙O的位 置关系为 () A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 3.(天津期末)如图，AB与⊙O相切于点A,OB 交⊙O于点C,D为⊙O上一点，连接DA,DC, 若∠B=36°，则∠D的大小为 () A.25° B.27 C.34° D.56° 第3题图 第4题图 4.(荆门期末)如图，AC是⊙O的直径，PB,PC 是⊙O的两条切线，B,C是切点，若∠P=60°， AC=6,则AB的长度为 A.4 B.3 C.3√3 D.2 5.(绵阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6,点M,N分别是△ABC的内 心和外心，则MN的长为 () A.3 B.2.5 C.√5 D.√6 M 第5题图 第6题图 6.如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥ AC于点E,以AB为直径的⊙O经过点D,连 接AD,有下列结论：①AD⊥BC;②∠EDA= 121探究在线九年级数学（上） 30.1~30.3) 满分：100分) ∠B:③0A=号AC:①DE是o0的切线.其中 正确的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题5分，共35分）》 7.(北京期中)若点M在⊙O内，则过M点的直 线与⊙O的公共点个数为 8.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点.若 ∠AOB=130°，则∠APO= 0 B 第8题图 第9题图 9.如图，半径为2的正六边形ABCDEF内接于 ⊙O,则该正六边形的边心距OM为 10.(宜春月考)如图，△ABC的内切圆⊙O与 BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB= 4,BC=9,CA=7,则AB+CE的值为 B 第10题图 第11题图 11.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， 点C,D在⊙O上.若∠P=102°，则∠PAD 和∠C的度数和为 12.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线 y 2女+1上运动，当⊙P与x轴相切时， 圆心P的横坐标为 D 第12题图 第13题图 13.如图，已知两条平行线11，l2,点A是11上的 定点，AB⊥l2于点B,点C,D分别是11，l2上 的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段 AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH 最大时，是的值为 三、解答题（共35分） 14.(6分)请用圆规和直尺作图，不写作法，但要 保留作图痕迹。 已知：⊙O,点A在圆上. 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD. 。0 15.(8分)（中考·西藏）如图，AB是⊙O的直 径，点C在⊙O上，∠CAB=60°，过点C的切 线交BA的延长线于点D.求证：CD=CB. 0 16.(9分)（朔州月考）如图，正方形ABCD内接 于⊙O,M为AD上的一点，连接BM,CM (1)若BM=CM,求证：M为AD的中点； (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙O的 半径. 17.(12分)（毫州期末）如图，AC与⊙O相切于 点C,AB经过⊙O上的点D,BC交⊙O于点 E,DE∥OA,CE是⊙O的直径. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若BD=4,CE=6,求AC的长. D 第三十章122.AO=BO=3,OP=5,∠OBP=90°， ,⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径， ∴.BP=√/OP2-OB2=√52-32=4. ..d=20D=2AF. :SAam=2OB·BP=合OP,BD, ∴.d=AB+AC-BC. 拓展在线 :.BD-OB BP-3X4-12.:.BC=2BD-24 6.B OP 5 51 微专题14证明切线的常用方法 AB是⊙O的直径， 1.连接DO,CD. .AB=2OA=6,∠ACB=90° AC切⊙O于点C,.AC⊥CO. Ac-VaB-BC-√6-()-8 BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，∴.∠ADC=90. 拓展在线 E为AC的中点， 12.A ,ED=EC,.∠ECD=∠EDC 第2课时切线长定理 .OC=OD,.∠OCD=∠ODC 基础在线 .∠EDO=∠ECO=90°，.DE与⊙O相切 1.A2.70° 2.ME=1,AM=2,AE=√5， 3.AB与AC相等， .∴.ME+AE=AP, 如图，连接OD,OE, ∴.△AME是直角三角形，且∠AEM=90. :AB,AC是小圆的两条切线，切点分别 又：MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM=90°， 为D,E, 即OB⊥BC. ∴.OD⊥AB,OE⊥AC,AD=AE. 又，OB是⊙O的半径，.BC是⊙O的切线 ∴.AB=2AD,AC=2AE. 3.(1)证明：如图，连接OC,OE, ..AB=AC. ,CD是⊙O的切线， 能力在线 .∠OEC=90°， 4.D5.48 在△OEC和△OBC中， 6.(1)60° (OE=OB, (2)如图，连接OC.由题意，知CD EC=BC, CE,OD⊥CD,OE⊥CE, OC-OC, .OC是∠EOD的平分线 .△OEC≌△OBC(SSS),∴.∠OBC=∠OEC=90°， ∠00E=合∠D0E=30. 即BC⊥OB,.BC是⊙O的切线. .CE=20 cm,.'.OC=2CE=40 cm. (2)连接0D,易证∠D0C=2∠A0B=90 ∴.0E=√/402-202=20√3(cm). AD=8,AB=12, .轮胎的直径为403cm. ∴.DE=8,AO=BO=6,∴.OD=10. 拓展在线 设BC=EC=x, 7.d>6y=x-12z+36 在Rt△OBC中，OC=62+x2, 2x 在Rt△ODC中，OC=(x+8)2-102, 30.2三角形的内切圆 9 基础在线 62+x2=(x+8)2-102,解得x=2 1.D2.117 BC=号 3.(1)△ABC的内切圆⊙O如图所示 (2)如图，连接OD,OE 4.连接OD,OE,BE,OD与BE交于点H. 由题意知，OD⊥AB,OE⊥BC, .AB是⊙O的直径， .∠ODB=∠OEB=90° ∴∠AEB=90. ∠B=40°，.∠D0E=140°. ED=DB,∴.∠EOD=∠BOD. 又OE=OB,.OD⊥BE ∠EFD=2∠DOE=70, ,AC⊥CD,∴.四边形ECDH是矩形， 能力在线 .OD⊥CD,.CD是⊙O的切线 4.B 5.(1)如图，即为所作。 5.(1)由题意，AB⊥OD,BC⊥OE,CA⊥OF (2)AC与⊙O相切.理由如下： ∴.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°， 过点O作OD⊥AC于点D. :∠D0E=120°，∠E0F=150°， ,CO平分∠ACB,∠ABC=90°， ∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∴OB=OD,即d=r,∴.AC与⊙O相切. ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30° 30.3正多边形与圆 .∠A=180°-∠B-∠C=90°. 基础在线 ∴.∠A,∠B,∠C的度数分别为90°，60°，30° 1.B2.C3.B4.72°5.12 (2)证明：由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CF=CE, 6.(1)由题意知，∠OFG=60°+90°=150°， ∴.BD+CF=BE+CE=BC. ∠0Gp=180°，150-15. AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC, 2 ..2AF=AB+AC-BC. ,∠ODA=∠OFA=∠A=90°， （2)S=6×9=39R,Sa=, 4 ∴.四边形ADOF是矩形..OD=AF. 28 一探究在线·九 小S正六边形：S正方形=3 15.连接OC,则0C=OA, 2 ∠CAB=60°， 7.如图所示 ∴△AOC是等边三角形. .∠COD=60°. ∴∠B=号∠00D=30 CD与⊙O相切于点C,交BA的延长线于点D, .CD IOC..∠OCD=90° .∠D=90°-∠C0D=30° ∠B=∠D..CD=CB. 能力在线 16.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 8.C9.D10.75°11.6或30 ..AB=CD,..AB=DC. 12.(1)七 (2)如图所示，即为所求 :BM=CM,∴.BM=CM. ..BM-AB=CM-CD. .AM=DM..M为AD的中点. (2)⊙O的半径为√2. 17.(1)证明：连接OD,如图所示. OE=OD,∴∠OED=∠ODE. 13.(1)证明：：六边形ABCDEF是正六边形， :DE∥OA, ∴.BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF .∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD. =∠EFA=∠FAB=∠ABC ∠AOC=∠AOD. 又CH=FG, 在△AOD和△AOC中， △BCH≌△EFG(SAS)..BH=EG AO-=AO, .CD=AF,CH=FG, ∠AOD=∠AOC, ∴.CD-CH=AF-FG,即DH=AG. LOD=OC, ∴.△DEH≌△ABG(SAS).∴.EH=BG. ∴.△AOD≌△AOC(SAS)..∠ADO=∠ACO. ∴四边形BGEH是平行四边形. ,AC与⊙O相切于点C, (2)如图，连接OB,OA,OF, ∴.∠ADO=∠ACO=90°. ,点O是正六边形ABCDEF的中心， 又OD是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线. ∴.OB=OA=OF,∠AOB=∠AOF= (2)CE=6,.OE=OD=OC=3. 号×360°=602 在Rt△ODB中，BD=4,OD=3, ∴.△OAB和△OAF都是等边三角形 .B0=√BD2+OD=5. ..OB=OA=OF-AB-AF-4, .BC=BO+OC=8. .∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，SANOB=SANOF :⊙O与AB和AC都相切，.AD=AC 在Rt△ACB中，AC+BC=AB, 5AB-45. 即AC+82=(AC+4)2,解得AC=6. 六S形0=120X4Xx=16m AC的长为6. 360 3 单元综合复习（六） 直线与圆的位置关系 ∴.阴影部分的面积为S形oF一S△AOB一S△AOF= 16元 热门考点突破 3 1.C2.D3.(9,0) 45-45=1g-8v5. 4.连接OD, :⊙O与边BC相切于点D, 拓展在线 ∴.OD⊥BC,即∠ODC=90°. 14.2√2 △ABC为直角三角形， 微专题15隐圆问题 .∠ODC=∠B=90°. 1.1+222.43.2√64.2√5-2 .OD∥AB.∠1=∠3. 5.(1)4(2)67-2 0D=OA.∠1=∠2. 2 .∠3=∠2..AD平分∠BAC 6.2+2√3 5.(1)证明：连接OD 阶段测评6(30.1~30.3) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 1.B2.A3.B4.B5.C6.D 直径， 7.28.259.√310.10 .∠ACB=90°，OA=OD. .∠OAD=∠ODA. 11.219° 12,2或-2或013号 DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=90° 14.如图，四边形ABCD即为所求作. :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD. ∴∠EAD=∠ADO.∴.OD∥AE. ∴.∠ODE=180°-∠AED=90°. OD为⊙O的半径，.DE是⊙O的切线. (2)设OD交BC于点F, 年级数学（上）一