微专题5 二次函教与图形最值问题&微专题6 二次函数中的存在性问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

即△BPQ面积的最大值是20cm2. 解得x1=10或x2=20, 能力在线 要使顾客优惠程度更大，应降价力度更大，故应降价20元. 8.C9.5 10. (2）m (3)由(2)，得每天的利润w=-20x2+600x十8000= -20(.x-15)2+12500, 11.(1)13 故w的最大值为12500元，即不可能达到12800元. 拓展在线 (2)A(0,3),c=3, 9.(1)当45≤x≤90时，y=(160-2x)(70-20)=-100x+8000. y=- 4x2+bx+3, (2)当1≤x<45时， y=(160-2x)(x+30-20)=-2x2+140x+1600= ,小球达到的最大高度为4m, -2(x-35)2+4050, 4x(-日)×3-6 .当x=35时，y最大=4050. =4,解得b1=1或b2=一1（舍去）. 当45≤x≤90时，y=一100x+8000,y随x的增大而减小， 4x(-) 当x=45时，y大=3500， 6 综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利 =2 2x(-) 2x(-日) 润是4050元. (3)在销售的前45天内，∴.1≤x<45. 答：小球达到的最大高度为4m时，小球运动的水平距离 根据题意，得y=(160-2x)(x十30-20-a)=一2x2十 为2m. (140+2a)x+1600-160a, (3)小明的说法正确， 函数的对称辅x=-140+24-35+, 由(2)，得y=一r+x+3, -4 令y=0,即0=-2+x十3，解得=6或=一2（舍去， ∴当x=35+号时，y大=3872. .OC=5,CD=2,.OD=7. -2(35+号）'+(140+2a)(35+号）+1600-160a “5<6<7,且当=5时y=子>1， =3872.解得a=2或178 ∴.小球落在筐底处的点的坐标为(6,0) 1≤x<45,1≤35+号a<45.-68<a<20. 拓展在线 a>0,.0<a<20.∴a=178舍去.a=2. 12.(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则与墙平行的边的长 第3课时抛物线形问题 度为(60-2x)m,根据题意，得 基础在线 x(60-2x)=450,解得x1=x2=15 1.C2.y=-g(x+62+4 答：与墙垂直的边的长度为15m. (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积为Sm, 3.(1)由题意，得大孔抛物线的顶点坐标M(0,8), 根据题意，得 A(-90）,B(2o）,即A(-10,0,B10,0, S=34(6-0=-30+24=-号（：-3)2+363. 设大孔抛物线的解析式为y=ax2+8(a≠0)， :-号<0，当1=3时，S有0最大值363. 将点B(10,0)代入，得100a十8=0，解得a=- 25 答：当与墙平行的边的长度为33m时，花圃的面积最大 所以大孔抛物线的解析式为y=一云2+8(-10<≤10。 第2课时二次函数与商品利润 基础在线 (2)该巡逻船能安全通过大孔.理由如下： 1.D2.250 由(1)得大孔抛物线的解析式为y= 25x2+8(-10≤x 3.(1)由题意，设y=kx十b, ≤10)， 图象过(130,50)，(150,30)， …+8 将x=号=4代入，得y=一号×华+8=672， 因为2+4=6<6.72， ∴.k=-1,b=180..y=-x+180. 所以该巡逻船能安全通过大孔. (2)由(1)，得销售量y=-x+180, 4.D5.8 ,每件的利润为(x一100)元， 6.(1)如图所示，以O为原 y(m)4 ∴.w=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000= 点，OA为x轴，建立平面 -(x-140)2+1600. 直角坐标系， a=-1<0,.当x=140时，w=1600为最大值 .8-6=2, ∴售价定为140元时，才能使每天的利润0最大，最大利 抛物线顶点坐标为(2， 润为1600元 3),经过点A(8,0) 4.B5.D 设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3, 能力在线 6.D7.(60+x) 将点A(8,0)代入，得a×(8-2)2+3=0,解得a=一12' 8.(1)(200+20x) (2)由题意，得每天的利润w=(200十20x)(40一x)= ·该抛物线对应的函数解析式为y=一2(x-2)2十3. -20x2+600x+8000, (答案不唯一) 要使该模型平均每天销售利润达12000元，则得方程 -20x2+600x+8000=12000, (2)由题意，得当x=0时，y=一 ×0-2)+3=8 一探究在线·九 2.44, 和为4一0=4. 小罗此次射门不能射人球门内. 能力在线 ∴Sac=×4MQ-2(-2m2+2m）=-(m-2)2+4. 7.C ∴.当m=2时，△MBC的面积最大，最大值为4， 8.1)由题意，得顶点坐标为（受，8），即(6,8）， 此时-名m+m+4=-号×2+2+4=4， 设抛物线的解析式为y=a(x一6)2+8(a≠0)， ∴.△MBC面积的最大值为4，此时点M的坐标为(2,4). 将点(12,0)代入，得aX(12-6+8=0,解得a=-号， 微专题6二次函数中的存在性问题 1.(1)y=-x2-2x+3 抛物线的解析式为y=-号(z-6+8(0≤≤12). (2)存在.设点M(a,b),由题意可知，△ABC中，底AB= (2)能安全通过.理由如下： 4,商0C=3号50=10. 如图，由题意，得4=号-号-3=2， 在△ABM中，以AB=4为底，则高为|b, 将x=2代人y=-号(x一6)+8，得y-想， SAam=4XDl=号Sac=10, M点在x轴的下方，∴.b<0..b=-5. 智-35-贵>0,5能安全通过 点M在抛物线上，所以满足抛物线解析式.代入，得 a2-2a十3=一5，解得a=-4或a=2, 拓展在线 .M点的坐标为（一4，一5）或(2，一5). 9.2 微专题5二次函数与图形最值问题 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=a.x2十bx-3(a≠0)，得抛 物线的解析式为y=x2十2x一3. 1.(1)对于二次函数y=一x2一2x十3，当y=0时，一x2-2x十3 (2)①令y=0,则x2十2x-3=0, =0,解得x1=一3，x2=1, 解得x=-3或x=1, .A(-3,0),B(1,0) 点A的坐标为(-3,0). 当x=0时，y=3,∴.C(0,3). ②-3<x<1 :二次函数y=x2十bx十c的图象（记为G2)经过点A,C, (3)存在.设点P的坐标为(0，a), :(9-36十c=0,解得6=4：b=4,c=3. A(-3,0),C(2,5), c=3, c=3. ∴.AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+ (2),b=4,c=3, (a-0)2=9+a2,Cp2=(0-2)2+(a-5)2=a2-10a+29. .二次函数y=x2+bx十c的解析式为y=x2+4x+3. △ACP是以AC为直角边的直角三角形， ,直线x=t与x轴垂直， .分以下两种情况讨论： .M(t,--2t+3),N(t,2+4t+3). 若AP为斜边，则AP2=AC心+CP, ∴.MN=yM-yw=-t-2t+3-(t+4t+3)=-2t-6t .9+a2=50十a2-10a+29.解得a=7,.P1(0,7). 312 =-2(+)°+号(-3<<0. 若CP为斜边，则CP2=AC+AP2, .a2-10a十29=50+9十a2.解得a=-3,.P2(0,-3). :-2<0,当=-号时，MN取得最大值为号 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7),P2(0,一3 2.(1)由A(一2,0)及对称轴x=1易得B(4,0). 3.(1)在二次函数y=一x2+2x十3中，令y=0,得 将点A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx十4，得 -x2+2x+3=0, 解得x1=一1，x2=3, a=- 2,6=1, ∴.A(-1,0),B(3,0) .AB=3-(-1)|=4 ∴函数解析式为y=一x十x十4， (2)如图，连接CD,OD,BD, (2)把x=0代入y=-7x+x+4,得y=4,C0,4). 1 由y=-x2+2x十3=-(x2-2x)+3 =一(x-1)2十4，得顶点D(1,4). 如图，连接BC,交直线x=1于点P,连 令x=0,得y=3,即C(0,3). 接PA, ∴.△BCD的面积=S△aDD十S△oD 由轴对称的性质可得PA=PB， 由两点之间线段最短可知， S6m=2×1×3+号X3X4-号×3X3=3. (PA十PC)最小=PB十PC=BC,此时点 (3)存在点M使得以A,B,C,M为顶点的四边形是平行四 P即为所求. 边形，满足条件的点M的坐标为(-4,3)，(4,3)，(2，-3). 由B(4,0),C(0,4)易求直线BC的解析式为y=-x+4. 4.(1)-2-3 点P在对称轴x=1上， (2)存在点P,使四边形POP'C为菱 点P的横坐标为1. 将x=1代入函数y=一x+4,得y=一1十4=3， 形，点P的坐标为(2+严，-) .点P的坐标为(1,3). 理由如下： (3)如图，过点M作MN⊥x轴于点N,交BC于点Q, 由△POC沿CO翻折，得到四边形 设M(m,-2m+m十4)0<m<4),则Q(m,-m+4), POP'C, 得PP'⊥CO,垂足为E,则PE=EP',PP∥x轴 六MQ=-2m+m十4-(-m+4)=- 2m2+2m. 四边形POPC为菱形，C(0,-3), B(4,0),C(0,4), 0E=EC.E(0,-号) ∴.△CMQ的MQ边上的高与△BMQ的MQ边上的高之 年级数学（上）一 21 根据题意，设P(m,-）, (2)当ax2+bx+c≤0时，x的解集是一2≤x≤4. 11.设垂直于墙的一边长xm, -=m-2m-3. (1)由x(40-2.x)=150,解得x1=5,x2=15, 当x=5时，40-2x=30>25(不符合题意，舍去). 解得m=2计10 2 0,m=2(不合题意，舍去)， 当x=15时，40-2x=10<25(符合题意). 2 ,.三边长分别为10m,15m,15m. 故存在点P,使四边形POPC为菱形，且点P的坐标为 (2)设矩形围栏的面积为S. 则有S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200. 当x=10时.S有最大值； 5.(1)y=x2-2x-3 当x=10时，40一2x=20<25(符合题意). (2)当y=x2一2x一3=0时，解得x1=3, .三边长分别为20m,10m,10m x2=-1, 12.(1)2 .B(3,0) :C(0,-3),易得直线BC的解析式为y (2)证明：4=(-m)P-4X号×(m-1)=m2-2m+2- =x-3. (m-1)2+1, 作PF⊥x轴于点F,如图，设P(m,m2 (m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0..△>0. 2m-3),则OF=m,PF=-m2+2m+3,∴.BF=3-m. .该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点 :△CDE与△PBE的面积相等， (3)p>1或p<-1. ,SACDE十S四边形ODEB=S△PBE十S四边形ODEB, 13.(1),OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m, 即SABOC=S四边形ODPB=S△PFB十S四边形ODPF, 顶点B的坐标为(4,4). D(0,-1),.0D=1. 设桥大拱部分抛物线的函数解析式为y=α(x一4)2+4， 2×3×3=2×(-m+2m+3)3-m)+2×(-m 把00,0)代入解析式，得0=a×0-4)2+4,解得a=一4， 1 +2m+3+1)m. 解得m=子或m=0(舍去)，P(子，-9）》： 桥大拱部分抛物线的函数解析式为)=一子(。一4P十4 (0≤x≤8) (3)存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不妨令点 (2)不会 M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如答图①，可知 单元综合复习（二）二次函数 ∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°，不符 热门考点突破 合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M在 点H的下方，如答图②.由(2)知，直线BC的解析式为y 1,32.3.A4.D =x-3,连接MH,GN,由题意，易得△MGN是等腰直角 5.(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)十(x-a)(x- 三角形，∠HGN=45°，.GN⊥y轴，MH⊥x轴.设点M b)十x(x-b)可化为y=x(x-0)十(x-0)(x-3)十x(x 的坐标为(m,m2-2m一3)，其中0<m<3,则点H的坐标 -3)=3x2-6x, 为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N的坐标为 一6=1. 「二m士5，二)，将点N的坐标代入范物线解 ·此函数图象的对称轴为2=一品=一2X 2 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+ 析式y=x2-2x-3,解得m=1,m2=6(舍去)，此时，MH x(x-b)可化为y=x(x-a)十(x-a)(x-2a)十x(x- =2,正方形的边长为v√2.③若点M,N在直线BC的上方， 2a)=3x2-6ax+2a2, 不妨设点M在点H的上方，如答图③.设点M(m,m2一 抛物线对称轴为工=一品=一2X号-a, -6a 2m一3)，其中m<0或m>3,根据正方形性质，得点N的 坐标为（仁士严，心”），将点N的坐标代入抛 .3>0,.抛物线开口向上. 2 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，.a≥1. 物线的解析式y=x2-2x一3，同理，可得m=1(舍去)， ,在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴.a≤3. m2=6,此时，MH=18,正方形的边长为9√2. .1≤a≤3. 6.y=-(x-1)2+3(答案不唯一)7.y=x2-6.x十10 综上所述，正方形的边长为√2或9√2 8.A9.x≤-3或x≥010.①②⑤11.B 12.9m162m213.900 14.(1)由点(2,3.2)，(4,4.2)，易得y关于x的函数解析式 为y=-0.05x2+0.8x+1.8. (2)由表格易得球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒) 的关系式为x=10t. 答图① 答图② 对于y=-0.05x2+0.8.x+1.8,a=-0.05<0, 阶段测评3(26.3~26.4) 0.8 六当x=2x二0.05=8时， 1.C2.B3.D4.D5.4 ymx=-0.05×82+0.8×8+1.8=5. 6.x≤-1或x≥47.0或4+23或4-2√3 此时10t=8,解得t=0.8, 8.1509.1或5 ∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米. 10.(1)由对称轴x=1及A(4,0),易知与x轴的另一个交点 (3)p≤0.36 为(-2,0)， 核心素养提升 所以一元二次方程ax2十bx十c=0的两个根为x=4,x2 =-2. 16.-号 22 一探究在线·九 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 (2②)y=是是反比例函数，比例系数是8， 基础在线 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.B2.23-号x≠04.C5.C6.T-8 3 Q 20 基础在线 7.y=60 1.图略 4 -203 ”z=3时=6， 2.B3.C4C5.C6.1(答案不唯-)7.号 8.(1)设y= 8.(1)由反比例函数图象的性质可知，另一支曲线一定位于 6=夸解得=18， 第四象限 :反比例函数图象在第二、第四象限， 小函数解析式为y=8 ∴.比例系数a十6<0.即a<-6. x (2),k=a十6<0，.在反比例函数图象的每一个分支上， (8当x-9时y-坚-吕-2 y随x的增大而增大 x 点A,B在同一分支上，且x1>x2,·y1>y2. 9.1 9.A10.y>4或y<0 能力在线 能力在线 10.C11.0 11.D12.C 12.运动会上100m赛跑时，所用时间t(s)与跑步的平均速 13.(1):含45°角的三角尺OAC的直角顶点C的坐标为(2， 度(m/s)之间的关系，其函数解析式为t=100(答案不 2》,反比例函数)-兰（(x>0)的图象经过点C 唯一) .k=2×2=4. 13.(1)-x+5一次 “反比例函数的解析式为y一 4 2y-9 反比例 (2)C(2,2),∴.C0=22+22=8. (3)S=-x2+10x二次 :含45°角的三角尺OAC为等腰直角三角形，∠AC0= 14.设y=1x,=三(k1≠0，k2≠0)， 90°， 又“y=十心y=x+经 ∴.AC=C0,A0=√CO+AC=4. 如图，连接OD,△OAB旋转到 〔k1十k2=4, △OEF的位置， 把x,y的值代入，得 3+-5， .0E=OA=4. :点D的对应点G在y= 4的图 11L21 1y=8x+82 象上， 解得 k2=8 ∴y6=1.即EG=1. 由旋转可得AD=EG=1, 当=4时-号×4+裂4贸 .D(-1,4) 拓展在线 15.(1)由题意，得3m-2≠0,2+n=1,解得m≠号m=-1, 14.(1)由题意，得1-2m>0,解得m<2 即当m≠号m=一1时，该西数是一次函数 (2)①：四边形ABOD是平行四边形， ∴.AD∥BO且AD=BO. (2)由题意，得3m-2≠0,2+n=1,m+号=0，解得m= .A(0,3),B(-2,0),O(0,0), 点D的坐标是(2,3). 2n=-1, :1-2m=3,即1-2m=6. 2 即当m=2n=一1时，该函数是正比例函数。 ÷该反比例函数的解析式为y一 (3)由题意，得3m-2≠0,2十n=-1,m十号=0，解得m ②(3,2)或(-2，-3)或(-3，-2)4 3 第2课时反比例函数图象和性质的应用 =2n=-3, 基础在线 即当m=号，A=-3时，该函数是反比例函数。 1.B 拓展在线 2.(1)y关于x的函数解析式为y=-10 x 16.(1)连接BE (2)”在反比例函数y=-10中，k=-10<0, ,四边形ABCD是矩形， ,∴.∠ABC=90° ∴这个函数的图象在第二、第四象限；在每个象限内，y随 BF⊥AE, x的增大而增大 1 SAE=AEBF=AB·BC (3)将x=一之x=一6分别代入y=-9中， x 可得y=20,y=100, 即2y=×2x4,∴y=(4<<25). ÷点A(-名，20)在这个函数的图象上，点B(-品-) 年级数学（上）一44 微专题5二次函！ 1.(中考·扬州节选)如图，在平面直角坐标系 中，二次函数y=一x2一2x+3的图象（记为 G)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次 函数y=x2+bx十c的图象（记为G2)经过点 A,C.直线x=t与两个图象G1,G2分别交于 点M,N,与x轴交于点P. (1)求b,c的值； (2)当点P在线段AO上时，求MN的最大值. 2.(漳州期中)如图，抛物线y=ax2十bx十4(a≠ 0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已 知点A的坐标是（一2,0），抛物线的对称轴是 x=1. (1)求函数解析式和点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P,使PA十PC的值最 小.求点P的坐标； 49探究在线九年级数学（上） 敬与图形最值问题 (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,连接 MC,MB,求△MBC面积的最大值，以及取得 最大值时点M的坐标. y A B /01 44 微专题6二闪函} 1.(广州月考)如图，已知抛物线经过点A(1,0), B(-3,0),C(0,3)三点 (1)抛物线的解析式为 (2)在x轴下方的抛物线上，是否存在点M,使 得Sa=哥Sac?若存在，求出M点的坐 标；若不存在，请说明理由， B 2.（中考·青海)在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2十bx一3(a≠0)与x轴交于A,B两点， 点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范 围： (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存 在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P坐标；若不存在，请说明理由 数中的存在性问题 3.(达州月考)如图，已知二次函数y=一x2十2x十3 的图象与x轴分别交于点A和点B,与y轴交于 点C. (1)求线段AB的长； (2)若该抛物线的顶点为点D,求△BCD的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点M,使得以A, B,C,M为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由. y B 第二十六章50 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象 y=x2+bx十c与x轴交于A,B两点，A点在 原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于 点C(0,一3)，点P是直线BC下方的抛物线 上一动点 (1)b= ,C= (2)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得 到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边 形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 5.(中考·资阳改编)如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在 点B的左边)，与y轴相交于点C(0,一3)，且 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (1)抛物线的解析式为 (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0, 一1)，连接BC,DP相交于点E,连接PB.若 △CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点 M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H. 是否存在点M,N,使得以M,N,G,H为顶点 的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边 51探究在线九年级数学（上） 长；若不存在，说明理由. 、E