第25章 一元二次方程 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

B-- 第二十五章学情评估 评估内容：一元二次方程 （时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列方程中是一元二次方程的是 A.x2=y B.x2-1=0 C.x(x+1)=2 D.x3-2x-4=0 2.把一元二次方程5x-2x2=3整理成一般形式ax2+bx十c =0(a>0)后，一次项系数b的值是 ( A.5 B.-5 C.2 D.-2 密 尔 3.下列一元二次方程中，有一个根为1的是 ( A.x2-2x+3=0 B.x2-3x+2=0 C.x2-2x-3=0 D.x2+3x-2=0 4.用公式法解一元二次方程x2一2x=3时，b2一4ac的值为 叙 封 A.-8 B.8 C.16 D.17 5.(中考·安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2十x+1=0 D.x2十x-1=0 6.(中考·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技 术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 线 5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元. 设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方 程为 () A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 7.用换元法解方程8c士2+3，卫=11时，若设 x2-1 x2+2x x2-1 x2+2x =y,则可得到整式方程是 出 A.3y2-11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2-11y+3=0 D.8y2+3y=11 8.对于任意实数a,b,定义新运算a*b=ab2一2b,例如：3*2 =3×22一2×2=8.若1￥m=8,则m的值为 () A.-4 B.4或-2C.5 D.-3或2 9.已知m,n是关于x的方程x2一2x一2=0的两个根，则 4m2+8m+号mm+2026的值为 () A.2016 B.2049 C.2050 D.2056 10.商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天 能售出8台.为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调 查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售 出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同 时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（) A.100元 B.200元 C.300元 D.400元 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.方程(x一1)(x十2)=0的两根分别为 12.解一元二次方程x2+2x一2024=0，将它转化为(x十a)2 =b的形式，则a十b的值为 13.若关于x的一元二次方程(m一3)x2+x+m2一8m+15=0 的常数项是0，则m的值为 14.以√5+1和√5一1为根，且二次项系数为1的一元二次方 程的一般形式为 15.已知x=-b+yB-4c(6-4c≥0)，则式子x2+bx十c的 2 值是 16.淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果 由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 17.(台州期未)浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”)城市争霸赛 的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同.按照比 赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A, B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛？设 共有x支队伍参赛，根据题意列方程为 一探究在线·九年级数学（上）一 18.对于实数m,n,现定义一种运算“☒”如下：m☒n= m2+m+n(m≥n), 若x⑧（一2）=10，则实数x的值为· n2+m+n(m<n). 三、解答题（共66分） 19.(9分)解下列方程： (1)x2十4x-12=0(配方法)； (2)3x2-6x+1=0; (3)3(x-5)2=2(x-5) 20.(8分)已知在等腰三角形ABC中，BC=6,AB,AC的长 是关于x的方程x2一10x+m=0的两个整数根，请求出 △ABC的周长. 01 21.(8分)若关于x的方程mx2+2mhx+k=一mh2(m,h,k 均为常数，m≠0)的解是x1=一3，x2=2,求方程m(x十h 一3)2十k=0的解。 22.(9分)已知关于x的一元二次方程x2+bx十c=0(b,c为 常数)， (1)若b=c十3，求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1,x2是该方程的两个根，且x1=2x2,求证：2b=9C 23.(10分)为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的 号召，小颖决定走人社区号召大家参加“传递正能量志愿 服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召， 已知每一个人每周能够号召n(n>0)个人参加. 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有(n十1)人参加了 “传递正能量志愿服务者’.” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有n(n +1)人.” (1) 的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能 02 量志愿服务者’.”请你通过列方程分析丙的说法是否正确。 24.(10分)泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、 降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效.如图①，某茶庄种 植茯茶，由于规模不断扩大，开垦了一块面积为600平方 米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米. (1)求采茶基地的长和宽； (2)该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形 空地，该空地与采茶基地大小、形状均相同，计划在此区域 栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图②所示的小路（空白部 分)供游客观光，且四周小路的宽度相等，中间小路的宽度 是四周小路宽度的2倍，若鲜花的种植面积为468平方 米，求四周小路的宽度， 图① 图② 一探究在线·九年级数学（上）一 25.(12分)材料：已知a,b均不为0，若分式x-a)(r-b)的 值为零，则x=a或x=b,因为（x一a)(x-b= -a+b=x-a+)+2即x-a+0+空-0，所 以关于x的方程x十b=a十b的两个解为x=a,=b. 如：方程工-2=-1可写成十一2)X1=一2十1，所以 此方程的两个解为x1=一2，x2=1. 请阅读以上材料，回答下列问题： (1）方程十15=一8的两个解为=x,=一， (2)若方程女一兰26的两个解为玉=m,=,水烈 +”一6的值： 2n ③)若关于x的方程x一5-5一6的两个解x,西 满足2十=一2求的值。由(1)知，∠BAD=∠CAD, ∴.BD=CD,即BD=CD..BD=ID=CD. 3z十2=6yx=5:3,两式联立，解得x=8 点B,I,C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即点D 答：窗户框架的宽AB为号m 是△BCI的外心. 10.30°11.127.5°12.√/13-1 【方案二】由题意，设窗户框架的长AD为am,则宽AB为 13.(1)如图①，连接F0, 6g20m,S=6g20.a,即S=-号a2+2a 3 3 .正六边形ABCDEF为 ⊙O的内接正六边形， ∴.要使窗户框架的面积最大，则a= =1.5, .∠AOF=60°. 2×(-) ∠ADF=Z∠A0F=3 于是宽为2-6-2X1.5-1. 3 (2)123 此时窗户框架的面积为1.5×1=1.5(m). (3)△AFM与△CDM的面积之和为18√3. 当该窗的AB,AD边分别为1m、1.5m时，窗户框架的面 新课标·新情境·新题型 积最大，最大值为1.5m. 1.y=一x2十x十2（答案不唯一） 第二十五章学情评估 1.C2.B3.B4.C5.D6.A7.A8.B9.B 2.3a3.24.告x-25 10.B11.1=1,x2=-212.202613.5 5.(1)①t=2时，1≤x≤3， 14.x2-2√5x+4=015.016.5 y=2025x,y随x的增大而增大. ∴.x=1时，N=2025,x=3时，M=3X2025=6075. 17.x(Ξ-1=22018.3 h=M与V=2025. 19.(1)x1=-6,x2=2. 2 ②.y=kx+b,t-1≤x≤t+1, 3w36 (2)x1=3+6 3 ∴当>0时，y随x的增大而增大 17 x=t-1时，N=k(t-1)+b,x=t+1时，M=k(t+1)+b, (3)x1=5,x2=3 h=M二N=k. 20.,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x十m=0的两个 2 整数根， 当<0时，y随x的增大而减小， .AB+AC=10. ∴.x=t一1时，M=(t-1)+b,x=t+1时，N=k(t+1)+ .△ABC的周长为AB+AC+BC=16. b..h=一k. 21..mx2+2mhx+k=-mh2, ∴.m(x+h)2十k=0. 综上，h= ∫k(k>0), 一(k<0). ,关于x的方程m(x十h)2十=0的解是=-3，m2=2, (2)存在.：y=一x2+4x一=-(x-2)2十4-k, 方程m(x十h-3)2十k=0可变形为m[(x-3)十h]十k ∴x=2时，P=yax=4-k. =0. ①当t十1≤2，即≤1时， x-3=-3或x-3=2.解得x=0或5. ,t-1≤x≤t+1≤2， 即方程m(x十h-3)2+k=0的解分别是0或5. ∴.x=t+1时，M=-(t-1)2+4-k. 22.(1)b=c+3, x=t-1时，N=-(t-3)2+4-k, .△=2-4ac=(c+3)2-4c=2+2c+9=(c+1)2+8>0. 六h=M与V=4-2.t=1时，hm=2. 因此，该方程总有两个不相等的实数根 2 (2)根据根与系数的关系，得十x2=一b,c1x2=c, ②当t一1≥2，即t≥3时， .2≤t-1≤x≤t+1, =22十x=-6解得=一台 ∴.x=t-1时，M=-(t-3)2+4-k. x=t+1时，N=-(t-1)2+4-k, 则=2×(-)=-0-0·(-)= :h=MV=21-4 即2b=9c. 2 23.(1)甲和乙 ∴.t=3时，hmin=2. (2)由题意，得n(n+1)+(n+1)=120, ③当1<t≤2时，x=2,M=4-k, 整理，得(n十1)2=120， x=t-1时，N=-(t-3)2+4-k, 解得n=-1+2√30或n=-1-2√30<0（舍去）. h=合-32.1=2时，hm=日 又.n是正整数， ④当2<t<3时，x=2,M=4一k, .n=-1+2√30不符合题意. x=t+1时，N=-(t-1)2+4-k, 丙的说法不正确. h=含-1.号<h<2. 24.(1)设采茶基地的宽为x米，则长为(x+10)米， 由题意，得x(x十10)=600，解得x1=一30<0（不合题 1 意，舍去)，x2=20. :2>2…最小值为2P=4-k=2 则x+10=20+10=30. “k=子符合题意， 答：采茶基地的长为30米，宽为20米. (2)由题意可知，观光园区的长为30米，宽为20米， 6.D7.x 设四周小路的宽度为y米，则中间小路的宽度为2y米， 8.【方案一】由题意，设窗户框架的宽AB(横向边长)为xm, 由题意，得 AD长（纵向边长）为ym,由题意，得 (30-y-y-2y)(20-y-y)=468, 30 一探究在线·九 整理，得2y2-35y十33=0，解得y1=16.5,y2=1. 综上所述，m的值为0或1. 当y=16.5时，20-y-y=20-16.5-16.5=-13<0, 22.(1)令x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=2a2,即x2+2(a+ 不符合题意，舍去； 1)x+a2-2a十3=0，由题意知，A=[2(a十1)]2-4(a2 当y=1时，30-y-y-2y=26,20-y-y=18,符合题意. 答：四周小路的宽度为1米 2a+3)>0,解得e>2 25.(1)-3-5 (2):二次函数的图象与x轴有交点， (2)由题意，方程x一 =2√的两个解分别为m,n, .△=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8 x =-8(a-1)2≥0..8(a-1)2≤0. 则m十n=2√6，mn=-4, 又8(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. .m2+n2=(m十n)2-2mn=(2√6)2-2X(-4)=32. (3)证明：当x=0时y=3a-2a+3=3(a-号)‘+8>0， 小品+器6+弧-6 32 2mn -6=2×(-4) 该二次函数的图象不经过原点， -6=-10. 23.(1)y= (3)x-5t4t2 9x+16 2年=5t-6x+1+450-51-5. x+1 (2②)由题意，得-9x+16=4,解得 即x十1+45》=计4红-5. x+1 x-士33 A .x1+1=t,x2+1=4t-5或x+1=4t-5,x2+1=t. 2 D .x1=t-1,x2=4t-6或x1=4t-6,x2=t-1. .2+x2=2(t-1)+4t-6=6t-8或2x1+x2=2(4L --(-9） =3√3（米）， 6)+t-1=9t-13. 即铁丝MN的长为3√3米， 又2m+=-合6-8=-合或9-13= (3)CD的长为24米. 21 24.(1)①：'点A(1,-1)在抛物线y=ax2-2ax(a≠0)上， =或 ∴.-1=a-2a,∴.a=1. ②由①可得抛物线的解析式为y=x2一2x, 又=时，西+1=红-5=0，不合题意=号合去 当>0时，如图①，点E不在线段P℉上，故不成立； 当t=0时，点E与点P重合，也不成立； 综上所述，=8 5 当t<0时，如图②， 第二十六章学情评估 点E为线段PF的中点，且P(O,t), 1.C2.A3.C4.A5.D6.A7.A8.B9.A .设E(x0,t),则F(2x0,t),.x一2xo=(2xo)2一2X 10.C11.1<x<312.3(答案不唯一) 2x0, 13.>14.215.125016.x=0或x=6 解得x= 17.418.3或头 号或=0（含去） =()-2x= 19.（1)由表格可知对称轴为x=1,所以 可设抛物线的解析式为y=a(x 1)2一4， :x=0时，y=-3,.-3=a×(0 -1)2-4.解得a=1,.抛物线的 解析式为y=(x-1)2一4=x2一 图① 图② 图③ 图④ 2x-3. (2):y=a.x2一2ax(a≠0)，.对称轴为x=1, (2)描点、连线，函数图象如图所示，当0≤x≤4时， (1)当a>0时，抛物线开口向上，当x<1时，y随x的 -4≤y≤5 增大而减小. 20.(1)设AB=xcm,则BC=(28一x)cm,由题意，得 此时，1-2a<1, x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16, ∴.点B(1一2a,y1)在对称轴左侧， .DM=15cm,且x≤DM, 一1<1，∴.点C(一1，y2)在对称轴左侧，如图③， .x2=16舍去..AB=12cm. y1>y2,∴.1-2a<-1,∴.a>1. (2)矩形ABCD的面积不能为240cm.理由如下： 此时，抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上不存在 设AB=xcm,矩形ABCD的面积为Scm2, 两点M(x1,m),N(x2,n),使得m=n; 由题意，得S=x(28-x)=-(x-14)2+196, (i)当a<0时，抛物线开口向下，当x<1时，y随x的 .当x=14时，S取最大值196. 增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. '.矩形ABCD的面积不能为240cm2 此时，1一2a>1,∴.点B(1-2a,y)在对称轴右侧， 21.(1)y=x2+2x-1 一1<1，∴点C(一1，y2)在对称轴左侧，如图④， (2)直线l:x=一1与x轴相交于点C 点C关于对称轴的对称点C(3,y2)在对称轴右侧， .点C(-1,0). y1>y2,.1-2a<3..a>-1. ,PA⊥x轴，PB⊥l,垂足分别为A,B.点P的横坐标为m. 此时，抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上存在两 .P(m,m2+2m-1),A(m,0),m>-1. 点M(x1,m),N(x2,n),使得m=n. '.AC=m-(-1)=m+1,PA=m2+2m-1|: 综上所述，a的取值范围为一l<a<0. ,四边形APBC为正方形，∴PA=AC. 第二十七章学情评估 .m+1=|m2+2m-1l. 1.B2.D3.D4.C5.C6.D7.B8.D9.C 解得m=-2(舍去)或m=1或m=-3(舍去)或m=0, 10.A11.-112.(-1,-1)13.>14.1(答案不唯-) 年级数学（上）一