单元综合复习(一) 一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

单元综合复习（一 ■■■热门考点突破■■● 考点1一元二次方程的有关概念 1.(郑州月考)方程x(x一6)=6x十25化为一元 二次方程的一般形式是x2一mx十n=0,则m, n的值分别是 () A.12,-25 B.1,-25 C.-19,25 D.0,25 2.(重庆一模)若关于x的一元二次方程(m十 2)x2-mx十m2-4=0的一个根为0，则m的 值为 A.2 B.-2 C.±2 D.2或0 考点2一元二次方程的解法 3.解下列方程： (1)(x+5)2=16; (2)x2-4x-5=0; (3)3x2+2x-1=0; (4)(x-2)2十2x(x-2)=0. 考点3一元二次方程的根的判别式及根与 系数的关系 4.（中考·广州)关于x的方程x2-x十k2十2=0 的根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 23探究在线九年级数学（上） 一元二闪方程 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.（中考·河北)若一元二次方程x(x十2)一3=0 的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m, n)在平面直角坐标系中位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(中考·甘孜)若关于x的方程x2一2x十m=0 有两个相等的实数根，则实数m的取值为 7.（中考·南充)设x1,x2是关于x的方程(x 1)(x一2)=m2的两根. (1)当x1=一1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 考点4实际问题与一元二次方程 8.(中考·凉山)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨， 月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁 1860吨，若设月平均增长率为x,那么可列出 的方程是 () A.560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 9.某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团.游 玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又 给每两位亲友都拍了1张合影.为了保证每位 亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅 行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的 人数为 () A.12 B.14 C.16 D.18 10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问 题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株 脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下： 现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文， 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽 后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量 为x株，则可列方程为 11.感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同 学.因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨 练和跳绳活动，以增强我们的体质.据报道， 某种流感传播的速度非常快，有一个人感染 了流感，经过两轮感染后就会有100人被感 染，假设每轮传播中平均一个人传播人数相同. (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均 一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，三轮传播后， 被感染的人数会不会超过800人？ 12.(恩施二模)数学兴趣小组利用长方形纸板制 作礼品盒，他们选择了长为60cm,宽为 40cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪 去两个同样大小的正方形和两个同样大小的 长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折 起来得到长方体礼品盒 (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方 体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2 时，求剪去的小正方形的边长 60cm= 40 cm 底面 ■■●核心素养提升■■ 13.（武汉期中)我国古代数学家 研究过用几何法解一元二次 方程.以方程x(x十6)=72 为例加以说明，数学家赵爽 在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是： 如图，将四个长为x+6,宽为x的长方形拼 成一个大正方形，则大正方形的边长是x十6 十x,面积是四个长方形的面积与中间小正方 形的面积之和，即4×72+62=324=182，据 此易得x十6十x=18,x=6(正根)，小熙用此 方法解关于x的方程x(7x一a)=20,其中 7x一a>x,构造出同样的图形，已知小正方 形的面积为64，则a的值是 () A.6 B.4 C.2 D.1 第二十五章24则月销售利润为(40+10y)(200一20y)=9600, m=土√6. 解得y=2或y=4, ∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. 当y=2时，涨价10×2=20（元）；y=4时，涨价10×4= 解方程，得x1=一1，x2=4. 40(元). 故x2=4,m=士√6. 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元. (2)证明：方程(x一1)(x一2)=m2可化为x2一3x十2一m2 第3课时循环问题和数字问题 =0, 基础在线 ,△=4m2十1>0，.方程有两个不相等的实数根 1.C2.D 3.问题：，1)=45 由根与系数的关系，得x十x2=3,x1x2=2-m2, 2 (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=2-m2-3+1 拓展：(1)914 =-m2≤0， (2).每个顶点可以与(n一3)个顶点连接形成对角线， .(x1-1)(x2-1)≤0 .每个顶点可以形成(n一3)条对角线 8.C9.C10.3(x-1)x=6210 n边形的对角线数量为”3》条。 11.(1)设每轮传播中平均一个人感染x个人， 2 根据题意，得1十x十x(x十1)=100， 设多边形的边数为n,若对角线数量为27， 整理，得x2十2x-99=0, 可以得到方程n,3》=27,化简为m-31-54=0. 解得x1=9,x2=一11（不合题意，舍去）. 2 答：每轮传播中平均一个人感染9个人. 解得n=9或n=一6， (2)三轮传播后，被感染的人数为100十100×9= n为正整数，.n=9， 1000(人). 即多边形的边数为9. .1000>800 ∴多边形的对角线可以有27条 .被感染的人数会超过800人 4.0或45.D 6.假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a,则连 12.(1)设小正方形的边长为xcm,则礼盒底面的长是2(60 续的其他四个数分别为(a+1),(a+2),(a十3)，(a+4), 一2x)cm,即(30一x)cm,由题意，得 .a2+(a+1)2+(a十2)2=(a十3)2+(a十4)2，解得a 30一x=4x,解得x=6. 10或a=-2. ∴.长为30-6=24(cm),高为40-2×6=28(cm). ,这五个数为正整数， ∴.长方体礼品盒的体积为24×6×28=4032(cm3). ∴.a=10,.a+1=11,a+2=12,a+3=13,a+4=14. (2)设剪去的小正方形的边长为mcm,由题意，得 ∴.存在五个连续正整数，它们分别为10,11,12,13,14. (30-m)(40-2m)=750,解得m=5或m=45(舍去)， 能力在线 ∴.剪去的小正方形的边长为5cm. 7.B8.D9.x2=10(x-3)+x10.41 核心素养提升 11.(1)依题意，2x(x-1)=40, 13.B 第二十六章二次函数 .x(x-1)=80. 整理，得x2-x-80=0. 26.1二次函数的概念 基础在线 解得工=1±)32，不为整数， 2 1.A2.y=-x2+2x+1 .方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 3.(1)3(2)m≠5 故淇淇的说法是正确的 是否为 二次项 一次项 (2):有一人比赛了4场后退出比赛， 函数解析式 常数项 二次函数 系数 系数 由题意，得x-),x-2)+4=40, 2 y=-4x2+2x-3 是 一4 2 -3 整理，得x2-3x-70=0, y=-7+2x2 是 2 0 .(x-10)(x+7)=0. 解得x1=10,x2=-7(舍去)， y=x(x-1) 是 1 0 .x的值为10. y=(x+1)(x-1)-x 不是 拓展在线 12.(1)3747=3×83+7×82+4×8+7×8 5.S=-2x2+80x6.y=5000(1-x) =1536+448+32+7 7.S=6πr2 8.y=x2-x9.-310.1 =2023. 能力在线 (2)依题意，有2n2+6n+5=145, 11.B12.B13.y=(x+1)2 解得n=7,2=一10（负值舍去）. 14.(1)要使该函数为关于x的一次函数，则需满足 故n的值是7. (m2-m=2, 单元综合复习（一）一元二次方程 m-4)+2=0,解得m=2, 热门考点突破 故当m=2时，原函数为y=一3x一1，是一次函数， 1.A2.A (2)可分以下四种情况讨论： 3.(1)x1=-1,x2=-9.(2)x1=5,x2=-1. ①当m一4=0时，解得m=4; (3)函=号=-1.(4函=2，=号 ②当m-m=1时，解得m=1+5, 2 2； 4.C5.C6.1 ③当/m-m=2, 7.(1)把1=一1代入方程(x一1)(x一2)=m2,得m2=6. 1m-4+2≠0， 时，解得m=-1; 一探究在线·九 ④当m2-m=0时，解得m1=0,m2=1. :C2,1D,a×2=1,解得a=子 综上所述，当m的值为4或5或或-1或0或 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点 1时，它是y关于x的二次函数 时，a的取值范围是4≤a≤2。 15.(1)由题意，得 y=160+x-60)(50-)=100+x)(50-若 (2)a<0或0<a<或a>2 = 10x2+40x+500. 1 拓展在线 15.4√2n ∴y关于x的函数解析式为y= 10x2+40x+5000. 26.2.2二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十的图象和性质 1 (2)由(1)可得)y=-10x+40x+5000. 基础在线 1.C2.D3.(0,-3)减小 令y=8000,即-10x+40x+5000=8000, 4.>5.y=x2+2(答案不唯一) 6.A7.下6上(0，-6)y轴（或x=0)低 解得x1=100,x2=300. 8.2 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价 的2倍，且平时定价为160元， 9.1)列表描点、连线画图得y=合，y=合2十3，y .定价不能高于160×2=320（元） 当x=100时，定价为160+100=260（元）， 2x2-3的图象如图所示. ,260<320,∴.符合规定」 当x=300时，定价为160+300=460（元）， 460>320,.不符合规定，舍去. 答：每间房定价为260元时，宾馆每天可获利8000元. 拓展在线 4-352- 16.(1)运动开始后第4秒，△BPQ的面积等于10cm. (2)S=6×12-(6-0(6+0=合r+54, (2)①上y轴（或x=0)(0,0)②上y轴（或x=0) 其中0<t<6. (0,3)③上y轴（或x=0)(0,-3) 26.2 二次函数的图象和性质 (3)上3下3 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 能力在线 基础在线 10.C11.C12.D13.4-3 1.C2.C3.B 4.列表、描点、连线画出函数的图象如图。 14.D由题意，得84=5，解得a=3。 (从左至右，从上到下)820282 .02 2 a>0, (2)分两种情况：①{ a-2>0,无解； ②e020.每得-2a<0 故a的取值范围是一2<a<0. 15.(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4) (2),四边形ABCD为平行四边形， 7654 012345678x ∴.CD=AB=4,CD∥AB,.D(-4,4). 设平移后的抛物线解析式为y=一x2十4十m,将 (1)抛物线上y轴(0,0)减小增大0小0 D(一4,4)代入，得 (2)小 4=-(-4)2+4十m,解得m=16. 5.B6.C7.D .平移后的抛物线解析式为y=一x2十20. 能力在线 拓展在线 8.B9.C10.C11.012.2或3或4 16.(1):点A(1,b)在函数y=2x的图象上， 13.(1)-3y轴(2)(-1，-1) ∴.b=2×1=2..A(1,2). (3)如图所示 -16<y≤0 ,点A(1,2)在抛物线y=ax2+3上， ∴.2=a+3,解得a=-1. (2)点B(m,4)在函数y=2x的图象上， .4=2m.解得m=2..B(2,4). :抛物线y=一x2十3的顶点是C,∴.C(0,3). -6-5-4-3-2XTδN 23456x ∴Sac=Sa0x-Sa0c=号X3X2-2X3X1=2 2 3 a(go -4 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 l4.(1)由a越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点A时， 基础在线 a的值最大；抛物线经过点C时，a的值最小. 1.B2.D3.y=(x-2)2(答案不唯一) A(1,2),.aX12=2,解得a=2. 4.y9<y1<25.-32 年级数学（上）一 19