29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论&第2课时 圆内接四边形-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

在Rt△OFG中，OG+FG=OF2, ∴.OF=√OB2-BF=√/52-32=4. 即(x十2)2十x2=20,解得x=2(负值已舍去). .BD∥OC, 故正方形ECGF的边长为2. ∴.∠OFD=∠DMO=∠FOC=90°. 拓展在线 ∴.四边形OFDM是矩形..OM=DF=3,DM=OF=4. 16.A '.CM=OC-OM=5-3=2. 29.1.2过三点的圆 ∴.CD=WD+CM=√4+22=2√5」 第1课时过三点的圆 拓展在线 基础在线 15.6 1.C2.33.A4.C 29.2.2圆心角 能力在线 基础在线 5.A6.D7.4或-2 1.C2.60°3.C4.D5.C 8.(1)圆心M如图所示. (3,2) 6..AB=CD,..ADB=CBD, (2)2√5 (3)外 ..ADB-BD=CBD-BD,AD=BC, .'.AD=BC. 拓展在线 7.,△AOC是等边三角形，∠AOC=60° 9.W5 .∠BOC=180°-∠A0C=120°. 第2课时反证法 基础在线 :D是BC的中点，∴BD=CD. 1.D2.C3合（答案不唯-） :∠BOD=∠C0D=∠B0C=60 4.∠1+∠2≠180°=≠∠3+∠2≠180°≠ ∠AOC=∠COD..AC=CD. 能力在线 8.C 5.D6.D 能力在线 7.连接DE.假设BD和CE互相平分，则 9.B10.B11.A12.C13.< 四边形EBCD是平行四边形. 14.(1)证明：：AD=BC,.AD=BC, ∴.BE∥CD. ∴AD+BD=BC+BD,即AB=CD, 在△ABC中，点D,E分别在AC, ..AB=CD. AB上， (2)连接OB,如图所示. ∴AB与AC不可能平行，与已知矛盾. :AB=CD=8,OE⊥AB, 故假设不成立，∴BD和CE不可能互相平分. ∴EB=4. 拓展在线 由勾股定理，得OE=√OB2一EB= 8.90 √52-4区=3. 29.2圆的有关性质 同理可得OH=√2I. 29.2.1垂直于弦的直径 基础在线 .OE+OH=3+√21. 1.B2.A3.5 15.(1)证明：AB=AC,.AB=AC 4.(1)证明：OE⊥AB,.CF=DF 半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， OA=OB,OE⊥AB,.AF=BF ..AE=BE,AF=CF. ..AF-CF=BF-DF...AC=BD. .AE=BE=AF=CF∠AOE=∠AOF. (2)如图，连接OC,设⊙O的半径是 (2)证明：：AM∥OF,AN∥OE, r,则OF=r-1. .四边形AMON为平行四边形 :OE⊥AB,CF=DF=2CD=4. ,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， CO=CF+OF, ∴AG=2AB,AH=2AC r=华+（一1，解得，号⊙0的半径是号 17 .AB=AC,.'.AG=AH. S四边形MON=OM·AG=ON·AH,.OM=ON. 5 5.40°6.C7.D8.139.号m10.D .四边形AMON为菱形. 能力在线 (3):AB=16,AG=2AB=8. 11.A12.B13.2√5 在Rt△AOG中，由勾股定理，得OG=√OA-AG=6, 14.(1)AB是⊙0的直径，AB=10, 由(2)知，四边形AMON为菱形， 0A=0B=0C=合AB=号×10=5. .设OM=AM=x,则MG=OM-OG=x-6. CD=4,点E为CD的中点， 在Rt△AGM中，由勾股定理，得x2=82+(x一6)2，解得 CE-CD-2,OE1CD. 0M 3 拓展在线 ∴.OE=√OC-CE=√52-22=√21. 16.c (2)如图所示，过点D作DM⊥OC, 29.2.3圆周角 BD=6,点F是BD的中点， 第1课时圆周角定理及其推论 DF-BF-BD-3.OFLBD. 基础在线 1.C2.∠ACB,∠ADB,∠AEB∠ADB,∠AEB 26 一探究在线·力 3.B4.B5.C6.70°7.B8.2 ..OB-BD-DC=OC. 9.(1)△ABC是等腰直角三角形， .四边形OBDC是菱形. 证明：：AC为⊙O的直径， (2)如图，连接OA. ∴·∠ADC=∠ABC=90°， .OB=OA,∠ABO=15°， :∠ADB=∠CDB,,AB=BC .∠AOB=180°-2×15°=150° AB=BC..△ABC是等腰直角三角形. 由(1)知，∠B0C=120°， .∠A0C=360°-150°-120°=90°. (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .在Rt△AOC中，AC=√OA2+OC=2√2. ∴.AC=√AB+BC2=2. 4.85.5 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, 6.(1)50 ∴.CD=√AC-AD2=√3. (2)这艘轮船能顺利通过. 10.60°或120 如图，设拱桥所在圆的圆心为 能力在线 点E,连接DE,则点F在DE 11.B12.C13.13°14.50°<∠APB<1409 上.作MN⊥DE,交DE于点 15.(1)证明：，∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°， C,连接EM ∴.∠DAB+∠AOC=180°. ∴.OC∥AD. 令MN=60,则MC=MN= ×60=30(m) (2)连接BD,交OC于点E. 由(1)，得EM=DE=50m. 由题意知，AB是⊙O的直径 .∴.EF=DE-DF=50-20=30(m). ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BD. 在Rt△CEM中，CE=√EM-MC=40(m). OC∥AD,.OC⊥BD. ..CF=CE-EF=10(m) .点E为BD的中点， 10m>9m,.这艘轮船能顺利通过. 又，O是AB的中点， 7.25 ∴.OE是△ABD的中位线.∴OE= 2AD=1, 8.(1)证明：如图，连接AD 设半圆的半径为r,则CE=r一1. AB为⊙O的直径， 由勾股定理知，OB2-OE=BE=BC-CE, ∴.∠ADB=90°，∴.AD⊥BC 即-1=(2√3)2-(r-1)2, 又AB=AC, 解得n=3,r2=-2(舍去). ∴.BD=DC,∠BAD=∠CAD. .AB=2r=6. .BD=DE..'.BD=DE. 拓展在线 ∴.BD=DE=DC. 16.B (2)如图，连接BE 第2课时 圆内接四边形 AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90° 基础在线 DE=√5，AB=5, 1.D2.65°3.20 ∴.DC=BD=√5，AC=5.∴BC=2W5. 4.(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 设AE=x,则CE=5-x, .AB2-AE2=BC2-CE2, .25-x2=(2√5)2-(5-x)2, 解得x=3,即AE的长为3. 9.B10.15° 11.如图，连接BE, 图 图② 5.30°或150 .AC=BC,OA=OB, 能力在线 .OC⊥AB. 6.80°7.3 ∴.∠AOE=90° 8.(1)证明：由题意知，∠BAE+∠BCD=180°. ÷∠ABE=?∠A0E=45, ,∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BAE=∠DCE. ,四边形ABED是⊙O的内接四边形， .DC=DE,∴.∠DCE=∠E..∠BAE=∠E. .∠ADE=180°-∠ABE=180°-45°=135°， (2)2√2 29.3弧长和扇形面积 拓展在线 第1课时孤长和扇形面积 9.2 基础在线 微专题12与圆的基本性质有关的辅助线作法 1.C2.D 1.B2.A 3.(1)证明：由作图方法可得OM=ON,MC=NC, 3.(1)证明：如图，连接OD. 又.OC=OC,∴.△MOC≌△NOC(SSS). .∠BAC=60°， .∠MOC=∠NOC,即∠AOC=∠BOC. ∴.∠BOC=2∠BAC=120°. :AD平分∠BAC, (2):∠A0B=60,∴∠A0C-∠B0C=7∠A0B=30 ∴.∠BAD=∠CAD 又.OM=2, BD=CD,∠BOD=∠COD=60°. ÷0E的长为302=子 .OB=OD=OC, ∴.△BOD和△COD都是等边三角形， 4.2405.125x6. 年级数学（上）29.2.3 圆周角 ©第1课时 圆周角定理及其推论 :知识要，点分类练 ①基础在线>知识要点分 6.(赤峰期末)如图，AB为⊙O的直径，点C在 ⊙O上，且CO⊥AB于点O,弦CD与AB相 知识点1圆周角的概念 交于点E,连接AD,若∠A=25°，则∠AEC的 1.下列四个图中，∠α是圆周角的是 度数为 0 0 B C D 2.如图，弦AB所对的圆周角有 C ,劣弧AB所对的圆周角有 第6题图 第8题图 知识点3圆周角定理的推论 7.(教材P132习题T4变式)（武汉月考）工人师 傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆 形，下列四种圆弧形工件，能判断其为半圆形 的是 第2题图 第3题图 知识点2圆周角定理 3.(中考·四川)如图，点A,B,C在⊙O上，若 8.(中考·常州)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O ∠0=64°，则∠A= () 的弦.若∠DCB=45°，AD=1,则AB= A.16° B.32° C.48° D.64 9.如图，AC为⊙O的直径，点B,D在⊙O上， 4.(重庆期末)如图，点A,B,C,D在⊙O上，弦 ∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； AB∥CD,∠BCD=42°，则∠AOC的度数是 (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长， ( D A.90° B.84° C.48° D.42 D 第4题图 第5题图 5.(中考·新疆)如图，CD是⊙O的直径，AB是 弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC=() A.30° B.45 C.60° D.75° 97探究在线九年级数学（上） 易错点忽视一条弦对应两个圆周角而致错 15.(中考·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都 10.已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB 在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC, 的长为7√3，则弦AB所对的圆周角的度数为 ∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证：OC∥AD; 能力在线》方法规律综合练… (2)若AD=2,BC=2√5，求AB的长， ●。 D 11.(中考·山西)如图，AB为⊙O的直径，点C, D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD, CD.若AC=BC,则∠D的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75 D M C 第11题图 第12题图 12.(中考·湖北)如图，△ABC内接于⊙O, ∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心，大 于2AB的长为半径作弧，两弧交于M,N两 点，作直线MN交AC于点D,连接BD并延 长交⊙O于点E,连接OA,OE,则∠AOE的 度数是 () A.30° B.50 C.60° D.75 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A= 32°，点B,C在⊙O上，边AB,AC分别交⊙O 于D,E两点，B是CD的中点，则∠ABE= 3拓展在线 、培优拔尖提升练 D 16.（中考·广州)如图，⊙O 的直径AB=4,C为AB中 °0 点，点D在BC上，BD= 第13题图 第14题图 38C,P是AB上的一个 14.(中考·南京)如图，扇形OAB的圆心角为 动点，则△PCD周长的最小值是 260°，若点P在该扇形内，则∠APB的度数 A.2+√7 B.2+2√3 的范围是 C.3+√7 D.4+4√3 第二十九章98 ©第2课时 圆内接四边形 基础在线沙知识要点分美绣 ②能力在线 、方法规律综合练 知识点圆内接四边形的性质 6.(中考·陕西)如图，点A,B,C,D在⊙O上， 1.(南宁期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O, 若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为 若∠D=50°，则∠B的度数是 ( A.115 B.120° C.125° D.130° E 第6题图 第7题图 7.(甘南期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O, 第1题图 第2题图 AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作 2.(中考·东营改编)如图，四边形ABCD内接于 DE⊥BC于点E,若∠BAD=120°，CE=√3， ⊙O,若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是 则BE= 3.(南开期中)如图，四边形 8.(甘南期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O, ABCD内接于⊙O,AB为 分别延长BC,AD,使它们相交于点E,AB= ⊙O的直径，连接AC,若 8,且DC=DE. ∠ADC=110°，则∠BAC的 (1)求证：∠BAE=∠E; 度数为 (2)若∠B=90°，点C为BE的中点，则CD的长 4.（中考·吉林)图①、图②均是6×6的正方形 为 网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 内接于⊙O,且点A,B,C,O均在格点上.只用 无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. 0 (1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重 合)，画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB; (2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使 ∠AEC+∠ABC=180°， 3 拓展在线》路代拔尖提升… 9.(金华月考)如图，CD是 ⊙O的弦，把CD沿弦CD ●0 对折，A是对折后CD上的 图① 图② 易错点忽视一条弦对应两个圆周角而致错 一点，B是对折前优弧CD 5.(襄阳期中)半径为1的⊙O中，弦AB=1,弦 上的一点.若∠A=100°，则∠BCA+∠BDA的 AB所对的圆周角的度数为 度数为 99探究在线九年级数学（上）