25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

(2)x3=6.x2+16x, 15.设原方程y2-5y十2=0的两根为y1和y2, .x3-6x2-16x=0.∴.x(x2-6x-16)=0. 则y1十y2=5,y1y2=2. x(x-8)(x十2)=0..x1=0,x2=8,x3=-2 .新方程的两根x1=y1十2，x2=y2十2. (3)由题意，两边同时平方，得 .x1十x2=(y1+y2)+4=5+4=9. 2x3-6x+3=x2-2x+1. x1x2=(y1+2)(2+2)=y1y2+2(y1+2)+4= .2x3x2-4x+2=0. 2+2×5+4=16, .x2(2x-1)-2(2x-1)=0. 因此当二次项系数为1时，新方程为x2一9x十16=0. .(x2-2)(2x-1)=0. (答案不唯一) 1 x1=√2，x2=-2,x=2 拓展在线 16.(1)a,b满足a2-5a十1=0，b2-5b+1=0, √2x-6x+3=x-1≥0， ∴=厄，=号均不符合题意。 ①当a=时，名+号=1+1=2. ②当a≠b时，a,b可看作是方程x2一5x十1=0的两个不 ∴方程√2x-6x十3=x-1的解为x=√2. 相等的实数根， 微专题1 一元二次方程的解法 .a+b=5,ab=1. 1.（1)x1=3,x2=-3. 六合+号--a+02_-2X1-28 ab ab 1 .1 7 (2)x=24=-2 +号=23或2. a 2.(1)x1=2十√3，x2=2-V3 (2)x1=3+5,x2=3-√5. (2)将方程号-9=合m两边同乘2，得￠-2q=m, 2,=5-17 3.(1)m1=5+17 2 :实数p,9满足p2-2p=m,2q-9=2m,且≠q, (2)x1=-3-17 4 =3+17 ∴p,9是一元二次方程x2-2x一m=0的两个不相等的 4 实数根， 4.(1)x1=0,x2=-2.(2)x=-4,x2=-5. .p十q=2,q=-m,q=2q十m. 5.将原方程变形为(x2-2x)2-5(x2-2x)十6=0， .(g+1)(2p+1+m)=(2q+m+1)(2+1+m)= 设x2-2x=y,则(x2-2x)2=y2,原方程化为y2-5y十6 4pq+2g(1+m)+2p(1+m)+(1+m)2 =0, =4pg+2(1+m)(p+q)+(1+m)2=-4m+4(1+m)+ 解得y1=2,y2=3,当y1=2时，x2一2x=2,解得x=1士 (1十m)2=(m+1)2+4. √3；当y=3时，x2-2x=3,解得x=-1或3. 又：p,9是方程x2一2x一m=0的两个不相等的实数根， .方程的根的判别式△=4+4m>0,解得m>一1. .原方程的解为x1=1十3，x2=1一√3，x3=一1，x4=3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 .(m+1)2+4>4..(g+1)(2p+1+m)>4. 基础在线 微专题2根的判别式及根与系数的关系的应用 1.C2.B3.34.A 1.C2.A3.四 5.(1):0是一元二次方程x2-5x一11=0的两个实数根， 4.:一次函数y=x十b的图象经过第一、第二、第四象限， ∴.x1十x2=5,x1x2=-11. .k<0,b>0.∴k<0..-bk>0. ∴.(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2十1=x1x2-（x1十x2) 方程bx2-2x十k=0中，△=(-2)2-4bk=4-4bk>0, +1=-11-5+1=-15. 方程有两个不相等的实数根。 (2)x1+x2=5,x1x2=-11, :丝+4=+爱=（十)2-2盟=53-2×(-11) 5A6D7.B8. 9.D T1T2 -11 10.(1):一元二次方程x2-(2m十1)x十m2+2=0有两个 =铝 不相等的实数根， ∴.△=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4×1×(m2+2)>0. 6.D7.-8 8.(1)关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x十2十1=0 m十m+1-4m-8>0,解得m>子 有两个实数根， .△=(2k-1)2-4×1×(k2+1)=4k2-4k+1-4k2-4= 故m的取位范围是m>?。 -4k-3≥0. (2)设x1,x2是方程x2-(2m十1)x十m2+2=0的两个 解得长一头 实数根， 则x1十x2=2m十1，x1x2=m2+2. (2)设一元二次方程x2+(2k-1)x十2十1=0的两个根 x号十x=13,.(x1十x2)2-2x1x2=13. 分别是x1,x2, .(2m+1)2-2(m2+2)=13. 则x1十x2=1-2k,x1x2=2十1. .m2+2m-8=0. 方程的两根之和等于两根之积， 解得m1=2,2=-4. ∴.k2+1=1一2k.∴.k2+2k=0. 解得1=0，k2=-2, m心子m=一4舍去 由1)蜘长-孕 故m=2. 阶段测评1(25.1~25.2) ∴.k=-2. 1.C2.C3.A4.D5.A6.B 能力在线 5 9.C10.C11.D12.D13.214.175 7.五1=-1，x2=2 8.1(答案不唯一)9.310.5 18 一探究在线·九 11.有两个不相等的实数根 .当AP长3cm时，AP=√3PC. 12.(3x+10)(2.x+10)=2600 能力在线 13.(1)移项，得(4x一1)2=9， 8.A9.D10.5 开平方，得4x-1=3,或4x-1=-3, 11.由题意可知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 即x1=1,x2=一2 ∴.铺草坪的总面积是△AEH面积的4倍，AE=DH, 设△AEH的直角边AH为xm, (2)将原方程整理，得 则AE=DH=(16一x)m, 2x2+8x-1=0. 因为a=2,b=8,c=-1,所以 根据题意，得16-4X分·(16-)=160， b2-4ac=82-4X2×(-1)=72>0, 解得x=4或x=12, 方程有两个不相等的实数根， 当x=4时，16一x=16-4=12； x= -b±√6-4ac=-8±√72=-4±3W2 当x=12时，16-x=16-12=4. 2a 2X2 2 答：当直角三角形草坪的直角边长分别为4m和 即x1= -4+3 ,x=-4-3V2 12m时，才能修建成符合要求的池塘. 2 拓展在线 (3)左边分解因式，得 12.(1)28 4x(2x-1)=3(1-2x). (2)在运动过程中△DPQ的面积不能为26cm.理由如下： 将方程转化为4x(2x-1)十3(2x一1)=0. 根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, 整体分解因式，得(2x-1)(4x十3)=0. ..BP=AB-AP=(4-t)cm,CQ=BC-BQ=(12-2t)cm. 于是2x-1=0,或4x+3=0. 当SADPQ=SE形ABCD-SARCQ-SADAP一SAPBO=26时， 即五=名西=一名 6×12- ×6×(12-20-2×12-合6-0×2= 2 14.:△=[-(k+3)]2-4(2k+1)=2-2k+5=(k-1)2+ 26, 4>0, 整理，得2-6t十10=0， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根。 △=62-4ac=36-40=-4<0, x1十x2=k+3,x2=2k+1, .方程无实数根.'.△DPQ的面积不可能为26cm2, 又x十x=(x1十x2)2-2x1x2=20, .(k+3)2-2(2k+1)=20. (3)6或号 解得k=-1士√14. 第2课时传播问题和平均变化率问题 15.(1)设所求方程的根是y,则y=-x, 基础在线 所以x=一y, 1.A2.14 把x=-y代入x2十x-2=0,得 3.设小华邀请了x名同学转发，依题意，得 y2-y-2=0.故所求方程为y2-y-2=0. 1+x+x2=111, 1 整理，得x2十x-110=0, (2)一2025 解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去） (3)'关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两 答：小华邀请了10名同学转发. 个实数根分别为3，一2， 4.B5.D -b=3+(-2)=1,=3×(-2)=-6. 6.(1)设该芯片公司生产量的季度平均增长率为x, 根据题意，得64(1十x)2=100, ∴.b=-a,c=-6a. .方程ay2-(2a-b)y+a-b+c=0可化为ay2-3ay 解得五=子=25%=一（不符合题意，舍去）。 4a=0. 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%， 整理，得y2一3y一4=0， (2)该目标不能实现.理由如下： 左边分解因式，得(y-4)(y+1)=0, 按照(1)中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量 解得y1=4,y2=-1. 为100×(1+25%)=125（万个）， 25.3实际问题与一元二次方程 125<130,.该目标不能实现. 第1课时几何图形问题 能力在线 基础在线 7.C8.B9.1210.60% 1.A2.D3.3cm 11.(1)设这种宣讲活动，一个人会给x人宣讲， 4.由题意，得100a十80a-a2=(7a)2 依题意，得1+x十(1+x)x=81,即(1十x)2=81. 化简，得5a2-18a=0. 解得x1=8,x2=一10（舍去）， a>0,.a=3.6. 故这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲。 答：步道的宽为3.6m (2)81×8+81=729(人). 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共 5.A6.√5-1 有729人. 7.PA=t cm,PB=(4-t)cm, 拓展在线 在Rt△PBC中，∠B=90°，BC=√2， 12.(1)设该款帐篷价格每次下降的百分率为x,依题意，得 由勾股定理，得PC=BC+PB=2+(4一t)2=2一8t+18. 300(1-x)2=243, PA=√3PC,即PA2=3PC2, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). ∴.=3(t-8t+18). 答：该款帐篷价格每次下降的百分率为10% 解得t=3,t2=9. (2)设每套涨价10y元，则月销售量减少20y套， t4,.t=3. 此时，每套盈利(40+10y)元，月销售量为(200一20y)套. 年级数学（上）一©25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础在线》知识要点分类练 知识点3利用根与系数的关系求方程的根 和待定字母的取值（范围） 知识点1利用根与系数的关系求两根之和 6.(安徽期中)已知关于x的一元二次方程x2十2x 与两根之积 +m=0有一个根为一3，则另一个根为() 1.(中考·广西)已知x1,x2是方程x2-20x一25 A.-2 B.-1 C.0 D.1 =0的两个实数根，则x1十x2= () 7.(九江月考)已知关于x的一元二次方程x2十 A.-25 B.-20 (2m一1)x+72=0的两实数根为x1,x2,且x C.20 D.25 十x2=17,则m= 2.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x-12=0 的两根，则x1·x2的值为 () 8.已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x十 A.12 B.-12 C.4 D.-4 2+1=0有两个实数根， 知识点2 利用根与系数的关系求相关代数 (1)求k的取值范围； 式的值 (2)若方程的两根之和等于两根之积，求的值 3.若一元二次方程x2一4x十1=0的两根分别为 x1,x2,则x1十x2一x1x2的值为， 4,若方程x2+2x一3=0的两根为x1,x2,则1十 1的值为 () A.号 R一号 c. D-名 5.若x1,x2是方程x2一5x一11=0的两个实数 根，求下列代数式的值： (1)(x1-1)(x2-1); (2)2+x1 元1 能力在线》方法规律综合练… 9,(中考·东营)若x1,x2是关于x的一元二次 方程x2一25x一1=0的两个实数根，则代数式 x7-24x1十x2的值为 () A.0 B.25 C.26 D.-1 第二十五章12 10.(上海月考)已知方程x2一3x十=0的一个 ③拓展在线沙 培代报尖提升纸。 根是另一个根的2倍，则k的值是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 16.(福州月考)在数学研究课上，小明发现了一 11.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲 个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不 把一次项系数看错了，解得方程两根为一3 沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利 用根与系数的关系就能轻松解决.他随即抛 和5；乙把常数项看错了，解得方程两根为 出了两个问题，邀请同学们一起探究. 2十√6和2一√6，则原方程是 () (1)若实数a,b满足a2-5a+1=0,b-5b十 A.x2+4x-15=0B.x2-4x+15=0 C.x2+4x+15=0D.x2-4x-15=0 1=0,求名+号的值： a 12.关于x的方程x2-(m-2)x-0.25m2=0有 1 (2)若实数p,9满足p2-2p=m,29-9= 两个实数根x1,x2,若|x1|=|x2|十3，则m 的值为 () 2m,且≠g,求(g+1)(2p十1十m)的取值 A.5 B.-2 范围. C.5或-3 D.5或-1 13.（南开月考)设x1,x2是方程x2一mx十m一1 =0的两个实数根.若x1十x2=3,则x1x2= 14.(内江月考)若a,b是方程x2十(m-5)x十7 =0的两个实数根，则(a2+ma+7)(b+ mb+7)= 15.(开放题)构造一个以x为未知数的方程，使 新方程的两根比方程y2一5y十2=0的两根 都大2. 13探究在线九年级数学（上）