25.1 一元二次方程的概念-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

第二十五章 ©25.1一元 ①基础在线 、知识要，点分类练 知识点1一元二次方程的概念和一般形式 1.(泸州期中)下列方程中，是关于x的一元二次 方程的是 A.ax2+6x+c=0 B.x2+3y=2x2-2 C.3(x+1)2=2(x+1) D.2x2+3x=2x2-2 2.将方程2x2=3一5x化为一般形式，正确的是 () A.2x2-5x-3=0 B.2x2-5x十3=0 C.2x2+5.x-3=0 D.2x2+5.x+3=0 3.若关于x的方程2xm-2十3x十5=0是一元二 次方程，则m的值为 4.(教材P3练习T1变式)将下列方程化成一元 二次方程的一般形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项： (1)3x2=5.x-1; (2)(x-3)2=x+3; (3)(2x-1)(x十5)=6x. 1 探究在线九年级数学（上） ·元二次方程 二次方程的概念 知识点2一元二次方程的根 5.（厦门期中)若一元二次方程有一个根是x=0, 则这个方程可以是 () A.(x+1)(x+2)=0B.x2-2x十1=0 C.x2-1=0 D.x2+x=0 6.（中考·绵阳)若关于x的一元二次方程x2一 6x十a=0的一个根为1，则a的值为 7.(教材P4习题T3变式)下列哪些数是一元二 次方程x2一4x=一3的根？为什么？ -2,0,1,2,3. 知识点3根据实际问题列一元二次方程 8.(教材P4习题T4变式)我国南宋数学家杨辉 在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二 步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为 864平方步，长比宽多12步，问宽和长各几 步？设宽为x步，则可列方程为 () A.x(x-12)=864 B.2x+2(x-12)=864 C.x(x+12)=864 D.2x十2(x+12)=864 9.九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两 个班之间都进行一场比赛)，据统计，比赛共进 行了66场，求九年级共有多少个班，若设九年 级共有x个班，根据题意列出的方程是() A.x(x-1)=66 B.x(x-1)=132 C.2x(x-1)=66 D.x(x+1)=132 易错点忽视一元二次方程中二次项系数不 为0 10.(新乡月考)若(m十3)xm-1一x一5=0是关于x 的一元二次方程，则m的值为 () A.3 B.-3 C.±3 D.0 2能力在线》 、方法规律综合练 11.已知一元二次方程ax2+bx十c=0,a,b,c满 足4a十2b+c=0,4a一2b+c=0,则一元二次 方程ax2+bx+c=0的根为 () A.x1=1,x2=2 B.x1=-1,x2=-2 C.x1=1,x2=-1D.x1=2,x2=-2 12.【整体思想】若关于x的一元二次方程ax2十 bx-8=0(a≠0)有一个根为x=2025,则一 元二次方程a(x+3)2+bx+3b=8(a≠0)有 一个根为 () A.x=2022 B.x=2023 C.x=2025 D.x=2028 13.（扬州期中)关于x的一元二次方程(m一1)x 十m2x=x十5化为一般形式后不含一次项， 则m的值为 14.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一 元二次方程的一般形式： (1)一个直角三角形的斜边长为17cm,两直 角边之差为7cm,求较短直角边长； (2)某班有x名同学，毕业时都将自己的照片 向全班其他同学各送一张表示留念，全班共 送出1980张照片. 15.(东莞期中)定义：如果关于x的一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a十b+c=0, 那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程4x2一11x+7=0是否 为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知ax2一3x十c=0是关于x的“黄金方 程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个 “黄金方程”是 ③拓展在线沙路倪拔尖提升鳞 … 16.设a是方程x2-2026x十1=0的一个根，则 a2-2025a+2026 a2+1 () A.2025 B.2026 C.2027 D.无法确定 第二十五章2温警提示：清做完后再看答案！ 5.x+3=-56.D 7.(1)移项，得(x十3)2=121， 由此可得x+十3=士11， 参考答案 x+3=11,或x+3=-11, 即x1=8,x2=-14. (2)化简，得(2x-6)2=6, 第二十五章一元二次方程 由此可得2x一6=士√6， 25.1一元二次方程的概念 2x-6=√6，或2x-6=-√6， 基础在线 1.C2.C3.4 即x1=6+6 =66 4.(1)一般形式为3x2一5x十1=0，它的二次项系数为3，一 2 2 次项系数为-5，常数项为1. 8.D (2)一般形式为x2-7x十6=0，它的二次项系数为1，一次 能力在线 9.D10.C11.312.2 项系数为一7，常数项为6. (3)一般形式为2x2+3x一5=0，它的二次项系数为2，一 13.(1)开平方，得2y-3=士4， 次项系数为3，常数项为一5， 2y-3=4,或2y-3=-4, 7 1 5.D6.5 即y=2%=-2 7.当x=一2时，左边=（一2）2一4×（一2）=12.而右边=一3， (2)整理，得(x十2)2=16， .左边≠右边，.一2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 开平方，得x十2=士4， 当x=0时，左边=02一4×0=0，而右边=一3， x十2=4，或x十2=-4， 左边≠右边，.0不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 即x1=2,x2=一6. 当x=1时，左边=12一4×1=一3=右边 (3)开平方，得2x+3=3x+2,或2x十3=-3x-2, ∴.1是一元二次方程x2一4x=一3的根； 解得x1=1,x2=一1. 当x=2时，左边=22一4×2=一4，而右边=一3， 14.(1).m☆n=mn+n,x☆4=40， ∴左边≠右边，.2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； ∴.4x2十4=40，整理，得x2=9,解得x=士3. 当x=3时，左边=32一4×3=一3=右边 .3是一元二次方程x2一4x=一3的根. (2),(x-5)☆1=17，m☆n=m2n+n, ∴.(x-5)2+1=17,整理，得(x-5)2=16. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x=-3的根. 解得x1=1,x2=9. 8.C9.B10.A 拓展在线 能力在线 15.(1)51-1 -9 11.D12.A13.-1 (2)①(x+3)(x-1)=5. 14.(1)设较短直角边长为xcm,则较长直角边长为(x十7)cm, 原方程可变形为[(x十1)+2][(x+1)-2]=5, 根据题意，得 则(x十1)2-22=5，(x+1)2=9, x2+(x+7)2=17, 方程两边同时开平方，得x十1=土3，解得=2,2= 化为一般形式为x2十7x-120=0. ②(50-x)(40-2x)=702. (2)全班有x名同学，.每名同学要送出(x一1)张照片， 原方程先化简为(x一50)(x一20)=351， 又是互送照片，.总共送的张数应该是x(x一1)张. 再变形为[(x-35)-15][(x一35)+15]=351， .x(x-1)=1980. 则(x-35)2一152=351， 化为一般形式为x2一x一1980=0. (x-35)2=576, 15.(1)在方程4x2一11x+7=0中，a=4,b=一11，c=7, 方程两边同时开平方，得x一35=士24， .a+b+c=4+(-11)+7=0. 解得x1=59,x2=11. 故方程4x2一11x十7=0是“黄金方程” 第2课时配方法 (2)x2-3x十2=0 基础在线 拓展在线 1.193(242(3)元 (④)25 5 16.A 5 25.2降次—解一元二次方程 2.D3.C4.3 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 5.(1)x1=3 基础在线 (2)x1=√7-2，x2=-√7-2. 1.C2.D3.B 4,(1)方程整理，得x=-25 6.3x+6x=-22+2x=-号 (x+1)2=3 41 a=号= +1=±99-1-9-1 7.(1)③等式两边没有同时加4 (2)方程整理，得2x2=8. (2)移项，得2x2一8x=18, 则x2=4 两边同时除以2，得x2一4x=9, .x1=2,x2=-2. 配方，得x2一4x十4=9十4，即(x一2)2=13， (3)方程整理，得24y2=一3. x-2=√13或x-2=-√13， 则y=-名 即x1=2+√/13，x2=2-√13. 对于任意实数y,都有y≥0， 能力在线 方程无实数根 8.C9.A10.2±√311.2±√5 一探究在线 12.(1)x1=-2+√6，x2=-2-√6 x=-b吐=4ac=4生8=2±2. (2)原方程无实数根， Za 2 13.x2-8x+m=0,(x-4)2=16-m. 即x1=2十√2，x2=2-√2. 由题意知，16-m=6,∴.m=10. 拓展在线 将m=10代入x2+8x十m=5,得 14.(1)是 x2+8x十5=0，配方，得(x十4)2=11， (2)当a=5,b=12时，则52+122=c2,解得c=±13. 解得x1=-4+√/11，x2=一4一√11 c>0,.c=13. 拓展在线 .相应的“勾系一元二次方程”为5x2十26x十12=0. 14.(1)x2+8x+20=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20 .262-4×5×12=436>0, 16=(x+4)2+4. x=一26±436 =-13±√109 (2)p=-x2+2x+5=-(x2-2x+1-1)+5= 10 5 -(x-1)2十6， (x-1)2≥0，.-(x-1)2+6≤6. =-18+109,=-13-V10g 5 5 ∴p的最大值为6. (3)证明：，方程x2十2cx十b=0是“勾系一元二次方程”， (3)△ABC是等边三角形.理由如下： ∴.12+b=c2. a2+2b+c2-2b(a+c)=0, ∴.△=(2c)2-4b=4c2-4b=4(b2-b+1). ∴.a2-2ab+b+b2+c2-2bc=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0. 又：6-61-(6-安）》产+是>0 .a-b=0,b-c=0..a=b=c. ∴△=(2c)2-4b>0. ,·△ABC是等边三角形 故关于x的“勾系一元二次方程”x2十2cx十b=0必有实 25.2.2公式法 数根 基础在线 25.2.3因式分解法 1.C2.D3.D 基础在线 4.(1)△=32-4×2×1=1>0， 1.C2.B3.A .方程有两个不相等的实数根 4.(1)左边分解因式，得x(4x十11)=0， (2)化为一般形式为9x2一12x+4=0, 于是x=0,或4x十11=0， △=(-12)2-4×9×4=0， 方程有两个相等的实数根 即=0，a=- 5.A6.C (2)方程化为x(x十3)一2x=0, 7.(1)因为a=1,b=4,c=2,所以 左边分解因式，得x(x十3-2)=0，即x(x十1)=0， △=b2-4ac=16-4X1×2=8>0, 于是x=0,或x十1=0， 方程有两个不相等的实数根. 即=0，x2=-1. x=-b±=4ac=-4±8=-2±2， (3)方程化为2x2-8x十8=0， 2a 2×1 左边分解因式，得2(x一2)2=0， 即x1=√2-2，x2=-√2-2. 即x1=x2=2. (2)因为a=1,b=一2，c=3,所以 5.D △=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0, 6.(1)x1=x2=3 (2)x1=3,x2=5. 方程无实数根， (3)方程化为3x2-2x-2=0, (3)x1=-2+0 2 x2=-2-V0 2 此时a=3,b=一2，c=一2，所以 △=b-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0, 7.C 方程有两个不相等的实数根. 能力在线 x=-b±√B-4ac=2±28 8.c9.c10.D11.-号或号 2a 6 12.(1)方程化为(x十2)2-3(x十2)=0， 即-1+？ 1-√/7 3x2= 左边分解因式，得(x十2)(x十2一3)=0. 3 即(x十2)(x-1)=0. 8.D9.一 x1=1,x2=4 于是x十2=0，或x-1=0, 能力在线 即x1=一2，x2=1. 10.D11,1=7+6,4=7512.-3 (2)左边分解因式，得(3x十2+2x)(3x+2一2x)=0, 6 6 即(5x+2)(x+2)=0. 13.(1)方程化为2x2+2√2x+1=0. 于是5x十2=0，或x十2=0， 此时a=2,b=2√2，c=1,所以 △=b2-4ac=(22)2-4×2×1=0. 即=一号4=一2. 2 方程有两个相等的实数根. 13.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 6)m.由题意，得 π(r十6)2=2πr2, (2)整理，得x2-4x十2=0. 解得n=6+6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 此时a=1,b=一4，c=2,所以 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. △=b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0. 拓展在线 方程有两个不相等的实数根. 14.(1)3-1 九年级数学（上）一 17