3.3 幂函数-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

数学必修第一册 3.3幂函数 口知识梳理 知识点1幂函数的概念 般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数. 知识点2 五个幂函数的性质 幂函数 y=x y=2 y=x3 y=rt y=x-1 图象 定义域 R R [0,+∞) (-∞，0)U(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞，0)U(0,+∞) 在[0，十∞)上单调递增， 在(0，+∞)上单调递减， 单调性 增函数 增函数 在（一o∞，0]上单调递减 在（一∞，0）上单调递减 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 共同点 图象都经过点 知识点3 幂函数的图象特征 中基础过关 观察五个具体幂函数在第一象限内的图 象可知，幂函数y=x“的图象在第一象限内具 一、单项选择题 有如下特征：在平面直角坐标系中，直线y=1, 、 1.现有下列函数：①y=x:②y=(广： y=x将直线x=1的右侧部分分为I、Ⅱ、Ⅲ三 ③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2; 个区域，如图所示， ⑥y=x;⑦y=a(a>1),其中幂函数的个 数为 () 指 大 A.1 B.2 Y=x 图 C.3 D.4 高 2.函数f(x)=(1一x)-+(2.x-1)°的定义 域是 () a∈(1，十o∞)台y=x“的图象经过区域I; A.(-,1] a∈(0,1)台y=x“的图象经过区域Ⅱ； (-,)U(分 a∈（一∞，0)台y=x的图象经过区域Ⅲ. C.(-∞，-1) 在直线x=1的右侧，从x轴向上，幂函数 y=x的指数α逐渐变大，即“指大图高”. D.(分 52 3.3幂函数 3.若(2x一6)-5+6=1，则下列结果正确的是 7.已知幂函数f(x)=(a2-3a十3)x+1为偶函答题栏 ( 数，则实数a的值为 ( )1 A.x=2 B.x=3 A.3 B.2 3 C.x=2或x=3 D.以上都不对 C.1 D.1或2 3 4.如图为某体育赛事举重成绩与运动员体重 8.图中表示一次函数y=mx十n与正比例函数5 之间关系的折线图，下列模型中，最能刻画 y-mnx(m,n是常数，且mn<0)图象的是 6 举重成绩y(单位：千克)和运动员体重x(单 ) 位：千克)之间的关系的是 8 ( 9 举重运动员的体重与举重成绩关系折线图 10 举重成绩/千克 11 43 410 390 370 350 330 310 290 270 250 5060708090100110120 运动员体重/千克 9.下列函数中，在R上单调递增的函数是 A.y=m√x+n(m>0) B.y=mx+n(m>0) A.y=x(x+2) B.y=z3 C.y=mx2+n(m>0) C.y=√元 D.y=xl D.y=ma+n(m>0,a>0且a≠1) 二、多项选择题 5.下列命题正确的是 ( 10.已知函数f(x)=x“的图象经过点 A.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 B.函数y=x1的图象经过第二象限 (后3)则 C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那 A.f(x)的图象经过点(3,9) 么这两个函数一定相同 B.f(x)的图象关于y轴对称 D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 C.f(x)在(0，+∞)上单调递减 (一1,1) D.f(x)在(0，+∞)内的值域为(0，十∞) 6.如图是幂函数y=x的部分图象，已知a分 11.下列关于幂函数y=x的性质说法正确 别取号3、-3、一号这四个值，则与曲线C、 的有 ( A.当α=一1时，函数在其定义域上递减 C2、C3、C4相应的a依次为 B.当α=0时，函数图象是一条直线 C.当α=2时，函数是偶函数 D.当α=3时，函数的图象与x轴交点的横 C, 坐标为0 三、填空题 12.若幂函数y=f(x)的图象过点(9,3)，则 11 A.3、3、-3、-3 f(16)= 13.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)， 那么这个幂函数的解析式为 53 数学必修第一册 14.已知幂函数f(x)的图象过点A(仔，)，则 21.已知幂函数f(x)的图象经过点(3，号)】 f(x)的解析式为f(x)= (1)求函数f(x)的解析式； 15.幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm在区间 (2)设函数g(x)=一2f(x),写出函数g(x) (0,+∞)上单调递减，则实数m的值为 的单调区间和值域. 16.幂函数y=√x的定义域为 17.求函数f(x)=√一x2+4x的减区间 18已知ae{4,-1,是号1.23，若 函数f(x)=x“在(0，十∞)上单调递减，且 为偶函数，则a= 19.若函数f(x)是幂函数，满足f(4)=8f(2), 则1)+f号) 四、解答题 20.比较下列各组数的大小： (1)(-2)-3,(-2.5)-3: (2)-8,-(号)》： 22.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 3()(）() 时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，√3) (1)求f(x)在R上的解析式； (2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出 证明. 54 3.3幂函数 23.已知函数f(x)=√元，g(x)=x-2. 24.已知幂函数g(x)=x“的图象经过点（2， 2),函数fx)=4):+为奇函数 x2+1 (1)求幂函数y=g(x)的解析式及实数a的 3 值； 2 (2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调 1 性，并用的数单调性定义证明. -4-3-2-110 3 -1 (1)求方程f(x)=g(x)的解集； 1a,a≥b (2)定义：max{a,b}= ,已知定义在 b;a<b [0,+o)上的函数h(x)=max{f(x), g(x)},求函数h(x)的解析式： (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中， 画出函数h(x)的简图，并根据图象写出函 数h(x)的单调区间和最小值. 5524.解：(1)因为f(x+y)=f(x)十f(y)(x,y∈R),令x=y=0, 则f(0十0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0: (2)因为f(x十y)=f(x)十f(y)(x,y∈R),令y=一x,则 f(0)=f(x)十f(一x),又f(0)=0,所以f(x)十f(一x)=0, 即f(一x)=一f(x); (3)因为f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)且f(2)=W5,所 以f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),f(8)=f(4)+f(4) 4f(2),f(16)=f(8)+f(8)=8f(2),f(32)=f(16)+f(16》 =16f(2),f(64)=f(32)+f(32)=32f(2),f(36)=f(32) +f(4)=18f(2),所以f(100)=f(64)+f(36)=50f(2), f(200)=f(100)+f(100)=100f(2)=100W5. 25.解：不妨设函数f(x),g(x)为定义于R上的两个奇函数， 则f(一x)=一f(x),g(一x)=一g(x), 令F(x)=f(x)g(x),则F(x)定义域为R,关于原，点对称， 且F(一x)=f(一x)g(一x)=[一f(x)]X[-g(x)]=f(x) g(x)=F(x), 故函数F(x)为偶函数， 即定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数， 3.3幂函数 知识梳理 知识点1 y=za a 知识点2 增函数偶奇(1,1) 基础过关 1.B幂函数满足y=xa形式，故y=x3,y=x满足条件，共2 个，故选：B 2.B因为f(x)=(1-x)-+(2x-1)°=- 十(2x-1)°， J1一x 则有，头0标祥<1且子合因是的定义城光 (-,2)u(21) 故选：B. 3D-1a40.者8g=0.则a=3。 又1a=1(a∈R),.若2x-6=1,则x=2 综上可知x=2或x=子，故选：D. 4.A因为折线图是单调递增且越来越缓，而幂函数y=x在0 <a<1时也是单调递增且越来越缓，因此最能刻画举重成绩 和运动员体重之间关系的是y=m√十n(m>0),故选：A. 5.D对于A,幂函数y=z”的图象都经过点(1,1)，当n≤0时， 不过(0,0)点，故A项错误；对于B,y=x1的图象过第一、三 象限，故B项错误；对于C,y=x与y=x3的图象有三个交点 (一1，一1)，(0,0)，(1,1)，这两个函数不相同，故C项错误；对 于D,因为幂函数的图象都经过点(1,1)，所以暴函数为偶函 数时，图象一定经过，点（一1,1），故D项正确.故选：D. 6,A当a<0时，暴函数y=x在第一象限内单调递减，当a> 0时，幂函数y=x“在第一象限内单调递增，所以C1、C2>0, C3、C4<0,当x>1时，幂函数y=x在第一象限内单调递增， 所以x3<x寸<x寸<3，所以相应曲线C1、C2、C3、C4的a 依次为3，分-号，-3，故选：A 7.C暴函数f(x)=(a2-3a十3)xa+1为偶函数，a2-3a+ 3=1,且a十1为偶数，则实数a=1,故选：C. 8.C因为mn<0,所以m<0,n>0或m>0,n<0,当m<0,n> 0时，一次函数y=mx十n的图象经过一、二、四象限，正比例 函数y=mnx经过二、四象限，选项C满足；当m>0,n<0时， 一次函数y=m.x十n的图象经过一、三、四象限，正比例函数 y=mx经过二、四象限，没有选项满足；故选：C. 9.B对于A,y=x(x十2)=x2十2x=(x十1)2一1是二次函数， 在（一，一1）上单调递减，在（一1，十○）上单调递增，不符合 题意；对于B,y=x3是暴函数，在R上单调递增，符合题意； 对于C,y=√x是暴函数，在[0，十∞)上单调递增，不符合题 1,<0在区间(-∞，0)上为减函 意；对于D,y=|x=x,x≥0 数，不符合题意.故选：B. 参考答案 10.CD将点（号，3）的坐标代入f(x)=2,可得a=-1,则 f()=,)的图象不经过，点(3,9)，A错误f(x)在(0， +十○)上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可 得B错误，D正确.故选：CD. 11.CD当a=-1时y=是，函数在(-0,0)和(0，十∞)上递 减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；当Q=0时，y= x°，x≠0，其图象是去掉点(0,1)的直线y=1,故B选项错 误；当a=2时，y=x2,函数的定义域为R,是偶函数，所以C 选项正确：当a=3时，y=x3,其图象与x轴只有1个交点， 且交点的横坐标为0，所以D选项正确.故选：CD. 12.答案：4 1 解析：设f(x)=x,则f(9)=9=3,可得a=2: .f(x)=√x,因此，f(16)=√16=4. 故答案为：4. 13.答案：y=x 解析：设暴函数y=f(x)=xa, 暴函数y=f(x)的图象经过点(4,2)， 】 .4a=2,.a=2 这个幂函数的解析式为y=x。 故答案为：y=x宁. 14.答案：x 解析：由题意知， 设暴函数的解析式为f(x)=xa(a为常数)， 则2=（什）”解得a=合 所以f(x)=x. 故答案为：x, 15.答案：一3 解析：因函数f(x)=(m2+2m-2)xm是暴函数， 则m2+2m一2=1，解得m=1或m=-3, 又函数f(x)在(0，十o)上单调递减，则m<0, 所以实数m的值为一3， 故答案为：一3. 16.答案：{xx≥0} 解析：由根式的性质知：x≥0， 所以函数定义域为{x|x≥0}. 故答案为：{xx≥0}. 17.答案：[2,4] 解析：函数f(x)=√/一x2十4x的定义域为{x一x2十4x≥0}= L0,4, t=一x2十4x在[0,2)上为增函数，在[2,4]上为减函数， y=Nt在[0，十o)上为增函数， .函数f(x)=√一x2十4x的单减区间是[2,4]， 故答案为：[2,4] 18.答案：一4 解析：由题知：a<0, 所以a的值可能为-4，-1，-子 当a=一4时，f(x)=x4=x(x≠0)为偶函数，符合题意. 当a=-1时，f(x)=x1=工(x≠0)为奇函数，不符合 2 题意. 当a时，f)=t=定义城为0，十0力 则f(x)为非奇非偶函数，不符合题意。 综上，a=一4. 故答案为：一4. 19,答案器 解析：函数f(x)是幂函数，设f(x)=x, 又f(4)=8f(2),所以4=8×20，即22a=23+a, 所以2a=3十a,得a=3 所以fx)=2,则f1)+f(3)=13+(3)）-器 故答案为：27 28 数学必修第一册 20.解：(1)因为幂函数y=x一3在（一©，0）上单调递减 且-2>-2.5，所以(-2)-3<(-2.5)-3 (2)因为暴函数y=x在[0，十○)上为增函数， 且-8=（合）>所以（日）》>() 所以-（日）广<-（日），所以-8<-（日）广 8(3)广=（日）》广，()广=()六<日<合，因 111 为家西教y=中在(0，十∞)上单涧递增，所以（日）广< ()<() 21.解：1)设fx)=x,则39=号，则a=-1, 函数f(x)的解析式为f(x)=x1=1(x≠0). (2)周为g()=-2f(x)=-2（x≠0)， .函数g(x)的单调递增区间为（一©0,0），(0，十∞)，无单调 递减区间，值域为{yy≠0}. 22.解：(1)由题意x>0时，设f(x)=x, 则3a=3,a=2,所以f(x)=x立=， f(x)为奇函数，所以f(0)=0, x<0时，f(x)=-f(-x)=-√一x, 所以f(x)=《 √x,x≥0 -√Fc,x<0 (2)x<0时，f(x)=一√-x, 设x1,x2的任意的两个负实数，且x1<2, 则f(x1)-f(x2)=-√一1+√一x2=√一x2-√一 = (-x2)-(一x1） x1一x2 0， W-x2+W-x1-x2+√-x1 所以f(x1)<f(x2),所以x<0时，f(x)是增函数。 23.解：(1)由√元=x-2引，得x2-5x+4=0且x≥0， 解得x1=1,x2=4; 所以方程f(x)=g(x)的解集为1,4}. (2)由已知得 h(x)=E,a≥|x-21 12-x,0x<1 x-21w1x-21≤1 1x-2,x4 (3)函数h(x)的图象如图实线所示： 76P 4-5 -3 +-2 -1 -10 123 函数(x)的单调递减区间是[0,1]，单调递增区间是(1， 十o),其最小值为1. 24,解：(1)由条件可知2”=瓦，所以a=号，即g(x)=x寺=反， g(4)=2. 因为f(x)=27士是奇函数，所以f代0)=4=0， x2+1 即f(x)= 2x x2+11 满足f(一x)=一f(x)是奇函数，所以a=2成立； (2)由(1)可知f(x)=2x x2+1 在区间（一1,1）上任意取值x1,x2,且x1<x2, fx)-f(2)=2-22 x+1x号+1 =2（x2-1)(1x2-1) (x1+1)(x号+1) 因为一1<x1<x2<1, 所以x2-1>0,1x2-1<0,(z+1)(x号+1)>0 所以f(x1)一f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数在区间（一1,1）上单调递增. 3.4 函数的应用（一） 知识梳理 知识点1 1.k≠0 2.(1)y=a.x2+bx+c(a≠0) 3.y=a.x8+b 基础过关 1.D二、三月份利润的月增长率为x,则二月份获得利润为 10·(1十x)万元，三月份获得利润为10·(1十x)2万元，依题 意得：10+10·(1+x)+10·(1+x)2=42.故选：D. 2.CA.应付车费与公里数有关，故错误；B.乘客甲打车行驶4 公里，方案一：应付车费为8十(4-2)×3=14：方案二应付车 费为12十(4一3)×2.5=14.5，他应该选择方案一，故错误； C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为8+(12一2) ×3=38;方案二应付车费为12+(10-3)×2.5+(12-10)× 3.5=36.5,他应该选择方案二，故正确；D.乘客丙打车行驶 16公里，方案一：应付车费为8十(16一2)×3=50：方案二应 付车费为12十(10一3)×2.5+(16-10)×3.5=50.5，他应该 选择方案一，故错误；故选：C 1000 1000 3.B由题意得，N= 0.7v+0.3u2+do 0.7+0.30+30 1000 ≈149，当且仅当0.3u=30,即=10时取 0.7+20.3×30 “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149，故 选：B. 4.B设直线AC,BC的斜率分别为kC,kC,由平均变化率的 几何意义知，1(t)在[0，to]上的平均变化率甲=kc,52(t)在 [0,to]上的平均变化率v乙=kC,因为kC<kC,所以v甲< vz.故选：B. 5.B依题意'-800=1300二800，解得y=30.故选：B. 0-1 2-1 6.A对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图象④符合； 对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距 离不变，故图象①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间 加快速度，故图象②符合：故选：A. 7.A由题意可知，开始时，甲、乙速度均为，所以图象是重合 的线段，由此排除C,D,再根据山<2可知两人的运动情况 均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确。 故选：A. 8.D因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f(x)≥] z2≥1从而得 豆，所以将原不等式转化为：2x-1≥1或0 x≥1或x一1.故选：D. 9.C通过邮资标准表可得到，当x=1200时，y=7.00元.故 选：C 10.C该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利涧函数 f(x)=10x一(5x+3000)≥0，解得x≥600..该厂为了不 亏本，日印图书至少为600本.故选C. 11.BD对于A:由图象可知：函数s=f(t)在（一1,0）没有图象， 故定义城不是[一3，十)，故A错误；对于B:由图象可知 函数s=f(t)的值域为(0,5]，故B正确；对于C:由图象可 知，当s=2时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；对于 D:由图象可知函数s=f(t)在(0,1)上单调递增，又当t1,t2 ∈0,1)1≠)时，f)-f2>0,则s=)在0,1)上 t1-t2 单调递增，故D正确；故选：BD. 12.BCD设商品A的单价为x(x>2)元，则销量为10一0.5× 6号万件，此时商品A销售总收入为x(10-0.5×.）万 x-2 元，根据题意有(10-0.5×号)≥22.4，解得2.8≤x≤ 0.2 3.2,故BCD符合题意.故选：BCD. 13.答案：6 解析：设A的横坐标为m,则A的坐标为(，0)， 11 ”屋顶所在直线方程分别是y=3x十3和y=一车x十2，