3.2.1 单调性与最大(小)值-最值(第2课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

3.2.1单调性与最大 口知识梳理 知识点函数的最大（小）值 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M 前提 满足 (1)Hx∈D,都有 (1)Hx∈D,都有f(x) f(x)<M; ≥M; 条件 (2)3x0∈D,使得 (2)3x0∈D,使得f(x0) f(xo)=M -M 结论 M为最大值 M为最小值 口基础过关 一、单项选择题 1.若函数f(x)=-x2十2x在定义域[0，m]上 的值域为[0,1]，则 A.1≤m≤2 B.m>1 C.m=2 D.1<m≤2 2设a>0,若函数y=是，当xa,2a时 的范围为，2，则a的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 3.若函数f(x)=ax十1在区间[1,2]上的最大 值与最小值的差为2，则实数a的值为 ( ) A.2 B.2或-2 C.3 D.3或-3 1欲眉数八)一2在区间34上的报大 值和最小值分别为M,m则M+m=( A.4 B.6 C.10 D.24 5.函数f(x)=x十 在区间-22]上的 最大值为 A号 C.3 D.4 3.2.1单调性与最大（小）值一最值（第2课时） 答题栏 小)值一最值（第2课时） 2 二、多项选择题 6.下列关于函数f(x)=√一x+2x+3的结论5 正确的是 ( )6 A.单调递增区间是[一1,1] 7 8 B.单调递减区间是[1，十∞) C.最大值为2 D.没有最小值 ax-l,x<a 7.设函数f(x)= x2-2ax+1,x≥a ,f(x)存 在最小值时，实数a的值可能是 () A.-2 B.-1C.0 D.1 8.设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1, x2∈D,都有|f(x1)一f(x2)川<1，则称f(x) 满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件” 的是 A.f(x)=-x,x∈(-1,1) 及f)=x+是长1,2 C)=-e[-号 D.f(x)=x3,x∈(1,5) 三、填空题 9.函数f(x)=x+2I-x的最大值 为 10.已知函数f(x)=4x十a(x>0,a>0)在 x=3时取得最小值，则a= 11.y=x-1在1,2]上的最小值为 12.函数f(x)= x-1 (k>0)在[4,5]上的最大 值为1，则的值为 13.若不等式x2+a.x+1≥0对一切x∈[2,3] 都成立，则a的取值范围是 14.已知函数f(x)=x2-4x,g(x)= 4(a<0),对Hx1∈[-2，-1]，3x2∈ [一3，一1]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数 a的取值范围是 45 数学必修第一册 15.已知函数f(x)=2x-3,x∈[-1,2]，实数：19.已知函数f(x)=ax2-4a.x+b(a>0)在 a,b满足f(a)+f(b-1)=0,则a(b-1)的 [0,3]上的最大值为3，最小值为-1. 最大值为 (1)求f(x)的解析式； 16.已知函数f)=分且f2)=5,f(-1) (2)若3x∈(1，+∞)，使得f(x)<mx,求 实数m的取值范围. =一1，则函数y=f(x),x∈[2,3]的值域 是 四、解答题 17.(1)在定义域[a,b]上单调递减的函数 f(x),最大值是多少？ (2)若f(x)在[a,u]上单调递减而在[u,b] 上单调递增，最小值是多少？ fx2-2ax+a2-a,x≤0 20.已知函数f(x)= 4 + -a,x>0 18.已知函数f(x)=ax+b a,b∈R,且该函 (1)用定义法证明f(x)在(0,2)上单调递 数的图象经过点(-1,0)，2，》 减，在(2，十∞)上单调递增； (2)若f(x)的最小值是6，求a的值. (1)求a,b的值； (2)已知直线y=kx十m(k≠1)与x轴交于 点T,且与函数f(x)的图象只有一个公共 点.求OT|的最大值.（其中O为坐标原 点) 46 3.2.1单调性与最大（小）值一最值（第2课时） 21.一个两位数除以它的的两个数位上的数 字和. 2线求西数)0+兰，（兮<≤4到的最大值与 (1)若使商为最小值，求这个两位数； 最小值. (2)若使商为最大值，则这样的两位数有多 少个？ 22.设f(x)=mx2+nx十6，已知函数过点 24,求函数f(c)=2在区间[1,2]上的最大值 (1,3),且函数的对称轴为x=2. 和最小值. (1)求函数的表达式； (2)若x∈[一1,3]，函数的最大值为M,最 小值为N,求M+N的值. ;; 47若)在[1,2]上单调，则√号≥2或侣≤1 解得a≥8或a≤2， 则f(x)在[1,2]上不单调，实数a的范围是(2,8)， 故答案为：a∈(2,8)内的任意一个数. 13.答案：(-∞，一6] 解析：函数f(x)=√2+4x-12是由函数g(u)=√a和u(x) =x2+4x一12组成的复合函数， x2+4x-12≥0，解得x≤-6或x≥2， .函数y=f(x)的定义域是{xx≤-6或x≥2}， 因为函数u(x)=x2十4x一12在（一∞，一6]单调递减，在[2， 十co)单调递增， 而g(u)=√u在[0，十oo)上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减 区间（一∞，-6]. 故答案为：（一0，一6]. 14.解：1)因为f(x)=上-上，所以f(x)在(0，十0)上是增 函数. (2)易知>子，由1)可知)在[日]上为增画数。 由0=6得号-名-6，解得6=2 15.解原fe)=5实80则)(-40上灵 减函数，在(0,5)上也是减函数， 但f(-0.2)=3.2,f(0.01)=4.99,f(-0.2)<f(0.01), 因此不能断定f(x)在（一4,5）上是减函数. 若取f代x)={x十5<0，则f代x在(-4,0)上是增画 x十3,0x5 数，在[0,5)上也是增函数， 但f(-0.2)=4.8,f(0.01)=3.01,f(-0.2)>f(0.01), 因此不能断定f(x)在（一4,5）上是增函数. 16,解：1：f1-3x)的定义城为A=[子，1]： -2≤1-3x≤，则B=[-2,4] 17 (2)令g(x)=x2-x十1， 3x∈B,使得a>x2-x+1成立， 即a大子g()在[-2，]上的接小位， “g)在[-2，]上的接小准为s(宁)0 “实教a的取值范国是（侣+©） 3.2.1单调性与最大（小）值一最值 (第2课时)》 基础过关 1.A因为f(x)=一x2十2x的对称轴为x=1, 且f(1)=1,f(0)=f(2)=0 所以若函数f(x)=一x2+2x在定义域[0，m]上的值域为[0， 1],则1≤m≤2 故选：A (8=2 2.By=8在(0，十e0)上单调递减，g 2 解得：a=4.故选：B. 3.B依题意，当a=0时，f(x)=1,不符合题意；当a>0时， f(x)=a.x+1在区间[1,2]上单调递增，所以f(2)一f(1) 2a+1-(a十1)=2，得a=2:当a<0时，f(x)=ax十1在区间 [1,2]上单调递减，所以f(1)一f(2)=a十1-(2a+1)=2,得 a=一2.综上，a的值为士2.故选：B. 参考答案 4.C周为f)=2,2》+4=2+2所以f在[3,4幻上 x-2 是减函数.所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M十m=6+ 4=10.故选：C. 5.B设t=x+1,则问题转化为求函数g()=t+1-1在区间 [合3]上的最大位根据对均高数的性质，得画数风)在区 间[？，2]上单调递减，在区同[2,3]上单调递增，所以 g)mm-max),g(3))-max 故选：B 6,AC要使函数有意义，则一x2十2x十3≥0，得一1≤x3,故 B错误；函数f(x)=√一x十2x十3由f(u)=√m与u=-x2 十2x十3=一(x一1)2+4复合而成，当x∈[一1,1]时，u= 一x2+2x+3单调递增，当x∈[1,3]时，u=一x2十2x十3单 调递减，又f(u)=√u在[0，十o)上单调递增，所以f(x)= √一x2+2x+3在[-1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减， 故f代x)mx=f1)=2,又f(-1)=f(3)=0,所以f代x)mn=0,故 A,C正确，D错误.故选：AC. .ABC因为fz)={2-2ax+1a Jax-1,x<a 若a>0,当x<a时f(x)=a.x一1在（一oo,a)上单调递增，当 x→一o时f(x)·一∞，此时函数不存在最小值； 若a=0,则f(x)= {2+1,x≥0此时f(x)n=-1,符合 ∫-1，x<0 题意； 若a<0,当x<a时f(x)=ax一1在（一o,a)上单调递减， 当x≥a时f(x)=x2-2a.x+1, 二次函数y=x2-2a.x+1对称轴为x=a,开口向上，此时 f(x)在[a,+o∞)上单调递增， 要使函数f(x)存在最小值， 只需{021≥a2-2a2+1·解得a≤-1， 综上可得a∈(-o,一1]U{0}.故选：ABC. 8.ACD由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.选 项A,f(x)=-x,x∈(-1,1).取41=分2=-分，则 1)-)1=(号）-f(-合)=1，不满足1条 件“：选项Bx)=x+2x[1,2],任取1<<<2 f)-f(m)=西+2 --2-1-2西2-2 ，其 T172 中x1-x2<0,x1x2>0,当1≤x1<x2≤V2时，x12-2<0, f(x1)-f(x2)>0,f(1)>f(x2),f(x)递减：当√2≤x1<x2 ≤2时，x1x2-2>0,f(1)-f(x2)<0,f(1)<f(x2),f(x) 递增，即f(x)在[1，w2]上单调递减，在[V2,2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(巨)=2√瓦，最大值为f(1)=f(2)= 3,所以对任意的1x2∈[1,2]，都有1f(x1)-f(x2)|≤3 2E<1,所以x)=x+兰[1,2]满足1条件”：选项C 八)=-子在[号0]上华羽递成，在01门上单网递 增0)=-是1)=1-是=-1(-号)=(-号)月 3 3= 2 -8所以f(x)的最大值为-，最小值为-号， 19 -是-(-)川=1，所以f()=2-号，∈ 号，1门不满足L条件选项D,画数x)=在1,5) 上单调递增，显然不满足“L条件”，故选：ACD. 9.答案：2 解析：设t=/1一x(t≥0)，则x=1一t2, 所以原函数可化为：y=一t2+2t+1(t≥0)， 由二次函数性质，当t=1时，函数取最大值2 故答案为：2. 19 数学必修第一册 10.答案：36 解折：K)=4x+兰(>0a>0)在(0，写上单词递减， 所以)-1+ 设x1x2∈[2,3]且1<x2, 在（侣，十∞）上单调递增，故()在x=受时取得最小值。 2 所以，a)-)=1+气(+)=气 4(x2-x1) 由题意知受=3a=36. x2-1(1-1)(x2-1) 故答案为：36 因为x1x2∈[2,3]且1<2，所以x2-x1>0,1-1>0, 11.答案：0 x2-1>0, 解析：报6题意y=一子在[1,2]上为带函， 4(x2-x1） 所以-(2D>0.即f）-f)>0: 则y=-二在[1,2]上的最小值为y=0, 所以f(1)>f(x2),即f(x)在[2,3]上单调递减， 所以f(x)max=f(2)=5,f(x)min=f(3)=3, 故答案为：0. 所以，函数y=f(x),x∈[2,3]的值域是[3,5] 12.答案：3 故答案为[3,5]. 解析：因为)=合气>0)是由y兰(>0)向右平移1 17.解：(1)因为f(x)是定义城[a,b]上单调递减的函数， 所以f(x)mx=f(a): 个单位得到，即)=奇>0》在1，十∞)上单调递减， (2)因为f(x)在[a,u]上单调递减而在[u,b]上单调递增， 所以f(x)min=f(u). 所以x)=冬(>0)在[，5]上单调莲减，所以fnm 1-a-b=0 18.解：(1)由已知得 +兰-是你郑8 6=-1 =f()=产气=1，解得6=3： (2)设T(t,0),则直线y=飞x十m(≠1)方程可以写成y= 故答案为：3. 13.答案：[-号+) (x-),与函数y=f()=x-工联立，消去y,并签理得 (k-1)x2-ktx+1=0 解析：因为不等式x2十ax十1≥0对一切x∈[2,3]怕成立， 所以a≥-(+)对-切x[2,3]恒成立 由已知得判别式：-4-1)=0,2=4（合-是）小， 令f)=-(z+）可知a≥f(x)m成立，当x∈[2,3]， 当日=号时2取得度大位1，所以0T1ns=l=1. 函数单调递减， 19.解：(1)f(x)的开口向上，对称轴为x=2, 5 所以在区间[0,3]上有：f(x)min=f(2),f(x)max=f(0), 所以f(x)≤f(2)= 5 ，所以a≥- 即6a+6=-1→6g 所以f(x)=x2一4x+3. 14.答案：[-15，-12] (2)依题意3x∈(1，十)，使得f(x)<mx, 解析：函数f(x)=x2一4x图象的对称轴为直线x=2, 所以f(x)在[一2，一1]上单调递减， 中2-4+3<m,m>2+兰-4 则f(x)在[一2，-1]上的值域为[5,12]. 因为()=兰a<0)在[-3，-1]上单调递增， 由于>1x+是-4≥2…三-4=2g- 所以g)在[-3，-1门上的值城为[-号-a] 当且仅当=3→x=时等号成立. 所以m>2√3-4. 由题意，可得[5,12][-号，-a] 20.解：1)证明：对任意的x1>x2>0,f(西1)-f(x2)=西1+4 即-号≤5，解得-15<u≤-12 -a-(x2+4-u)=西-)1-) 12≤-a Z1T2 故答案为：[-15，-12]. 当0<x2<x1<2时，1-x2>0,0<1x2<4, 15答案：号 则西-)-0<0，即f(1)Kf): T1 T7 解析：函数f(x)=2x-3,x∈[-1,2]， 当x1>x2>2时，x1-x2>0,x1x2>4, 实数a,b满足f(a)十f(b一1)=0， ∴.2a-3+2(b-1)-3=0,可得a+b=4,a∈[-1,2]，b∈ 则西-)->0，即f1)>f2 [0,3],又b=4-a, 故f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十©○)上单调递增， a∈1,2]，别a6-10=a3-a)=-(e-2)厂+号a< (2)由(1)可知f(x)在(0，十∞)上的最小值是f(2)=4-a. 当x≤0时，f(x)=x2-2ax十a2-a,其图象的对称轴方程 [1,2], 是直线x=a, 所以当a=号时，[a6-1D门=号 ①若a≥0，f(x)在（一o,0]上单调递减，则f(x)在（一o,0] 上的最小值是f(0)=a2-a. 即a=受，6=号时a6-10取得最大位是 ②若a<0,f(x)在（一c∞，a)上单调递减，在(a,0]上单调递增，则 f(x)在（一c∞，0]上的最小值是f(a)=一a. 就答案为：是 14-a,a>2, 16.答案：[3,5] 综上，f(x)min={a2-a,0≤a≤2， 解析：因为f(2)=5,f(-1)=一1， -a,a<0. 以 0<a≤2：或 ,即/a-5b=8 因为了(z)的最小值是6，所以4之2.6或-0E6 -1+4=-1 (a+b=2 a<0, -a=6, 解得a=一6. -1+b 解得：份31 21.解：(1)设这个两位数是10x十y,那么0<x≤9,0≤y≤9，且 x,y是整数， 150 :10x+y=1+9z x+y =1+9 x+y 1+y1 当x=1,y=9时 9取到最小，即10+y最小，此时两位 1+ x十y 数是19. (2)当y=0,x取1到9的任一整数时，9，取到最大值，即 1+义 10x十y最大， x十y 此时两位数可以是10,20，…，90共9个数. /m+n+6=3 22.解：(1)依题意 n=2 ,解得n=一4 2m (m=1 所以f(x)=x2-4x十6： (2)由(1)可得f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2, 所以f(x)在[-1,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增， 文f(-1)=11,f(3)=3,f(2)=2, 所以f(x)max=f(-1)=11,f(x)mn=f（2)=2, 即M=11、N=2,所以M+N=13. 23,解：函教y=x十1，根据对勾函教的性质可得：y=x十4在 [合，2]上单润道减2,4上单明道增。 当x=2时取到最小值4. 又当=时5=+8=号，当=4时=41=5 所以当=号时取到最大位号， 所以画数y=x十4的最大值号，最小值4. 24.解：函数f代x)=2在区间[1,2]上递减， 则f(2)f(x)f(1), 所以最大值f(x)mmx=f(1)=2,最小值f(x)min=f(2)=1. 3.2.2奇偶性 知识梳理 知识点 f(一x)=f(x)f(-x)=一f(x)y原点 基础过关 1.C因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以对于任意x∈ R,f(一x)=一f(x),即f(一x)十f(x)=0,所以|f(-x)|= |-f(x)川=|f(x)|,[f(x]3+[f(-x)]3=[f(x)]3+ [-f(x)]3=[f(x)]3-[f(x)]3=0,f(x3)+f(-x)3)= f(x3)十f(-x3)=f(x3)一f(x3)=0,所以ABD正确，C错 误.故选：C. 2.B对于①，f(x)=x3(x{-1,0,1})与g(n)=n3(n∈{-1， 0,1})表示相同函数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故 函数的值城一定相同，故①正确；对于②，函数f(x)= 十-2≤≤2且x≠0)则f(x)=2是奇画 /4-x2 数，故②错误；对于③，若f(x)与g(x)在区间G上均为递增 函数，则f(x)十g(x)在区间G上亦为递增函数，但是f(x)· g(x)在区间G不一定为递增函数，例：f(x)=一子在(0， 十∞)上为增函数，g(x)=x在(0，十∞)上为增函数，但 f(x)·g(x)=一1在(0，十o)上无单调性，故③错误：对于 ④，设集合A={x1≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应关系f: xIog4(x+2),则能构成一个函数f:A~B,记作y=f(x)= l0g4(x十2)，x∈A,符合函数的定义，故④正确.故选：B. 3.C若函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象既关于原，点对称 又关于y轴对称， 则/f-x)=f(x) f（-x)=-f(x),可得f(x)=0, 因此，“f(x)=0”是“f(x)的图象既关于原点对称又关于y轴 对称”的充要条件，故选：C. 4.C根据奇偶函数的性质知A,B正确；对于C,如f(x)=1 x∈（一∞，0）U(0,十∞)，易得函数f(x)是奇函数，但它的图 -15 参考答案 原不过原点，故C错误：对于D,如g(x)三2z∈（一©，0）D (0,十○)，易得函数g(x)是偶函数，但它的图象不与y轴相 交，故D正确.故选：C 5.B由已知F(x)的定义域为R,因为f(x)是定义在R上的奇 函数，所以f(一x)=-f(x),所以F(一x)=(一x3十2x》 f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数，又 F(-1)=(-1+2)f(-1)=-f(1),F(1)=(1-2)f(1)= 一f(1),又f(1)≠0，所以F(一1)≠一F(1),所以F(x)不为 奇函数，故选：B. 6.ABD根据图象可知：x∈[一4,0]时，f(x)∈[-2,2]，A选 项正确.f(x)在[-4，-2]，[-分0]道减，在 -2，号]上递增，由子f八)是寺画数，所以)在[2 ,[,]道减，在[2]上递增，所以B遵项正确，D逸项 正确由于f(x)在[日，2]上递增，所以f(3)f(是)，所 以C选项错误.故选：ABD. 7.ACD因为A,B,C的坐标分别为（一1,2），(1,0)，(3,2)，所 以f(x)= -x十1，-1≤x<1,故A正确.因为f(x)的定义 x1,1≤x3, 域为[一1,3]，所以f(x一1)的定义域为[0,4]，故B错误.因 为f(x)的图象向左平移一个单位长度后关于y轴对称，所以 f(x十1)为偶函数，故C正确.因为f(x)在[一1,1]上单调递 减，在[1,3]上单调递增，故D正确，故选：ACD. 8.BC因为f(x)为偶函数，所以f(2一x)=f(x一2)，则把 f(x)向右平移2个单位得到f(x一2)的图象.因为f(x)的一 个单调增区间为(2,6)，所以f(x一2)的一个增区间为(4,8)， 故A错误，B正确.又因为函数f(x)关于y轴对称，所以函数 y=f(x一2)的图象关于x=2对称，故C正确，D错误.故 选：BC. 9.AD空集是任何集合的子集，A选项正确；函数f(x)=】的 定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，在（一0,0），(0，十∞)上单调 递减，但在整个定义域上不满足单调递减，故B错误；只有 f(x)的定义城包含0，才有f(0)=0,比如f(x)=】也是奇函 数，但却不能使得f(0)=0,故C错误；若f(x)具有奇偶性，则 其定义域一定关于原点对称，D选项正确，故选：AD. 10,0画教y==(00.报据图象可知，准战为[o 十∞)，为偶函数，在（一○，0）上为减函数. 0 故选：BC. 11.ABD对于A,令x=y=0,则f(0)=2f(0),得f(0)=0,所 以f(x)的图象经过坐标原点，所以A正确，对于B,令y=x, 则f(2x)=2f(x),再令y=2x,则f(3.x)=f(x)十f(2x) f(x)十2f(x)=3f(x),所以B正确，对于D,令y=一x,则 f(0)=f(x)十f(一x),因为f(0)=0,所以f(一x)+f(x) 0,所以D正确，对于C,任取x1,2∈R,且x1<x2,由D选 项可知f(-x2)=一f(x2),所以f(1-x2)=f(1)十 f(-x2)=f(x1)一f(x2),而f(1一x2)的符号不确定，所 以不能确定函数的单调性，所以C错误，故选：ABD. 12.答案：②④⑤⑦ 解析：只有f(x)的定义域关于原点对称，且f(一x)=f(x) 时，f(x)才是偶函数，故①错误；∫(x)的定义域关于原点对 称是∫(x)为偶函数的必要条件，故②正确； 对任意x∈R,满足f(一x)=f(x),f(x)才是偶函数，仅凭两 个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性，故③错误而 ④正确； 为了说明f(x)不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确； f(x)=0,定义域为[一1,1]，该函数既是奇函数又是偶函数， 故⑥错误；