2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

数学必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 口知识梳理 知识点3 一元二次不等式的求解步骤 化二次项的系数为正数，注意不等号是 知识点1一元二次不等式 化 否改变 1.一元二次不等式 判断对应方程的根的情况（无根的直接 只含有 未知数，并且未知数的最高 二判 根据二次函数图象写解集) 次数是2的不等式， 三求 求出对应方程的根 一般形式： (a,b, 四画 画出对应函数的图象 c均为常数，且a≠0). 2.一元二次不等式的解集 五写 根据图象写出不等式的解集 使一元二次不等式成立的未知数的值叫做 基础过关 一元二次不等式的解，所有的解组成的集合 一、单项选择题 叫做一元二次不等式的解集. 1.若关于x的不等式mx2+2x十m>0的解集 知识点2三个“二次”之间的关系 是R,则m的取值范围是 ( 三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一 A.(1,+∞) B.(0,1) 元二次不等式)之间的关系 C.(-1,1) D.[1,+∞) △=6-4ac △>0 A=0 4<0 2.已知二次函数y= y y=az2+ a.x2+bx+c的图象 y=ax2+bx+c bx+c(a 如图所示，则不等式 Ox=x2 0)的图象 ax2+bx+c>0的解 0 有两个不 集是 ( ) ax2+bx+c 有两个 相等的实 没有实 A.{x|-2<x<1} =0(a>0) 的实数根 数根x1,x2 数根 B.{x|x<-2或x>1} 的根 b =x2= (x1<x2) 2a C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1》 ax2+bx+c (xlx<z, 3.一元二次方程(x-1)(x+5)=3x+2的根 >0(a>0) R 或x>x2} 的情况是 () 的解集 A.方程没有实数根 ax2+bx+c B.方程有两个相等的实数根 xla<x <0(a>0) 0 C.方程有两个不相等的实数根 <x2} 的解集 D.方程的根是1、-5和-号 26 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 4.已知不等式x2一x+a<0的解集为{x|; 三、填空题 答题栏 一2<x<3},则a= ( 11.若方程ax2十bx十c=0(a<0)有唯一的实1 1 数根3，则不等式ax2十bx+c≥0的解集为 2 A.-6 B.- 6 3 4 C.6 12.已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx5 6 5.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≤0 十m一1=0有一正数根和一负数根，则实 数m的取值范围是 的解集为，则实数m满足 ( 8 13.设k为实数，若关于x的一元二次方程x2+ 9 A.m≤-2或m≥2B.-2<m<2 10 kx十k+1=0没有实数根，则k的取值范围 C.m<-2或m>2D.-2≤m≤2 是 。 6.不等式(x+1)(x+3)<0的解集是() 14.若关于x的不等式mx2+8m.x+21<0的 A.R 解集为{x|一7<x<一1}，则实数m的值为 B.0 C.{x|-3<x<-1} 15.已知a<0,则关于x的不等式x2一4a.x D.{x|x<-3,或x>-1} 5a2<0的解集是 .（用区间表示) 7.不等式1+5x-6x2>0的解集为 ( 四、解答题 Aa>1或r<-青 16.已知不等式x2-2x+5-2a≥0. (1)若不等式对于任意实数x恒成立，求实 数a的取值范围； C.{xlx>1或x<-3》 (2)若存在实数a∈[4，√2019]使得该不等 D.{x|-3<x<2} 式成立，求实数x的取值范围 8.已知不等式x2十ax+b<0的解集是{x -2<x<4},则a十b= A.-10 B.-6 C.0 D.2 二、多项选择题 9.下列四个不等式中，解集为☑的是 ( A.-x2+x+1≤0 B.2.x2-3x+4<0 C.x2+6.x+9≤0 D.-x2+4x-(a+4)>0(a>0) 10.下面所给关于x的不等式，其中一定为一 元二次不等式的是 ( A.3x+4<0 B.x2+m.x-1>0 C.a.x2+4x-7>0D.x2<0 27数学必修第一册 为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D,因为x,y都为 正数，且2x+y=1,所以+（宁+号）2：+)=3+ 因为计号≥2X号=6，当且仅当1=号时，即1=3，即 x=4时，等号成立， +2>3+22，当且权当义=2即=1-9， 所以f(t)min=8,即f(x)的最小值为8. x y =2-1 故答案为：8 时取等号，所以1十1的最小值为3+2，所以D正确，故 20.答案：2√2 x y 选：ABD. 解析：因为x>-2,则x十2>，则y=2+4+6 x+2 13.答案：号 x+22+2=(x+2)+27 解析：设框架的宽为x,则其高为6一2x,要使这个窗户通过 x+2 ++2≥2x+2)·2 +2=2V2, 的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，S=x(6一2x) 当且仅当x=√2一2时，等号成立， 28-2×[+g门-号当且仅当=8-，即 所以，当>-2时，函教)=之十4+6的最小值为22 2」 x+2 x=号时等号成立，故框架的宽为子m 故答案为：2√2 21.解：根据题意，设t=3.x(8-3x),0<x<2 故答案为：哥 则t=3.x(8一3x)=-9x2+24x,(0<x<2) 14.答案：3 分析可得当x=青时1=3x(8-3x)有最大位16， 解析：因为x<,所以4x-5<0,5-4>0, 则此时y=√3x·(8一3x)有最大值√/16=4： 1 故函数y=√3x·(8一3x)的最大值为4. )=4x+4-5=（4x-5)+ 4x-5+5= (5-4x)+ :22.解：(1)由x十y=1得y=1-x,x=1-y,所以2xy+x+2y 17 1 =2xy+y+1=y(1+2x)+1=(1-x)(1+2x)+1=2(2 5-4x +5≤-2√/6-4x)‘5=4+5=3 1 当且仅当5一4红=。4，即x=1时，等号成立.故当x=] 2x(1+2)+1.由基本不等式得，号2-2)1+2x)+1≤ 时，y取最大值，即ymx=3. 名·(221+2)+1-号，当且仅当2-2x=1+2z 1 2 故答案为：3。 =子时，等号成立，故2十x十2的最大值 1 15.答案：2√6 即x= 4 解析：由题设知x一1>0， 则)=2x-D+产≥22-1…高=26，含且 为晋 仅当2=1+>1时等号成宝， (2)因为x>0,y>0,1=x+y,所以1+4红=+y+4虹 y 故函数最小值为2√6. ++1≥5且收号=即=y号，号 2 y 故答案为：2√6. 成立，所以】+的最小值为5. 3 16.答案：（一0∞，2） 解析：由基本不等式可知Vx∈(0，十o∞)，x+士≥22·习 (8)运明：周为+}=(+)(+)=2+号+兰 y ≥4， =2(当且仅当x=1时取“=”)， 因为“yx∈(0，十o0),不等式a<x十1恒成立”，故a<2, 故答案为：（一0©，2） +)+(+号+ 17.答案：（一∞，4] (1+1+1)日 T 1+4)2_25 解析：当x=0时，x2-ax十4=4≥0，不等式成立； 2 2 2 当x≠0时，根据x2-ax|十4≥0恒成立， 当且仅当工=义且x+ 则等价子≤到+奇恒成立， =汁子时取等号，路会十y=1,解 x 1 “2十高>≥4，当且仅当=2时等号成主 得x=y=2.证毕. 2.3二次函数与一元二次方程、 .只需a4即可. 故答案为：（一∞，4]： 不等式（第1课时） 18.答案：号+万 知识梳理 知识点1 解析：因为十}=2，所以十公-1， 1.一个a.x2+bx+c>0或ax2+b.x+c<0 y 知识点2 所以x+2y=+2(公+)=+++1≥号十 相等{≠一会 层-是+ 基础过关 当且仅当号兰，即x=y=十2时，等号成立 1.A当m=0时，2x>0,得x>0,不合题意，当m≠0时，因为 关于x的不等式m.x2+2x十m>0的解集是R,所以 2y x 2 4 故答案为：号十巨。 △=4-4m2<0解得m>1,综上，m的取值范图是1. 19.答案：8 十o),故选：A. 解析：因为x>1,令t=x一1>0，则x=t十1， 2.A由二次函数图象知：ax2十bx+c>0有一2<x<1,故 又因为f(x)=28Cx>1),可得f(1)=+1)+8 选：A. ;3.C原方程可化为x2+x-7=0,a=1,b=1,c=-7, +29=+号+2. ∴△=b2-4ac=1十28=29>0，∴.方程有两个不相等的实数 t 根，故选：C. 142 参考答案 4.A由不等式的解集知：一2和3是方程x2-x十a=0的两 2.3 二次函数与一元二次方程、 根，.a=-2X3=6.故选：A. 5.B由于关于x的一元二次不等式x2十mx十1≤0的解集为 不等式（第2课时） ⑦，所以△=m一4=(m十2)(m一2)<0，解得-2<m<2.故 基础过关 选：B. 1.C设销售价定为每件x元，利润为y元，则y=(x一8) 6.C由(x+1)(x+3)<0,解得-3<x<-1,即不等式的解集 [100-10(x-10)],由题意可得：(x-8)[100-10(x-10)]> 为{x|-3<x<-1};故选：C. 320,即x2-28x+192<0, 7.B法一：原不等式即为6x2-5.x-1<0,即(6x+1)(x-1)< 所以(x-12)(x-16)<0,解得：12<x<16,所以每件销售价 0,解得-日<<1，故原不等式的解集为{女-日<x<1 应定为12元到16元之间，故选：C 2.B由题意，得x[45-3(x-15)]>600,即x2-30x+200 法二：当x=2时，不等式不成立，排除A,C:当x=1时，不等 0,∴.(x一10)(x一20)<0，解得10<x<20.又每盏的最低售 式不成立，排除D.故选：B. 价为15元，.15x<20.故选：B. 8.A因为不等式x2+ax+b<0的解集是{x|-2<x<4},所 以x2+a.x十b=0的两根为-2,4，则-2十4=一a,-8=b,即 3.C设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知， a=-2,b=一8，所以a十b=-10.故选：A. 9.BDA选项，△=12-4×(-1)×1=5>0，所以-x2+x+1 40义，所以y=40-x,因为xy≥300，所以x(40-x)≥300， 40 ≤0的解集不可能为空集；B选项，△=32一4×2×4=一23< 即x2-40.x十300≤0，解得10≤x≤30.故选：C. 0,而f(x)=2x2一3.x十4开口向上，所以2x2一3.x十4<0解 4.ACD设甲的速度为x1,由题得0.1x1+0.01x>12,解之得 集为空集；C选项，x2+6x十9=(x十3)2≤0的解集为x= x1<一40或x1>30;设乙的速度为x2,由题得0.05x2十 一3，所以不为空集：D选项，△=42一4×（一1）× 0.005z号>10.解之得x2<-50或x2>40.由于x>0,从而得 [-(a+4)]=-4×(a+4)16-8a·吾=16 x1>30km/h,x2>40km/h.经比较知乙车超过限速.故 选：ACD. 16=0(a>0)当且仅当a=2时等号成立，而f(x)=-x2+ 5.BCD根据题意，要使附加税不少于128万元，需 4红-(a+吾)开加响下，所以-2+4-(a+台)>0为空 (30-号R)×160×R%≥128 集：故选：BD. 整理得R2-12R+32≤0，解得4≤R8,即R∈[4,8]. 10.BD选项A是一元一次不等式，故错误：选项B,D,不等式 所以R的值可以是4,7,8.故选：BCD 的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选 6.答案：15≤x≤45，且x为自然数 项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错 解析：由题意得：(150-2x)x-(50+30x)≥1300 误.故选：BD 化简得：x2一60x十675≤0 11.答案：{xx=3} 解得：15≤x≤45，且x为自然数 解析：由已知得抛物线y=a.x2十bx十c(a<0)的开口向下，与 故答案为：15x≤45，且x为自然数， x轴交于点(3,0)， /0<x18 故不等式ax2+bx十c≥0的解集为{xz=3}. 7.答案： 故答案为：{xx=3}. x·(15-)≥216 12.答案：-之<m<1 解析：矩形莱国靠墙的一边长为工m,则另一边长为30，工m, 2 解析：由题意知，二次方程有一正根和一负根， 即(15-x）m 2十1≠0 将会64好号 /0<x18 根据已知得 x…(15-Ξ)≥216 故答案为：-之<n<1。 10x18 13.答案：(2-22,2+2√2) 故答案为： x·(（15-)≥216 解析：：关于工的一元二次方程x2十x十k十1=0没有实 8.答案：3 数根 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元， ∴.△=k2-4(k+1)<0 ∴.k2-4k-4<0 则2X100(5x+1-是)≥300， 解得：2-2√2<k<2+2√2 整理得5z-14-3≥0，又1≤<10， 故答案为：(2-22,2+2√2). x 14.答案：3 所以5.x2-14x-3≥0， 解析：由题可知，一7和一1是二次方程mx2十8mx十21=0 解得3≤x≤10. 的两个根， 故x的最小值是3 故答案为：3. 故21=一7×(-1)→m=3.经检验满足题意 m 9.解：由题意，得(160-2x)x-(500十30x)≥1300，化简得x2 故答案为：3 65x+9000,解得20x45. 15.答案：(5a,-a) .该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元. 解析：因为x2-4a.x-5a2<0,所以(x-5a)(x十a)<0 10.解：由题意可得：y=-2x2+220x>6000→x2-110.x+ 又a<0,所以不等式x2-4ax-5a2<0的解集为(5a,一a). 3000<0, 故答案为：(5a,一a). 解得：50x<60. 16.解：(1)x2-2.x+5-2a≥0在R恒成立， 11.解：设该厂今年的产量为a,明、后两年每年的平均增长牵至 .△≤0，即4-4(5-2a)≤0，可得a2; 少是x%, (2)若存在实数a∈[4，√2019]使得该不等式成立，即x2 则a(1+x%)2≥2a,即(1+x%)2≥2,1+x%≥√2， 2x十5≥8，解得：x≥3或x一1， x%≥√2-1≈41.4%， ∴.x∈(-∞，-1]U[3,+∞). 所以明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%. 143