2.2 基本不等式(第2课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

23.解：(1)因为x>1,所以x-1>0, 所以x+1十与=4(x-1)+与十5≥ 24x-+5=9. 当且仅当4(x-1)= 所以4红+1+马的爱小位为9. (2)因为0<x<1,所以x(4-3z)=3·(3x)·(4-3x)≤ 2 2）=31 当且仅当3=4-3，即=号时取￥号， 故z4-3x)的最大值为专 2国为>>0所以+·-品 112 当且权当子存，即a=6时：等号成主. 又品+学≥2，当且牧当品=学时等号成这， 所以++曾品+学8， a la=b 当且收当品空，即6对聚等手 25.解：(1)证明：因为c<b,b<a, 所以c-b<0,b一a<0, 所以(c一b)+(b-a)<0,即c-a<0, 所以c<a,得证； (2)因为a,b,c都是正数， 所以a十b≥2√ab>0(当且仅当a=b时取等号)：b+c≥ 2√bc>0(当且仅当b=c时取等号)：c十a≥2√ca>0(当且 仅当c=a时取等号)； 所以(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2√bc·2√ca=8abc(当 且仅当a=b=c时取等号)， 即(a十b)(b+c)(c+a)≥8abc. 2.2基本不等式（第2课时） 基础过关 1.C因为)=1=+1>≥2，当且仅当工=1时取等号，所 以函数y=+1(x>0)的值战为[2，十0).故选：C 2.D因为a6>0a+6=1,所以。+片=时+安=2 a 十号≥2+2会·君=4（当且收当台=台即a=6=之时 取等号)，即。十石的最小值为4，故选：D, a 3.D因为2a+56=10≥2V2a·5币，所以ab≤号，当且仅当 a=号，b=1时，等号成立，所以ab的最大值为号，故选：D. 4A因为x0+),则x+上≥2·于=2，当且仅当 x=,即x=1时等号成立，所以a≤2，故选：A. 5.C对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条 件，则A不正确；对于选项B,y=2(,2+里=22+3+1) /x2+3 x2+3 2Wx2+3+ 2一，令√2+3=1(t≥5)，即y=2t+ √x2+3 ?(≥)在[原，十∞)上单调递增，则最小值为m 2B+号=83，则B不正确：对于选项C,z(2x) -(x2-2x+1)十1=-(x-1)2+1≤1，则C正确；对于选项 -14 参考答案 D.当a>3时a+。3-a-3+。g+3≥2a-3…a a-3 牛3=7，当且仅当a一3=a3时，即a=5,等号成立，则D不 正确.故选：C. 6.C因为a>0.所以9a+日>26a·石，当且仅当9a= a 即a=了时，等号成立，即取得最小值.故选：C 7.C由题意可设y=a(x-6)2+110(a<0),且当x=4时，y= 70,即70=a(4-6)2+110,解得a=-10,所以y=一10(x一 6)2+110(x∈N*),所以义=-10(x=6)2+110 2 -10(e+2)+120<-20至+120=20，者且仅当= 5,即x=5时取等号，故选：C. 8C因为>1，故x+马=-1+马十1≥2+1=3，当且 仅当x=2时取得最小值3；令x一1=t,t>0,对函数y=t十 +1,其在(0,1)单调递减，在(1，十∞)单调递增，无最大值. t 故>1时，+无最大值，故选：C 9B根据，2 (a,b>0),当且仅当a=b时，取等 2 号化简可得日+石≥千。因为>)>，所以一y之0… 4 y>0,所以用+>6可得y十之 ”x-y'y-之x-, 当且权当工一y=y一，即2y=x十：时，取等号，又因为一—习 1 十1≥恒成立，所以k≤4，即k的最大值是4.故选：B. y一之x-g 10.A因为ab=8,所以2+=a-》2+2山=a-6+15 a-b a-b a-b' 因为a>4,所以a-6>0,所以a-6十156≥ 2√/(a-b)·16 2一b一8.即2十≥8，当且汉当a一b=4时，等 号成立，故心十公-2的最小值是6.故选：A a-b 1.cD对选项A+品=（受+号）信+)=是十 2m 2 m+n=2时，即m=2√2-2，n=4-2√2时取等号，则A错 误；对于选项B,(√m+)2=m十n十2mm=2+2√mm≤ 2十m十n=4,当且仅当m=n=1时等号成立，则√m十√n 2,即√m十√n的最大值为2，则B错误；对于选项C,m十n≥ 2m,即m<(生）=1，当且仅当m=%=1时，学号 成立，则C正确；对于选项D,m2十n2=(m十n)2一2mn= 4-2m≥4-2(m2)）=2,当且仅当m=n=1时，等号成 立，则D正确，故选：CD. 12.ABD对于A,因为x,y都为正数，且2x十y=1,所以2xy≤ (2)=十，当且仅当2x=y即x=十y=合时取等 号，所以2y的最大值为，所以A正确，对于B,周为2x十 y=1,所以4x2+y2=(2x+y)2-4.xy=1-4xy,由选项A 可知xy≤名，所以42+y2=1-4xy>2,当且仅当x 子=合时取等号，所以42+的接小值为子，所以B正 1 确时于C因为2x+=1.所以+≤（中）= 子，当且仅当=x十y,即x=合y=0时取等号，但2y都 1 数学必修第一册 为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D,因为x,y都为 正数，且2x+y=1,所以+=（宁+号）2：+)=3+ 因为计号≥2X号=6，当且仅当1=号时，即1=3，即 t x=4时，等号成立， +2>3+22，当且仅当义=2Ξ即=1-， 所以f(t)min=8,即f(x)的最小值为8. y y=2-1 故答案为：8 时取等号，所以+的最小维为3+2区所以D正殊，故 20.答案：2√2 x 选：ABD. 解析：因为x>-2,则x十2>0，则y=2+4红+6= x+2 13.答案：号 x+22+2=(x+2)+27 解析：设框架的宽为x,则其高为6一2x,要使这个窗户通过 、 x+2 ++2≥2/x+2)·2 +2=22, 的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，S=x(6一2x) 当且仅当x=√2一2时，等号成立， 282x[g卫]°-号音且收告=3， 9 所以，当>-2时，函数y=心十4十的最小值为22 2月 x+2 x=号时等号成立，故框架的宽为号m。 故答案为：2√2 21.解：根据题意，设t=3.x(8一3x),0<x<2 故答案为：哥 则t=3.x(8一3x)=-9x2+24x,(0<x<2) 14.答案：3 分析可得当2=青时1=3x(8-3x)有最大位16， 解析：因为x<号，所以4x-5<0,5-4x>0, 则此时y=√3x·(8一3x)有最大值√/16=4： 故函数y=√3x·(8一3x)的最大值为4. )=4x+4x-5=（4x-5)+ 4x-5+5= (5-4x)+ 22.解D由x十y=1得)=1-，=1-y,所以2xy十x+2) ]+5-26-4)‘+5=8 17 =2xy+y+1=y(1+2x)+1=(1-x)(1+2x)+1=2(2 1 当且仅当5-4红=。4，即x=1时，等号成立.故当x=] 2x1+2)+1.由基本不等式得，号2-2)1+2x)+1≤ 时，y取最大值，即ymx=3. 名·(221+2)+1-号，当且仅当2-2x=1+2x 1 2 故答案为：3 1 15.答案：2√6 即x= 4y= 时，等号成立，故2xy十x十2y的最大值 4 解析：由题设知x一1>0， 则)=2x-1+产≥22-10…高=26，含且 为晋 仅当=1+>1时等号成主， (2)因为x>0,y>0,1=x十y,所以1+4红=x十y+4虹 x y 故函数最小值为2√6 ++1≥5且收当号=即=y号，号 2 y 故答案为：2√6. 成立，所以】+4的最小值为5. 16.答案：（一0∞，2） 解析：由基本不等式可知Vx∈(0，十o∞)，x+士≥22·习 (3)证明：因为+)=(+)(+号)=2+号+兰 y ≥4， =2(当且仅当x=1时取“=”)， 因为“yx∈(0，十0)，不等式a<x十上恒成立”，故a<2, +)++号+ 2 故答案为：（一©，2）. 17.答案：（一∞，4] (1+1+1) T 1+4)2_25 解析：当x=0时，x2-ax十4=4≥0，不等式成立； 2 2 2 当x≠0时，根据x2-ax|十4≥0恒成立， 当且仅当工=义且x+ 则等价子≤十奇饭成立， y 叶子时取学号，路合x十y=1,解 x 得x=y=2.证毕. :1x+过≥4，当且仅当x=2时等号成立： 4 2.3二次函数与一元二次方程、 .只需a4即可. 故答案为：（一0,4]： 不等式（第1课时） 18.答案：号+万 知识梳理 知识点1 解析：因为十}=2，所以十公=1 1.一个a.x2+bx+c>0或ax2+b.x+c<0 知识点2 所以x+2y=+20(公+)=+++1≥号十 层-是+ 基础过关 1.A当m=0时，2x>0,得x>0,不合题意，当m≠0时，因为 当且仅当=之，即x=E+ Ly=E+2时，等号成立， 关于x的不等式m.x2+2x十m>0的解集是R,所以 2y x 2 4 故答案为：号十巨 △=4-4m2<0解得m>1,综上，m的取值范图是(1. 19.答案：8 十co),故选：A. 解析：因为x>1,令t=x一1>0，则x=t十1， 2.A由二次函数图象知：a.x2十bx+c>0有一2<x<1故 又因为f(x)=8x>1D,可得f)=+1+8 选：A, 3.C原方程可化为x2+x-7=0,.a=1,b=1,c=-7, 2+2+9=1+9+2, ∴.△=b2一4ac=1十28=29>0，'.方程有两个不相等的实数 t t 根，故选：C. 142数学必修第一册 2.2 基本不等式（第2课时） □基础过关 6.已知a>0,用基本不等式求9a十上的最小值 一、单项选择题 时，有9a十≥29a·,则取得最小值时 a 1,函数y=+1(心0的值域为 a的值为 A.[1,+∞) B.(1,+∞) 1 A.9 .6 C.[2,+o∞) D.(2,+o) D.3 2.已知ab>0a十b=1,则+号的最小值为 a 7.某汽车客运站购买了y 110 一批豪华大客车投入 B.1 70 A.0.5 营运，据市场分析每辆 C.2 D.4 客车营运的总利润y 3.已知a>0,b>0且2a+5b=10,则ab的最大 (单位：万元)与营运年 6 2 值为 ( 数x(x∈N*)为二次函数关系，如图所示，则 A.2 B.5 当每辆客车营运的年平均利润义最大时，其 c 0.2 营运年数为 A.3 B.4 4.若对任意的x∈(0，十∞)都有x十1≥a, C.5 D.6 则a的取值范围是 8.已知x>1,则x+x-1的最值为 A.（-∞，2] B.(-o,2) A.最小值2 B.最大值2 C.(2,+∞) D.[2,+∞) C.最小值3 D.最大值3 5.下列说法正确的为 ( 9.若不等式1十1≥对满足条件的 Ax+≥2 “x-yy一之x-z x>y>之恒成立，则实数的最大值为 B.函数y=2(x十的最小值为4 ( √x+3 A.2 B.4 C.若x>0,则x(2-x)最大值为1 C.6 D.8 D已知a>3时，a十。g≥2，a· a一3，当 10.已知a>6,且ab=8,则4+b a-b 一2的最小值 且仅当a-。即a=4时，a十。g取得 是 ) A.6 B.8 最小值8 C.14 D.16 24 2.2基本不等式（第2课时） 二、多项选择题 20.当x>-2时，函数y=+4+6的最小值答题栏 11.设正实数m、n满足m十n=2,则 x+2 ( 1 为 2 A.+2的最小值为22 四、解答题 3 4 B.√m+√n的最小值为2 21.设0<x<2,求函数y=√3x(8-3.z)的最5 C.√mn的最大值为1 大值 6 D.m+n的最小值为2 8 12.已知x,y都为正数，且2x十y=1,则() 9 10 A.2xy的最大值为号 11 12 B.4十y的最小值为时 C.z(x+)的最大值为号 D.+的最小值为3+2E 三、填空题 13.用一根长为12m的铝合金条做成一个 “目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这 个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为 22.已知x,y为正实数，且满足x十y=1. m (1)求2xy+x+2y的最大值： 14.已知x<号，则函数y=x十的最大 (2)求上+4的最小值； 值为 15.函数)=2x+,3,一2(>1D的最小值 @)证明：e++(+要 是 16.若“Vx∈(0，十∞)，不等式a<x十1恒成 立”为真命题，则实数a的取值范围是 17.若关于x的不等式x2-a|x|+4≥0恒成 立，则a的取值范围是 18.已知x>0,y>0,且+1=2，则x+2y的 x y 最小值为 19.函数f(r)=+8(r>1D的最小值为 x-1 25