2.2 基本不等式(第1课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

2.2基本不等式（第1课时） 2.2基本不等式（第1课时） 口知识梳理 2.已知正数x,y满足x十y=4,则xy的最 大值 () 知识点1两个重要不等式 A.2 B.4 C.6 D.8 3.若a>b>0,则下列不等式成立的是() 等号成立 不等式 变形形式 的条件 A.a>b>a+b√ab 2 a2+b2≥2ab aba+b2 当且仅当 B.a>a+b-/ab-b 2 2 C.a>atbb>√ab 基本不等式：√ab a+b≥2√ab, 2 当且仅当 s0+6 D.atba>√ab>b 2 ac(生 2 【知识拓展】 4.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1.则下 ) a2+b2+c2≥ab十bc+ca(当且仅当a=b= 列四个数中最大的是 ( c时，等号成立)，可用a2+b2≥2ab,b2+c2≥ a日 B.a2+62 2bc,c2+a≥2ac结合不等式同向相加可得 C.2ab D.a 结果. 5.若0>a>b,有下面四个不等式：(1)a2>b2: 知识点2基本不等式与最大（小）值 (2)b+a>2,(3)a+b<b,(4)a3<b.则不 1.已知x,y是正数，如果积xy等于定值P,那 a b 正确的不等式的个数是 () 么当x=y时，和x十y有最小值2√P, A.0 B.1 2.已知x,y是正数，如果和x+y等于定值S, C.2 D.3 那么当一少时，积y有最大值 6,若x>1,则函数y=十2+的最小值为 x-1 总结：积定和最小，和定积最大」 () 【知识拓展】 A.4 B.5 平均值不等式：设a>0,b>0,则有 C.7 D.9 ≤雨<“士≤②号（当旦仅当u=6时取 2 2 7.已知xy都是正数，若x十y=2,则上+4的 y 等号)，即调和平均数≤几何平均数≤算术平 最小值为 () 均数≤平方平均数. A号 B号 口基础过关 c号 D.1 一、单项选择题 二、多项选择题 1.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立 8.已知a>0,b>0,且a十b=4.则下列不等式 的是 ( ) 恒成立的是 () A.a2+b2≥a+b B.a+b≥2√ab A.a2+b2≥8 B.√ab≥2 c+后 D6+>2 c品 D.1+2≤1 a b 21 数学必修第一册 答题栏9.已知a>b>0,c∈R,则下列不等式成立的是 四、解答题 1 ( 17.利用基本不等式证明：已知a,b,c都是正 2 A.a-c>b-c B.ac>bc 数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc. 3 4 c.1< ·ab D.画 5 610.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智 7 石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来 8 9 英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>” 10 符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入 对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则 下列命题正确的是 () A若a>6>0则君 B.若a,b,∈R,则3a2+b2≥2√3ab 18.已知a>0,b>0,c>0,求证a2+b2+c2≥ab C.若a>b>0,c>0,则ac-bc>0 +bc+ca. D.若a<b,则|a<|bl 三、填空题 1.若>-2，则fx)=x+2的最小值为 12.已知点(a,b)在直线x+y=1上，当a>0, 6>0时，2+名的最小值为一 13.若函数f(x)=a.x+b(a>0,b>0)在区间 [1,2]上的最小值为3，则ab的最大值为 19.证明： 14.已知x,y>0,且满足x+y=2,则xy十x+ a)x2+1≥1； x2+11 y的最大值为 15.已知a>0,b>0,a十b=2,则在下列不等式 （2)x2+3>2. √x2+2 ①ab≤1；②a2+b2≥2；③a+b≤2； @+名≥2：@+6≥3其中包成立的是 .(写出所有正确命题的序号) 16.若a>0,b>0,且a十b=4,则下列不等式恒 成立的是 (填序号). ①≤72台+1：@≥2：①a2+ b2≥8. 22 2.2基本不等式（第1课时） 20.请解决下列两个问题： ①求两数f)=+9的最小值： 28.1)已知>1，求4红+1+己的最小值： (2)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值. (2)已知关于x的不等式x2+bx十c<0的 解集为（一2,3），求关于x的不等式x2一bx 十c<0的解集. 21.已知集合D={(x1x2)|x1十x2=1,x1>0, x2>0}. 24若a>0,6>0,求证：2十+空≥2 (1)设u=x1x2,求u的取值范围； (2)对任意()∈D,证明：( (-2是 25.(1)证明：若c<b,b<a,则c<a. 22.(1)设0<x<2,求的最大值； (2)利用基本不等式证明：已知a,b,c都是 (2)已知a>0,b>0,若a+b=2,求1十a 1十 正数，求证：(a+b)(b+c)(c十a)≥8abc. 千6的最小值。 23确；对于C:当ac2>bc2,两边同秦以，则a>6.故C正确；对 于D:当a>b,取a=1,b=一1时，有a2=b2.故D不正确.故 选：C. 6.C对于A,应表示为“x十2≥0”，对于B,应表示为“x<y”,对 于D,应表示为“7℃≤t≤13℃”，故A,B,D错误.故选：C. 7.C由题意得：2后+3b=6 a=号(c+3) 4后-9b1=6cb1=号(2-c) 又“后=gc+3)≥0，且161=号(2-c≥0 解得：一3≤c≤2 故c可能取的最大值为2.故选：C 8.C依题意可设买大竹子x,每根单价为，购买小竹子78一 x,每根单价为m-1,所以576=m.x十(78一x)(m一1)，即 78m十x=654,即x=6(109一13m),因为0x≤78，所以 -109 /109-13m≥0 n3一四限据选项m 6109-13m)≤7895≤m 13 8,x=30,所以买大竹子30根，每根8元.故选：C 9.答案：-6<2x-y<8 解析：因为0<<4,0<y<6, 所以0<2x<8,-6<-y<0, 所以-6<2x一y<8, 故答案为：一6<2x一y<8 10.答案：7 解析：4.x十2y=a(x十y)十b(x一y)=(a十b)x十(a一b)y,则 /a+b=4 /a=3 日6=2解得：6-i 即4x+2y=3(x十y)十(x一y),因为-2<x十y≤2且-1 x一y1,所以一63(x十y)6,故一73(x十y)十(x一y) ≤7，故心=4x十2y的最大值为7. 故答案为：7. 11.答案：(-11,2) 解析：因为一1<x<4,所以一2<2x<8, 因为2<y<3,所以一9<一3y一6， 则一11<2x-3y<2, 所以之=2x一3y的取值范围是（一11,2）. 故答案为：（一11,2）. 12.答案：5.x-2(19-x)≥80，x∈N" 解析：这个学生至少答对x题，则答错(20一1一x)道题，由得 分规则成绩不低于80分，即5x-2(19一x)≥80，x∈N*. 故答案为：5x-2(19一x)≥80，x∈N” 13.答案：(-12,1) 解析：因为1<a<3,所以2<2a<6; 又因为2<b<5,所以一15<-3b<一6， 所以-12<2a-3b+1<1. 故答案为：（一12,1） 14,解：6660}→(c-b)+(b-a)<0→c-a<0→c<a 故得证. 15.解：因为a<b<0, 所以a2>ab>0,ab>b2>0, 所以a2>b2 16.解：(1)因为a>b,cd, 所以a>b,-c>-d,则a-c>b-d. 2)因为4Ka<10,2<<4,所以<< 所以1<a<5,所以1<<5. (3)已知1<a-b<2,2<a+2b<4, 因为4a-b=3(a-b)+(a+2b),所以5<4a-b<10. 17.解：因为15<b<36,所以-72<-2b<-30. 又12<a<60, 所以12-72<a-2b<60-30, 即-60<a-2b<30. 因为12<a<60,所以24<2a<120, 因为15<b<36,所以36<6<15 11 139 参考答案 所以24<24<120 36b15 即号<<8 所以a-2b的取位范图是(-60,30)，2的取值范国 是（号8片 2.2 基本不等式（第1课时） 知识梳理 知识点1 (a,b∈R) a=b (a,b>0)a=b 知识点2 知识拓展 2 + a 基础过关 1.C对于A选项，取a=6=子，则2+6=弓a十6=1，则不 等式a2+b2≥a十b不成立：对于B选项，取a=b=一1，则a十 b=-2,2√ab=2,则不等式a十b≥2√ab不成立；对于C选 项，：6>0，则分>0且台>0，由基本不等式可得总+名> a 2√会·名=2>1，当且仅当a=6时，等号成立，到不等式分 十号>1恒成立；对于D选项，：a>0,由基本不等式得ab+ 品>品=2，音且仅当b=1时等号虎立，则不幸式 ab+品>2不板成立，故选C 2.B因为正数x,y满足x十y=4,所以有4=x十y≥2√Jxy→ √xy≤2→xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B. 3.B因为a>b>0,则a>a十b>b>0,又0十b>√ab>√F 2 b,所以a>a十√ab>h.故选：B. 2 4.B由题知：0a<6,且a+6=1.所以0<a<分<6<1 故将除D周为心十>a士=子，故排险A月为。2十 2 b2>2ab,故排除C.故选：B. 5.C因为0>a>b,所以a2<b2,a3>b3成立，所以(1)不正确， (4)不正确：因为a十0<a6,所以(3)正确：云，号都大于0 且不等于1，由基本不等式可知(2)正确.故选：C, 6.C因为x>1,所以x-1>0,所以y=x+红2=十 x-1 2x-1)+4=x+2+4 x-1 =(x-10++3≥ 4 4 2√x-1)·与+3=7，当且仅当(x-1)=与即x=3 时取等号，所以函数y=x十2的最小值为7；故选：C x-1 B因为x+=,所以士+号=(+号)告 2 合(1+4+￥+号)》 x y 因为xy都是正数，由基本不等式有： +5>g=4. x y y +(1+4+￥+g)≥号 所以王y 9 y 当且仅当v=2x, x+y=2, 2 即 时取“=”.故A,C,D错误.故选：B. 4 y=3 数学必修第一册 8.AC当a=1,b=3时，√ab<2,+>1,所以BD选项错 误.A.@2+≥a十6)2=8，当且仅当a==2时，等号成立， A正疏.C-0<b<()°=46≥当且仅当a=6=2 ,1≥1 2 时，等号成立，C正确.故选：AC. 9.ACD对于A,因为a>b>0,c∈R,所以a-c>b-c,所以A 正确：对于B,由a>b>0,当c<0时，ac<bc,所以B不正确； 对于C,因为u>6>0,c∈R,所以上-人=b4<0,故1< a b ab a ,所以C正确：对于D,因为>b>0,所以均值不等式得 1 a十b>√ab,所以D正确；故选：ACD. 2 10.ABC对于A,因为a>b>0,所以--<0，故A a b ab 正确；对于B,3a2+b-23ab=(3a-b)2≥0，故B正确； 对于C,若a>b>0,c>0,则ac>bc,即ac-bc>0,故C正 确；对于D,当a=一2，b=1时，满足a<b,但a>|b|,故D 不正确.故选：ABC 11.答案：0 1 解析：由x>-2,得x+2>0,x十2>0， 所以f(x)=x十1 +2=x+2+1 +2-2≥2√x+2)×x+ 一2=0， 当且仅当x+2=十2即=-1时等号成立。 故答案为：0. 12.答案：3+2√2 解析：因为点(a,b)在x十y=1上，所以a十b=1. 所以+号=a+6(日+号)=8++>8+2， b 当且仅当2=时等号成立. b 故答案为：3+2√2 13.答案：4 9 解析：f(x)=a.x+b(a>0,b>0)单调递增，所以在区间[1,2] 上f=f)=a+6=3,所以6≤()-（号）- 是，因为。>0,6>0，所以当且仅当a=6=号时，等号成立。 故答案为：4 9 14.答案：3 解析：因为x,y>0,且满足x十y=2, 则xy+x+=xw+2≤（生）+2=3 当且仅当x=y=1时取等号， 所以xy十x十y的最大值为3. 故答案为：3. 15.答案：①②④ 解析：①，a十b=2≥2√ab,∴.ab≤1（当且仅当a=b=1时等 号成立)，所以正确； ②，要证a2+b2≥2，只需证(a十b)2-2ab≥2，只需证ab≤1， 显然成立，所以正确； ③，只需证a十b十2√ab2,只需证√ab0,只需证ab=0, 与已知不符，所以错误； ①，要证。+6≥2，只需证a+b>2a,只需证b≤1，里然 成立，所以正确： ⑤，要证a3+b3≥3，只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥3，只需证 。2-b+62≥号，只需证(a十b)2-3ab>是，只需证ab≤ .3 吾，与①不特，所以错误。 故答案为：①②④. 16.答案：④ 解析：因为4=a十b2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)， 即<2，b长4，品之子放①⑧不成立； 14 日+石古的品1，就四不成2： a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8，故④成立. 故答案为：④ 17,解：.a,b,c都是正数，.a十b≥2√/ab>0(当且仅当a=b时 取等号)；b十c≥2√bc>0(当且仅当b=c时取等号)；c十a 2√ca>0(当且仅当c=a时取等号)： ∴.(a+b)(b+c)(c+a)≥2√ab·2√bc·2√ca=8abc(当且 仅当a=b=c时取等号)， 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc. 18.解：a2+b2≥2ab,① b2+c2≥2bc.② 2+a2≥2ac,③ ①+②+③得：2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac. .a2+b2+c2≥ab+bc十ca(当且仅当a=b=c等号成立). 19.解：(1)x2+ 1 1 +1=2+1++1-1≥ 1 2x+1)·2中-1=1， 当且仅当x2+1=1时，即x=0时，等号成立. (2)22+3 -2+2+=2+2+ √x2+2 √x2+2 W2+2 2+2· 1 =2, √x2+2 当且仅当√x2+2= ≥干2时取等号，此时2=-1， 显然x的值不存在，所以等号不成立， 所以2+3>2. √/x2+2 20.解：0)=2+9≥2P·9=8,当且仅当=4时， 22 等号成立.故f(x)的最小值为8. (2)因为关于x的不等式x2+bx十c<0的解集为（一2,3）， 所以方程x2十bx十c=0的实数根为-2和3，所以b=一1， c=-6,代入不等式2-bx+c<0,得x2十x-6<0,解得-3< x<2.故不等式x2一bx十c<0的解集为{x一3<x<2}. 21.(1)解：若u=1x2,又1十x2=1,则u=x12=1(1-x1)） =-+0<41<1,所以y=-听+1在(0,2]上单 调递增，在[宁1)上单洞递减，所以当=号时y=一 十取得最大值子，故u的取值范周为(0子]： +1-(+6) 1x2 =x1x2+ 1-(红十)P+2边=42+2= u十2≤号，当且仅当4==2时取等号. 22.解：(1)因为0<x<2,所以4-2x>0, 所以y=/4-2m=9.√2x4-20≤.2z+4-2 2 =2, 当且仅当2x=4一2x,即x=1时等号成立， 所以y=√x(4-2x)的最大值为2； (2)因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0. 又a+b=2,所以a十1+b+1=4, “+6=子(。+6)儿a+)++1门- 4 6+1,4a+1D]=9 +串+]≥5+√·]= //5+6+144(a+1)]1D +1一a十D即一亨时取等号 当且仅当{a+1 b+1,即3 a+b=2 所以中。十中6的最小值为是 1十 4 40 23.解：(1)因为x>1,所以x-1>0, 所以x+1十与=4(x-1)+与十5≥ 24x-+5=9. 当且仅当4(x-1)= 所以4红+1+马的爱小位为9. (2)因为0<x<1,所以x(4-3z)=3·(3x)·(4-3x)≤ 2 2）=31 当且仅当3=4-3，即=号时取￥号， 故z4-3x)的最大值为专 2国为>>0所以+·-品 112 当且权当子存，即a=6时：等号成主. 又品+学≥2，当且牧当品=学时等号成这， 所以++曾品+学8， a la=b 当且收当品空，即6对聚等手 25.解：(1)证明：因为c<b,b<a, 所以c-b<0,b一a<0, 所以(c一b)+(b-a)<0,即c-a<0, 所以c<a,得证； (2)因为a,b,c都是正数， 所以a十b≥2√ab>0(当且仅当a=b时取等号)：b+c≥ 2√bc>0(当且仅当b=c时取等号)：c十a≥2√ca>0(当且 仅当c=a时取等号)； 所以(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2√bc·2√ca=8abc(当 且仅当a=b=c时取等号)， 即(a十b)(b+c)(c+a)≥8abc. 2.2基本不等式（第2课时） 基础过关 1.C因为)=1=+1>≥2，当且仅当工=1时取等号，所 以函数y=+1(x>0)的值战为[2，十0).故选：C 2.D因为a6>0a+6=1,所以。+片=时+安=2 a 十号≥2+2会·君=4（当且收当台=台即a=6=之时 取等号)，即。十石的最小值为4，故选：D, a 3.D因为2a+56=10≥2V2a·5币，所以ab≤号，当且仅当 a=号，b=1时，等号成立，所以ab的最大值为号，故选：D. 4A因为x0+),则x+上≥2·于=2，当且仅当 x=,即x=1时等号成立，所以a≤2，故选：A. 5.C对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条 件，则A不正确；对于选项B,y=2(,2+里=22+3+1) /x2+3 x2+3 2Wx2+3+ 2一，令√2+3=1(t≥5)，即y=2t+ √x2+3 ?(≥)在[原，十∞)上单调递增，则最小值为m 2B+号=83，则B不正确：对于选项C,z(2x) -(x2-2x+1)十1=-(x-1)2+1≤1，则C正确；对于选项 -14 参考答案 D.当a>3时a+。3-a-3+。g+3≥2a-3…a a-3 牛3=7，当且仅当a一3=a3时，即a=5,等号成立，则D不 正确.故选：C. 6.C因为a>0.所以9a+日>26a·石，当且仅当9a= a 即a=了时，等号成立，即取得最小值.故选：C 7.C由题意可设y=a(x-6)2+110(a<0),且当x=4时，y= 70,即70=a(4-6)2+110,解得a=-10,所以y=一10(x一 6)2+110(x∈N*),所以义=-10(x=6)2+110 2 -10(e+2)+120<-20至+120=20，者且仅当= 5,即x=5时取等号，故选：C. 8C因为>1，故x+马=-1+马十1≥2+1=3，当且 仅当x=2时取得最小值3；令x一1=t,t>0,对函数y=t十 +1,其在(0,1)单调递减，在(1，十∞)单调递增，无最大值. t 故>1时，+无最大值，故选：C 9B根据，2 (a,b>0),当且仅当a=b时，取等 2 号化简可得日+石≥千。因为>)>，所以一y之0… 4 y>0,所以用+>6可得y十之 ”x-y'y-之x-, 当且权当工一y=y一，即2y=x十：时，取等号，又因为一—习 1 十1≥恒成立，所以k≤4，即k的最大值是4.故选：B. y一之x-g 10.A因为ab=8,所以2+=a-》2+2山=a-6+15 a-b a-b a-b' 因为a>4,所以a-6>0,所以a-6十156≥ 2√/(a-b)·16 2一b一8.即2十≥8，当且汉当a一b=4时，等 号成立，故心十公-2的最小值是6.故选：A a-b 1.cD对选项A+品=（受+号）信+)=是十 2m 2 m+n=2时，即m=2√2-2，n=4-2√2时取等号，则A错 误；对于选项B,(√m+)2=m十n十2mm=2+2√mm≤ 2十m十n=4,当且仅当m=n=1时等号成立，则√m十√n 2,即√m十√n的最大值为2，则B错误；对于选项C,m十n≥ 2m,即m<(生）=1，当且仅当m=%=1时，学号 成立，则C正确；对于选项D,m2十n2=(m十n)2一2mn= 4-2m≥4-2(m2)）=2,当且仅当m=n=1时，等号成 立，则D正确，故选：CD. 12.ABD对于A,因为x,y都为正数，且2x十y=1,所以2xy≤ (2)=十，当且仅当2x=y即x=十y=合时取等 号，所以2y的最大值为，所以A正确，对于B,周为2x十 y=1,所以4x2+y2=(2x+y)2-4.xy=1-4xy,由选项A 可知xy≤名，所以42+y2=1-4xy>2,当且仅当x 子=合时取等号，所以42+的接小值为子，所以B正 1 确时于C因为2x+=1.所以+≤（中）= 子，当且仅当=x十y,即x=合y=0时取等号，但2y都 1