2.1 等式性质与不等式性质(第1课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

(4)平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行 时，两直线没有交，点，故命题“平面上任意两条直线必有交 点.”为假命题. 10.解：(1)对于命题p,令函数g(x)=x一2x一a,则函数g(x)= x2一2x一a在[1,2]上单调递增，因为命题p为真命题， 所以9即图解择-10 (2)依题意可得B=「一1,0]，因为B二A,A=[一1，m],所以 m≥0. 1.5.2全称量词命题和存在量词命题 的否定 知识梳理 知识点 (x)37(x)3(x)H(x) 基础过关 1.B全称量词命题的否定是存在量词命题，把“H”改为“]”， 把“≥”改成“<”.故选B 2.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p的 否定为3x∈(0，十0)，3x十1≥0.故选：D. 3.A由题意，命题“Hx>0,x2一x一1>0”是全称量词命题，根 据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“了x>0, x2-x-1≤0”.故选：A. 4.A原命题的否定是：3x0∈R,x0一|x0|<0,A正确，故 选：A. 5.C命题Vx≠0z十2>2E~的香定是：1x≠0，x+是< 2√2，故选：C 6.A命题“3x0≥0，e=x0十1”的否定是x≥0，e≠x+1. 故选：A. 7.D由题意，命题p:Hx∈[1,2]，x2一x>0,由全称命题的否 定为存在命题，可得：一p为3x∈[1,2]，x2一x≤0.故选：D. 8,ABD选项A,由a>1,能推出】<1，但是由】<1，不能推 出a>1,例如当a<0时，符合<1，但是不特合a>1,所以 “a>1"是“1<1”的充分不必要条件，故A正确；选项B,根据 命题的否定的定义可知：命题“若x<1,则x2<1”的否定是 “存在x<1,则x2≥1”，故B正确；选项C,根据不等式的性质 可知：由x≥2且y≥2能推出x2十y2≥4，充分性成立，故C 错误；选项D,因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠ 0,由ab≠0可得a≠0或b=0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要 不充分条件，故D正确.故选：ABD. 9.CD对于A中，2是一个素数，其中2是偶数，所以A是假命 题；对于B中，对于方程x2+2x十3=0，其中△=22一4×3= 一8<0，所以不存在实数，使得x2十2x十3=0成立，所以B是 假命题；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得 命题“Hx∈R,x+|x|≥0”的否定是“3x∈R,x十x|<0” 所以C是真命题：对于D中，根据全称命题与存在性命题的关 系，可得命题“3x∈R,x十20”的否定是“x∈R,x十2> 0”,所以D是真命题.故选：CD. 10.AD对于A,x2≥0，x2+1≥1>0，所以A正确：对于B, 取4=-2,6=-1满足a<6<0,但不满足是<方，所以B 错误；对于C,对顶角一定相等，所以C错误；对于D,取x= 4,则x2一2x=8>4,所以D正确.故选：AD. 11.AD对于A选项，若ac2>bc2,则c2>0,由不等式的性质可 得a>b,即“ac2>bc2”→“a>b”,若a>b,取c=0,则ac2= bc2,即“ac2>bc2”牛“a>b”,故“ac2>bc2”是“a>b”的充分不 必要条件，A对：对于B选项，若xy>0,不妨取x=一1，y= 一1，则x十y<0,即“xy>0”中“x十y>0”,若x十y>0,取 x=一1，y=2,则xy<0,即“xy>0”牛“x+y>0”,所以， “xy>0”是“x十y>0”的既不充分也不必要条件，B错；对于 C选项，取x=√2为无理数，则x2=2为有理数，C错；对于D 选项，命题“3x∈R,x2十1=0”的否定是“Hx∈R,x2十1≠ 0”,D对.故选：AD 1 12.答案：a≥- 解析：因为命题p:Hx∈R,x2十x一a>0为假命题， 所以它的否定7p:3x∈R,x2十x一a≤0为真命题， 参考答案 所以△=12-4×(-a)≥0，解得a≥- 4 故答案为：≥-子 13.答案：Vx∈R,x2≤2 解析：，命题：3x∈R,x2>2, .命题p的否定为：Hx∈R,x2≤2 故答案为：Hx∈R,x2≤2. 14.答案：x∈R,x<1 解析：根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定 ∴.命题“3x∈R,x≥1或x>2”的等价条件为：“3x∈R,x≥1”， ∴.命题的否定是：Hx∈R,x<1. 故答案为：Hx∈R,x<1. 15.答案：Vx∈R,x2-x十1≥0 解析：命题“3x∈R,x2-x十1<0”的否定是“Hx∈R,x2 x+1≥0”. 故答案为：Hx∈R,x2一x+1≥0 16.答案：Vx≥0，x2-2x-3≠0 解析：命题3x≥0，x2-2x-3=0的否定是：1x≥0，x2 2x一3≠0 故答案为：Vx≥0，x2一2x-3≠0. 17.答案：Hx∈R,|x+√x<0. 解析：特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结 论进行否定即可，命题“]x∈R,|x十√E≥0”的否定是 “Hx∈R,|x|+√x<0”, 故答案为：Hx∈R,x十√x0」 18.答案：Hx∈R,x十60 解析：p:3xo∈R,xo十6>0，则p:Hx∈R,x十60， 故答案为：x∈R,x十6≤0. 19.解：(1)含有特称量词存在，命题为特称命题， 命题的否定是：对任意一个实数x,都有x2十2x十3>0，该命 题为真命题. (2)含有特称量词有些，命题为特称命题， 命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为 假命题. (3)含有全称量词每一个，命题为全称命题， 命题的否定是：方程x2一8x一10=0的至少有一个根是奇 数，故命题为假命题， 20.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是 全称量词命题， 又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x∈R,使x2十x十1=0成立， 即“3x∈R,使x2+x十1=0”， 因为△=一3<0，所以方程x2十x十1=0无实数解， 此命题为假命题， (2)由于“3x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在 量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题， 又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x,都有x2十3x十5>0 成立 即“Hx∈R,有x2+3x+5>0” 因为△=一11<0，所以对Hx∈R,x2十3x十5>0总成立， 此命题是真命题. 2.1 等式性质与不等式性质 (第1课时) 知识梳理 知识点1 差与0的大小关系 知识点2 ab,c>d→a+c>b+da>b>0,c>d>0→ac>bd 基础过关 1.C设软件x片，磁盘y盒，x,y∈N,则60x十70y≤500，x≥ 3,y≥2.当x=3时，y=2,3,4满足条件；当x=4时，y=2,3 满足条件；当x=5时，y=2满足条件；当x=6时，y=2满足 条件：故共有7种方案.故选：C. 2.D因请木工每人需付工资800元，木工x人，则需付木工工 资800x元，因请瓦工每人需付工资700元，瓦工y人，则需付 瓦工工资700y元，于是得完成这项装修工程，共需付工资 (800x+700y)元，而工人工资预算为20000元，因此有：800x 数学必修第一册 +700y≤20000，即8x+7y≤200，所以x,y满足的关系式是： 8x十7y200.故选：D. 3.C由a>6>1,有y-2=6!-么=ab+a=ab-b a+l a (a+1)a 。>0即1>%，由a>6>1,有2-为=名-吕 (a+1)a a a-l 66叶0>≥0，即2>，所以y≥2>为： a(a-1) 选：C. 4.B-1<a<0,.1+a>0,0<-a<1.∴.-a-a2=-a (1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)>0..-a>a2>-a3.故 选：B. 5.A图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，面积S=号a2+ 子.因(2)是一个矩形，面积S,=a6可得：之(a2+6)>a6 (a≠b).故选：A 6.C由题意知a>4b,根据面积公式可以得到(a十4)(b十4)= 200.故选：C. 7.B分别设红、黄、蓝、绿各有a,b,c,d个，且a,b,c,d为正整 数，则由题意得a≥c十1，c≥d十1，d≥b十1,2b≥a+1,可得 b≥4，所以a≥7，c≥6，d≥5，即至少有4十5+6+7=22个.故 选：B. 8.答案：m≥n 解析：，m-n=(2a2+2a+1)-(a十1)2=a2≥0 .'.m≥n 故答案为：m≥n. 9.正数0负数a一b>0a一b=0a-b<0. 10.答案：么<6士m(a>6>0,m>0) aa十m 解析：，a克糖水中有b克糖， 糖水的浓度为：名： a克糖水中有b克糖(a>b>0),若再添m克糖(m>0). 则糖水的浓度为十m】 a+m' 文糖水变甜了，说明浓度变大了， :.bsbtm aa+ma>0,b>0,a>b,m>0. 故答案为 ,b<b+m,(a>b>0,m>0). aa十m 11.答案：(x十1)(x+5)<(x+3)2 解析：(z+1)(x十5)-(x+3)2 =-4<0, .(x+1)(x+5)<(x+3)2, 故答案为：(x+1)(x+5)<(x+3)2 12.答案：14 解析：设高一年级选手人数、高二年级选手人数、高三年级选 手人数、教师选手人数分别为a,b,c,d,且a,b,c,d为正 整数， fa≥b+1 则b⊙c+1 c≥d+1, 13d≥a+1 从而3d≥a+1≥b+2≥c+3≥d+4, 「d≥2 解得c≥3 ìb≥4 a≥5 故选手至少有2十3十4十5=14人， 13.解：(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 所以0<≤18，这时茶国的另一边长为02-(15-号)m, 所以菜国的面积S=z(15-乏)， 依题意有S≥110，即x(15-号)≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 0x18, {(15-)≥110. (2)因为矩形的另一边长15-受<11，所以≥8， 又0<x≤18，且x11,所以8x11. 13 14解后+会+)=（后）+（会）√日 (6-6)F6-面=a-(√g√日) 当a≥6时w瓜-0√日√F≥0 (a-6)√gF)≥0. 即&+么>≥a+万： 当a<b时6-<0√层√臣<0. -层2)>0 即&+么>a+万： 综上所得公+么≥石+石 Nb√a 15.解：1-1=b-a a b ab a>b>0 .b-a<0,ab>0, 6<0即日< ab 16.解：-22_1-2 x2+5x1+5 =1-2x2(+5)-1-21)(2+5) (x2+5)(x1+5) 11(x1-x2) (x2+5)(x1+5) x2>x1>-5, .1-x2<0,(x2+5)(x1+5)>0, 兽碧 2.1等式性质与不等式性质 (第2课时) 基础过关 1.DA.当a=0,b=1时满足a<b,但此时a2=ab=0,故A选 项错误；B.当a=一2，b=0时满足a<b,但此时ab=b2=0,故 B选项错误；C.当a=一2，b=0时满足a<b,但此时a2>b2, 故C选项错误；D.由a<b得：a一2b<b一2b,即a一2b<一b, 故D选项正确，故选：D 2.A√a<b,显然a,b均大于等于0，两边平方得：a<b,A正 确；当a=一1，b=0时，满足a>b2,但a<b,B错误；若a>b, 当c=0时，则ac2=bc2=0,C错误；若ac>bc,c<0,则a<b, D错误.故选：A. 3.D对于A,令a=1,b=一1，c=一2，d=一3，则ac=一2< 3=bd,∴.A错误；对于B,令a=1,b=2,c=-1,则ac>bc,但 a<b,.B错误；对于C,令a=2,b=1,c=1,d=0,满足a>b, >d,但a-G=b-dC错：对于D,因为号<号，所以2> 0,不等式两边同乘以c2得：a<b,D选择正确.故选：D. .CA选项，若a=-1,6=1,满足日<石但a<b,故推学不 出a>b,A错误；B选项，也是如此，若a=一1，b=1,满足 <0<石，但a<6,B错送：C选项，因为<石<0，故a< a 0,b<0,不等式两边同乘以ab(ab>0),不等号方向不改变，故 a>b,是a>b的充分条件，当a>b时，令a=2,b=1,推导不 出<<0：综上：<行<0是>b的充分不必受条件， a b C选项正确：D选项，若a=1,6=,满足日>古，包a<6,D 选项错误.故选：C. 5.C对于A:当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc,故A不正确： 对于B当a>6时，取a=16=-1时，有>行故B不正 82.1等式性质与不等式性质（第1课时） 2.1等式性质与不等式性质（第1课时） 2.完成一项装修工程，请木工每人需付工资 门知识梳理 800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人 知识点1两实数大小关系的基本事实 工资预算为20000元，设请木工x人，瓦工 a>b台a-b>0;a=b=a-b=0;a<b台a- y人，则x,y满足的关系式是 () 依据 b<0 A.8x+7y<200 B.8x+7y≥200 C.8x+7y=200 D.8x+7y≤200 确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定 结论 它们的 atf'y=b 3.设a>6>1,y=b士，y 知识点2等式与不等式的性质 y1,y2y3的大小关系是 等式 不等式 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 对称性 a=bb=a a>b-b<a C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 传递性 a=b,b=c→a=c a>b,b>c→a>c 4.已知 -1<a<0,那么-a,-a3,a的大小关 a>b→a+c>b+c 系是 ( ) 加法 a=b→a±c=b±c A.a2>-a3>-aB.-a>a2>-a C.-a3>-a>a2 D.a2>-a>-a3 ab,c>0→ac>bc; 5.如图两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰 a>b,c<0→ac<bc 直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图 a=b→ac=bc; 乘法 a=b,1 形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并 a-b c≠0 C 将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表 a>b>0→a">b” 示出来 (n∈N,n≥2) 【知识拓展】 1.几个同向不等式的两边分别相加，所得不等 式与原不等式同向，即若a1>b1,a2>b2,…, (1) (2) an>bn,则a1+a2十…+an>b1+b2+… +8. A. a2+b)>ab 1 1 B.2(a+)<ab 2.几个两边均是正数的同向不等式的两边分 别相乘，所得不等式与原不等式同向，即若 C.2(a2+6)≥a6 D.a2+b)≤a6 a1>b1>0,a2>b2>0,…,an>bn>0,则a1a2 6.如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建 …an>b1b2…bn 造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽 口基础过关 b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是 一、单项选择题 1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购 2m 买单价分别为60元、70元的单片软件和盒 装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至 2 m 仓库 2 m 少买2盒，则不同的选购方式共有() 绿地 2m A.5种B.6种C.7种D.8种 17 数学必修第一册 答题栏 A.a>4b (1)若要求菜园的面积不小于110m2,试用 1 B.(a+4)(b+4)=200 不等式组表示其中的不等关系； 2 a>4b (2)若矩形的长、宽都不能超过11m,试求 3 i, x满足的不等关系 4 C.a+4b+4)=20 a>4b 5 D. 6 4ab=200 77.2021年是中国共产党成立100周年，为了庆 祝建党100周年，学校计划购买一些气球来 布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、 蓝、绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿 色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则 购买的气球最少有 个 () 14.比较十b与，a+5(a>0,b>0)的大小. A.20 B.22 C.24 D.26 二、填空题 8.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的 大小关系是 9.实数大小比较的基本事实，如果a一b是 ,那么a>b;如果a-b等于 那么a=b;如果a-b是 ,那么a< b.反过来也对.这个基本事实可以表示为： a>b台 15.已知a>6>0,证明：日<行 a=b台 a<b台 10.请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个 不等式： (设糖水为a克， 含糖为b克，加入的糖为m克). 11.(x十1)(x+5)与(x+3)2的大小关系为 12.2021年是中国共产党成立100周年，某校 为了庆祝建党100周年，组织了一系列活 动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高 一年级选手人数多于高二年级选手人数， 16.已知x>41>-5,证明：2<1-2 x2+5x1+5 高二年级选手人数多于高三年级选手人 数，高三年级选手人数多于教师选手人数， 教师选手人数的3倍多于高一年级选手人 数，则参加红歌会的选手至少有 人 三、解答题 13.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长为18m,靠墙的一边长 为xm. 18