第23章 解直角三角形（铺路帮手）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

3.B4.D 5.B【解析】在图2中连接BD,由题意得，AE=AC 'ABAD∠A= ∠A,△AEF∽△ABD,AS=EF22 BBD5=BDBD= 5cm,5-2=3(cm).故选B. 6.600 71.05【解析】由题意可知，AE=号AB=45里，AF= 2AD=3.5里，：四边形ABCD是矩形，EG⊥AB,FH1 AD,.∠HFA=∠DAB=LAEG=90°，.FA∥EG,.∠HAF FH AF FH3.5 =LG△HFM△MBG,EAGE,即4515， 解得： FH=1.05,即FH为1.05里. 8.证明：.：∠ABC的平分线为BE,AD为高，∴.∠ABE= BD ∠EBC,∠BDF=∠BAE=90°，.∴.△BDF∽△BAE,. AB BF (4分) BE .·∠BAC=∠BDA=90°，∠ABC=∠DBA,∴.△ABC AB BD BF AB △DBA,.BC-AB'BE BC (9分) 9.(1)证明：.0C=80cm,0D=120cm,. 0C_2.0A 0D30B 2 OA OC 3 OB-ODLAC0C=∠B0D,.△A0CM△B0D, ∠A=∠OBD,∴.AC∥BD: (4分) (2)解：小红的连衣裙会碰到地面， (5分) 理由如下：EF∥BD,.△OEF∽△OBD,. OH OE OG OB 0H0E1 2OE=EB,OB=OE+EB,∴.OB=3OE,∴. 0G0B3 0G=30H=72cm. (8分) 设点0到AC的距离为h,由(1)可知：△AOC∽△BOD: h OA 2 六0c0B3.h= 20G=48cm,72+48=120<126, .小红的连衣裙会碰到地面. (10分) 位似图形图形与坐标 1.B2.A3.B4.B 铺5.A【解析】根据题意可知，x-2=-3,y=2,x=-1,y=2, 路 .原式=（-1+2)2=1.故选A. 6A【解析】过点A作AD⊥OB于点D,A'E⊥x轴于，点E, 手 .AD∥A'E,.△OADM△OA'E,在等边三角形OAB中， OD AD 1 OB=OA=2,OD=BD=1,∴.AD=√3.. 案 OE AE-3A'E =33.33-√3=23.∴.B'的坐标为(4,2√3).故选A. 7.B【解析】.平行四边形OABC的顶，点O(0,0),B(2 2),C(1.6,0.8),..A(0.4,1.2),将平行四边形先沿着y 轴进行第一次轴对称变换，A1(-0.4,1.2),所得图形再 沿着x轴进行第二次轴对称变换，A,(-0.4,-1.2),第三 次轴对称变换，A3(0.4,-1.2),第四次轴对称变换，A4 (0.4,1.2),即A,点回到原处，即每4次轴对称变换重复 一轮，2026÷4=506…2，.经过第2026次变换后，平行 四边形顶，点A的坐标为(-0.4，-1.2).故选B. 8.9:4 9.-6【解析】连结OA,.·△ABC与△DOC的位似比为1： BC 1 BC 1 3 3, OC3B=4SRG=SAAm=4SAAR= 3,.k=-6. 10.(0,2) 11.(3,2)或(-9，-2)【解析】当x=0时，y=1,当y=0 时，x=-3,则点B的坐标为(0,1)，∴.A(-3,0) OB OA :△B'0'C∽△B0C,且相似比为2：1，心0B0A 20B'=2,A0=6,.B'(3,2)或(-9，-2). 追梦之旅铺路卷·九年 12.解：△ABC与△DEF位似，点0是位似中心， △ABC∽△DEF,AB∥DE,△OAB△ODE,OD OA AB (3分) DE 0AAD=2:3,.0A:0D=25, AB2.S△ABC= ·DE5,心SADEF (设△C的面积为，△nP的面 积为25kcm2,.25k-4k=21,.k=1,.△ABC的面积为 4cm (8分) 13.解：(1)△AB,C,如图所示， (3分) (2)△A2B2C2如图所示. (6分) (3)Sa4,9=6x8- 2x6x4 8x2 ×6×2=48-8 2 12-6=22. (9分) 用 封祛由 第23章解直角三角形 测量直角三角形的性质 1.C2.B3.B 4.C【解析】取CF的中点T,连结DT,AT.∠BAC=90°， FD⊥BC,.∠CAF=∠CDF=90°，AT=DT=2CF,. TD=TC=TA,∴.∠TDA=∠TAD,∠TDC=∠TCD,.: ∠ADB=45°，.∠ADT+∠TDC=135°，.∠ATC=360°-2 ×135°=90°，.AT⊥CF,CT=TF,∴.AC=AF,.∠AFC= 45°，.∠BFD=45°-32°=13°，∠BDF=90°，.∠B= 90°-∠BFD=77°.故选C. 5.D【解析】：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC =2cm,∴.AB=2BC=4cm,.'BC=2cm,D为BC的中点， .BD= 2BC=1cm,若LBED=90°，当A→B时， ∠ABC=60,LBDE=30°，BE=,BD= 2cm,..t= 3.5,当B→A时，t=4+0.5=4.5.若∠BDE=90°时，当A →B时，∠ABC=60°，∴.∠BED=30°，.BE=2BD= 2cm,∴.t=4-2=2,当B→A时，b=4+2=6(舍去).综上可 得：t的值为2或3.5或4.5.故选D. 6.57.4 8.22【解析】∠CAD=∠CAB,∠CAB=30°，∴.∠CAD= 30°，∠ADC=90°，点F是AC的中，点，AC=4,.DF= AF= 2AC=2,.∠CAD=LADF=30°，.∠DFC=∠CAD +LADF=60,:E、F分别是BC、AC的中点，EF= AB=2,EF∥AB,∴.∠EFC=∠BAC=30°，∴.∠EFD= ∠EFC+LCFD=90°，在Rt△DFE中，DE=√DF2+EF= √J22+22=2√2 9.解：FG⊥AC,DC⊥AC,FG∥DC,.△BEF∽△BHD, FE AG DH AC (4分) AG=1.6m,CG=4.8m,EF=1.4m,0i.6+48,解 得DH=5.6m,∴.5.6+1.2=6.8(m). (9分) 10.(1)证明：BM⊥AC,点D是BC的中点，.BD=CD= DM-2 BC.DN=2 BC,..DM DN BD=CD,. ∠DBN=∠BND,∠DNC=∠DCN. (3分) '∠NBD+∠BNC+∠NCD=180°，.2∠BND+2∠CND= 180°，.∠BND+∠CND=90°，即∠CNB=90°，.CN⊥ .·HS·数学第27页 AB. (6分) (2)70 (8分) 11.解：(1)BC⊥AD,∴.△ABC为直角三角形.在Rt △ABC中，AC=√AB2-BC=7(米)，∴.AD=AC+CD=7+ 1.8=8.8(米).答：此时风筝离地面的垂直高度AD为 8.8米. (5分) (2)CE=AC+AE=7+8=15(米)，由题意可得：EF=AB= 25米，在Rt△EFC中，CF=√EF2-EC=20米，.BF= BC-CF=24-20=4(米)，答：BF的长度是4米.(9分) 锐角三角函数 1.C2.A3.B4.B5.C 6.C【解析】sin=2,ca Γ2，C0sB= 2,LA,∠B都是锐角， ∠A=45°，∠B=60°.∴.∠C=180°-（∠A+∠B)=75°.故 选C 7.D【解析】设BC=x,则AB=3x,由勾股定理得，AC= 22,amB=1C22=22.故选D BC x 8.D 9.B【解析】：EH/∥CD.△AEH∽△ACD.一AHAD EH CD 4,设EH=3a,AH=4a,HG=GF=3a,EF∥AD. ∠AFE=∠FAG.tan∠AFE=tan∠FAG=GF-,3a AG 3a+4a 3 故选B 【解题技巧】根据题意可知EF∥AD,由该平行线的性质 推出△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比 例和锐角三角函数的定义解答. 103 2 11.(3,1)12.6-2 4 3 3 13.解：(1)原式=2x2+3x24x1=1 24= 2 (4分) (2)原式=√3-1+2× 2+4=23+3. (8分) 14.解：根据图形有∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠 的性质，得∠EFC=∠D=90°，即∠AFE+∠BFC=90° (2分) 而在Rt△BFC中，有∠CBF=90°，∴.∠AFE=∠BCF,根 据折叠的性质，有CF=CD. (4分) 又.BC=8,CF=CD=10,.由勾股定理，得BF=6,则 BF 3 tan∠BCF= (6分) BC 4 故an∠AFE=tanLBCF=3 41 (8分) 15.解：：∠A=60°，∴.tanA=√3.把x=√3代入方程2x2- 3mx+3=0得2(V5)2-35m+3=0,解得m=√5.(4分) 原方程为2-35x+3=0,解得，=月，与= 2 (6分) 4co8B=3,即∠B=30.∠C=180°-∠A-∠B=90, 2 即△ABC是直角三角形. (8分) 16.解：(1)由题意可知：S△8c 2BC·AD=48,BC=16, AD=6,在△ABD中，AB=12,inB=AD-6-1 AB122 ∠B=30°. (5分) (2).·BC=16,BD=AB·cosB=6W3,∴.CD=16-6√3.在 Rt△ACD中，CD=16-6√3，AD=6,.tan LDAC= 663弩5 (10分) 6 追梦之旅铺路卷·九年 解直角三角形 1.C2.B3.A 4.C【解析】由题意得，在Rt△ADC中，DC=AD·tan45°= 2,在Rt△ABD中，BD=AD·tan60°=2√3，∴.CB=BD-DC =(2√3-2)米.故选C. 5.65tang 6.40.5【解析】：AB=AC,AD为BC边上的高，.BD= CD,:BC=36cm,.BD=18cm,∠ABC=66°，∴.在 Rt△ABD中，∴.AD=BD×tan∠ABC=18×tan66°≈18× 2.25=40.5cm. 7.解：由题可知EB⊥CD,ED=EC,∴.∠EBC=90°，由题意 得：EB=3.1-1.2=1.9(m). (3分) cE=80e,BC=0p=1.94m,1.94+1L34 3.88(m).答：两根拉绳的总长度至少为3.88m.(9分) 8.解：(1)过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H, AG=0n=n60·AB=7×16=8v5(米)5a 2DH·CB=2×8,3x8=325(平方米)，需要填士石 方体积为：323×120=38403(m3) (5分) (2)HC=√CD2-Df=√(163)2-(83)2-24(m), H孤=24+8=32(m).DE的坡度=D明V3 HE 4 (9分) 9.解：(1)根据题意可知AB=20km,∠BAD=37°，∴.BD=AB ·tan37°≈20x0.75=15(km). (3分) 15÷15=60(kmh),答：甲船的航行速度为60kmh; 60 (5分) (2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过点D作 DF⊥CE于点F,:∠CAE=45°，∠AEC=90°，.△AEC 是等腰直角三角形，∴AE=CE. (6分) 设AE=CE=akm,:LFEB=∠EBD=∠DFE=90°，.四 边形BEFD是矩形，∴.EF=DB=15km,DF=BE=(a-20) DF km,∴.CF=(a-15)km.在Rt△CDF中，tan∠DCF= a-20√5, a-15=33 a-15)=a-20,解得：a=45+5,3 2 (7分) ·DF=a-20=5+53 路 ,CD=2DF=5+53≈13.7(km). 答：乙船从C处航行到D处的距离约为13.7km.(9分) 手 第24章随机事件及其概率 案 1.A2.C3.C 4.B【解析】由题意可得，盒子中白色球有：60×(1-30%- 40%)=18(个).故选B. 5.C 6.D【解析】从统计图中可得该事件发生的可能性约在 35%左右，A的概率为 1 1 ≈16.67%，B的概率为2= 50%,C的概率为 4 6 ≈66.67%，D的概率为 3 33.33%.故选D. 7.C【解析】运用列表法表示如下，其中《论语》、《孟子》、 《大学》和《中庸》分别用A,B,C,D表示 B C A (A,B) (A,C)(A,D) B (B,A) (B,C)(B,D) C （C,A)(C,B) (C,D) D (D,A)(D,B)(D,C) 级·HS·数学 第28页第23章解直角三角形 测量直角三角形的性质 测试时间：40分钟 测试分数：50分 一、选择题（每小题3分，共15分） 5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 1.景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看 60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E 成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→ (如图2)，若AB=AC=26,AD⊥BC于点D, ∠ABC=30°，则AD的长为( ) A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0 A.11 B.12 C.13 D.14 ≤t<6),连结DE,当△BDE是直角三角形 时，t的值为( A.2 D 图2 T 图1 2345678 B.2.5或3.5 第1题图 第2题图 2.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边 C.3.5或4.5 上三个点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7 D.2或3.5或4.5 (单位：cm),则CD的长度为( 二、填空题（每小题3分，共9分） A.1 cm B.3 cm 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E, C.6 cm D.7 cm F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则 3.生活情境·平板支架现有一个可调节角度 EF的长为 的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其 支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度 AC=20cm时，0C=15cm;当压低支撑臂 150° OA到OA'的位置时，点A'到桌面的高度 第6题图 第7题图 A'D=7cm,则此时OD的长度为( A.25 cm B.24 cm 7.「生活情境·手扶电梯如图是某商场一楼与二 C.23 cm D.20 cm 楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别 表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°， BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升 的高度h是 m. C BD 第3题图 第4题图 8.如图，在△ABC中，AB=AC=4, 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在 ∠CAB=30°，以AC为斜边作 BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于 Rt△ADC.使∠ADC=90°，∠CAD=B1 F,交AC于点E,连结AD、CF,若∠CFE= 32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是() ∠CAB,E、F分别是BC、AC的中点，连结EF、 A.32°B.64° C.77° D.87° DE、DF,则DE的长为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第19页 三、解答题（共26分） 11.(9分)（北京中考）风筝，自春秋时期起 9.(9分)如图，王老师为测得学校操场上小树 源，至今已承载两千多年的智慧.为探索其 CD的高，他站在教室里的点A处，从教室 蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测 的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠 量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实 HD.经测量，窗口高EF=1.4m,树干高CH 践活动，探索过程如下： =1.2m,A,C两点在同一水平线上，点A与 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际 墙根点G的距离为1.6m,点C与墙根点G 情况，画出了如图1所示的示意图，其中点 的距离为4.8m,且A,G,C三点在同一条直 A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的 线上.请根据上面的信息，帮王老师计算出 手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长 小树CD的高. 度，AD为风筝到地面的垂直距离。 【测量数据】小组成员测量了图1相关数 据，测得BC长为24米，根据手中剩余线 的长度计算出风筝线AB的长为25米，牵 G 线放风筝的手到地面的距离（即CD的长） 为1.8米 【问题解决】根据以上信息，解决下列 问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时 风筝离地面的垂直高度AD; 10.(8分)如图，在△ABC中，BM⊥AC,垂足为 (2)如图2，若风筝沿DA方向再上升8米 M,N为AB上的一点，D为BC的中点，DW 到达点E,且风筝线的长度不变，放风筝的 1 28C 同学沿射线BC方向前进，放风筝的手水 平移至点F处，则BF的长度是多少米？ (1)求证：CN⊥AB. E脚 (2)若∠A=55°，则∠MDN= 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第20页 锐角三角函数 测试时间：40分钟 测试分数：70分 一、选择题（每小题3分，共27分） A.a2+b2=c2 B.sinB=cosA 1.(海南中考)三角形在正方形网格纸中的位 C.tand=a D.sin2A+cos2A=1 置如图所示.则sina的值是( c 、3 B.3 c 4 D. 5 6.在△ABC中，若sinM=y2 2”cosB=,∠A P(3,m) ∠B都是锐角，则∠C的度数是() A.105° B.90° C.75 D.120° 0 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直 第1题图 第2题图 角边BC的3倍，则tanB值是() 2.如图，在平面直角坐标系中，点P(3,m)是 1 B.3 第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹 角a的正切值为子则na的值为 2 C. D.22 4 D. 8在△MABC中，若1sA- 21+(1-tanB)2=0, 3.学科内融合j(兰州中考)点M(-sin60° 则∠C的度数是( cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( A.45° B.60° C.75° D.105 B.( 1 22 9.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都 c(- (日3 在边AD上，若AB=3,BC=4,则tan∠AFE 的值() 4.（成都模拟)如图，梯子跟地面的夹角为 ∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜 人等号 程度之间，叙述正确的是( A.sina的值越小，梯子越陡 B等于号 B.cosa的值越小，梯子越陡 C.tana的值越小，梯子越陡 c等时 D.陡缓程度与∠α的函数值无关 D.随点E位置变化而变化 二、填空题（每小题3分，共9分） 10.若三角形中三个内角的度数之比为1：2：3，则 a B 此三角形中最大锐角的正弦值为 第4题图 第5题图 11.平行四边形OABC在平面直 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, 角坐标系中的位置如图所 ∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不 示.∠A0C=45°，0A=2,0C= 正确的是()》 √2，则点B的坐标为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第21页 12.新定义定义一种运算：sin(a+B)= 15.(8分)在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为 sinacosB+cosasinB,sin(a-B)=sinacosB- 锐角，且tanA,cosB恰为一元二次方程2x2 cosasinB.例如：当a=45°，B=30°时， -3mx+3=0的两个实数根.求m的值并判 m5r+0)-=号号×对-62 断△ABC的形状， 则sinl5°的值为 三、解答题（共34分） 13.(8分)求下列各式的值： (1)2sin30°+3cos60°-4tan45°； (2)tan60°-(4-m)°+2cos30+() 16.(10分)如图，在△ABC中，AD与CE分别 是边BC与AB的高，AB=12,BC=16, SAARC=48. (1)求∠B的度数； (2)求tan∠DAC的值. 14.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC =8,E为AD边上一点，沿CE将△CDE对 折，使点D正好落在AB边上的点F处，求 tan∠AFE. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第22页 解直角三角形 测试时间：40分钟 测试分数：45分 一、选择题（每小题3分，共12分） 50m 1.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我 249 国低空经济高质量发展的重要实践方向.如 第3题图 第4题图 图，在高速公路上，交警在A处操控无人机 4.陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣 巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停， 故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着 探测到它的正下方公路上点B处有汽车发 陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方 生故障，测得点A处到点P处的距离为 距离底座D点2米的A点处测量，塑像底 500m,从点A处观测点P处的仰角为a.已 部C点的仰角为45°，顶部B点的仰角为 知sin≈0.21，cosa≈0.98，tana≈0.21，则 60°，点B、C、D在同一条直线上，则塑像的 可求得点A处到点B处的距离约为( 高度BC为( A.105m B.385m C.490mD.510m A.(22-2)米 B.5米 2 C.(23-2)米 D.(3-1)米 第1题图 第2题图 二、填空题（每小题3分，共6分） 2.如图，春晚《武B0T》节目中，宇树人形机器 5.文化情境·传统文化如图，一座金字塔被发 人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定 现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损.已知 制斜坡舞台完成腾跃动作.若该斜坡的坡度 该金字塔的底面是一个边长为130m的正 为3：4，机器人腾跃点B的水平宽度AC=80 方形，且每个侧面与底面所夹的角都为 厘米，则腾跃点的垂直高度BC为( (0°<α<90)，则这座金字塔原来的高为 A.30厘米 B.60厘米 m(用含的式子表示) C.80厘米 D.120厘米 3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往 目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层 图1 图2 抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城 第5题图 第6题图 的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面 6.生活情境·三角架如图1是一个相机三角 如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为 架，中间部分可近似看成如图2的等腰 24°，则高BC是() △ABC,其中AB=AC,∠ABC=66°，BC= A.50sin24°米 B.50cos24°米 36cm,则高AD约为 cm.（结果保 C.、 留一位小数，参考数据：sin66°≈0.91， 20米 0米 D.50 cos66°≈0.41，tan66°≈2.25) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第23页 三、解答题（共27分） (1)已知需加固的大坝长为120米，求需要 7.(9分)“腊月二十五，推磨做豆腐”.嵊州市 填土石方多少立方米？ 某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的 (2)求加固后大坝背水坡面DE的坡度. 传统习俗.如图1是磨豆腐用的传统工具老 石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘， 一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶 手等.图2是老石磨静止时的示意图，推拉 杆AB及扶手CD平行于水平面，E是天花 板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手CD恰好组 成等腰三角形CDE,此时拉钩E与扶手CD 的中心点B所在的直线垂直于水平面.现 测得推拉杆AB距地面的高度为1.2m,天 花板顶部E距地面3.1m,若∠BCE=80°， 9.(9分)某海域发生事故，故障船只位于D 求两根拉绳的总长度至少为多少米？（结 处（位置如图），位于观测站A的北偏西37° 果精确到0.01m.参考数据：sin80°≈0.98， 方向，甲、乙两艘救援船分别从B,C两地同 cos80°≈0.17，tan80°≈5.67) 时出发，甲在B地位于观测站A的正北方 拉绳 推拉杆 向20km处，乙在C地位于观测站A的北偏 扶手 D 西45°方向，两船均以直线航行前往事故点 BC D处救援，15分钟后两船同时到达D处， 图1 图2 (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从C处航行到D处的距离. (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75，√3≈1.73，√2≈1.41，结果保 留一位小数) 459 8.(9分)水务部门为加强防汛工作，决定对某 水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为 16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为163 米，加固后大坝的横截面为梯形ABED,CE 的长为8米 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九年级·HS·数学第24页