第25章 二次函数 追梦基础训练卷(2)-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

铺路卷 河南专版·HS·（ 九年级数学下 +为期中、期末铺路M为中考、未来铺路 第25章追梦基础训练卷（二） 实践与探素 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 蜘 1.已知二次函数y=x2+bx+1与x轴只有唯一的一个交点，则一元 二次方程x2+bx+1=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 吹 2.跨学科试题·体育如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的 蜘 运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落 地点到出手点的水平距离为( ) A.4-26 B.8 C.4+2√6 D.9 h/米 T -1013 第2题图 第5题图 3.水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒.水火箭在 空中的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系式为h=4t-t2. 当水火箭达到最高点时，其运动时间为( ) A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 爵 4.二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y对应值如表，那么 方程x2+3x-5=0的一个近似根的取值范围是( 郡 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.490.04 0.59 1.16 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 5.如图，二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的 不等式-x2+bx+c<0的解集为( 孙 A.-4<x<1 B.-3<x<1 C.x<-4或x>1 D.x<-3或x>1 6.校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮 架.已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y=x2-4mx+2m2+3m+2 (其中x为水平距离，y为高度，单位：米).根据比赛规则，投篮 架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y=x+1上，才能确保 投篮轨迹与得分线完美契合.求满足条件的m的值为( A1或号 B2成分 c1政号 D.2成兮 7.公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯 性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s(米) 与时间t(秒)的函数关系式为s=20t-5t2,则下列说法正确的 是() A.汽车可以滑行4秒后才停止B.汽车滑行2秒时停止 C.滑行速度先变大后变小 D.滑行的最远距离是22米 8.跨学科试题·物理某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展 开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出 变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所 示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消 耗的电功率P最大为( A.180W B.220W C.240W D.320W AP/W 8ty(m） 165 RR 3m 220V 01 4/A 图1 图2 4m 012345678x(m) 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在一个Rt△MAN内部作一个矩形ABCD,其中AD和AB 分别在两直角边MA、AN上，如果设矩形的一边AB的长为xm, 要使矩形ABCD面积最大，x的取值为( A.1m B.1.5m C.2m D.2.5m 10.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以 用二次函数y=4刻画，斜坡可以用一次函数y=了刻 画，下列结论错误的是( A.当小球抛出高度达到8m时，小球距0点水平距离为4m B.小球距O点水平距离超过4米后呈下降趋势 C.小球落地点距O点水平距离为7米 D.斜坡的坡度为1：3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.二次函数y=ax2+bx+c经过(-2,3)，(6,3)两点，则一元二次方 程ax2+bx+c=3的两个根是 12.若抛物线y=x2-2x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值 范围是 13.某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30 元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多 售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律， 在上述条件不变的情况下，求每件商品降价 元时，超 市的日盈利最大 14.掷实心球是某市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项 目.一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是 一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关 系如图2所示，已知该男生掷球时的起点高度是2m,当水平 距离为5m时，实心球行进至最高点4m处.投掷过程中，实心 球从起点到落地点的水平距离不小于10m,则此项考试得分 为满分20分.按此评分标准，该男生在此项考试 得满 分（填“能”或“不能”）. y(m) 水嘴D 2 (m) 图1 图2 水槽 第14题图 第15题图 15.水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高 速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带。 投射在水幕上.如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P,AB=2m, BP=9m,水嘴高AD=5m(水嘴宽度忽略不计)，则水柱落在地 点C到水嘴所在墙的距离AC是 m. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知抛物线y=x2-ax+2(a-3) (1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； (2)如果有一交点坐标为(3,0)，求a的值 THE ROAD TO 育积A月 17.(9分)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围 成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园ABCD,并用一道篱笆 把花园分为两块，学校已订购篱笆120米. (1)AB边多长时，花园的总面积最大，最大面积是多少？ (2)在花园面积最大的条件下，学校计划给花园里种满牡丹和 芍药，每平方米种植2株，总共能种多少株花（不考虑分隔篱笆 的位置)，若牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计 划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ D B 。21 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴 交于A(-3,0),B(1,0),与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式； (2)若直线y=mx+n与抛物线交于B(1,0),D(-2,a),请直接 写出不等式mx+n>x2+bx+c的解集， D八0 19.(9分)如图1，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一 时刻，桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离 是4m. (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的 函数表达式； (2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下 方且距0点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高 1.68的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否 会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）： ↑y THE ROAD TO B DREAM 0 A 图1 图2 20.(9分)交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续 的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征， 其中流量g(辆/时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆 数，速度v(千米/时)指通过道路指定断面的车辆速度，密度 (辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数.为配合 大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分 数据如下表： 速度v(千米/时)…51020324048… 流量q(辆/时)…55010001600179216001152… (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q,v关系最准 确的是 ;(只填正确答案的序号) ①g=10v+500 ②g=10000 ③g=-2m2+120m 。22 (2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速 度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q,v,k满足q=k.某市交通运行监控平台显示，当12< v<18时道路出现轻度拥堵.试分析当车流密度k在什么范围 时，该路段将出现轻度拥堵. 21.生活情境·露营(10分)近年来，露营成为广受人们欢迎的假 日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引 着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中 抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用.如图 1,这款帐篷搭建时张开的宽度AB=4m,顶部高度h=2m,在 图1中以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直 角坐标系. (1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； (2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子 的数量，图2为一把椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高 度CE=0.72m,宽度CD=0.5m,若在帐篷内沿AB所在的水 平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多 可摆放的椅子数量. 图1 图2 22.（10分)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动， 准备以6元/个的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利 润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销 售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示. (1)求出y与x之间的函数关系； (2)按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售 单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利 润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润 X(个) T-- 300 240 180 120- 00121416元（元/个） 易错 分析 23.新考法·项目式学习(10分)合理设计智慧泉源 为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发 光地砖灯.围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习 【任务一】测量建模 (1)如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周 喷出的水柱为抛物线.经过测量，喷水口距离地面2.25米，在 距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米.学习小 组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的壁 函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式 (不需写自变量的取值范围)； 做题 【任务二】设计方案 心得 (2)喷水池的俯视图如图3所示.若要求喷泉水不落到喷水池 外，喷水池半径至少多少米？ 0。- 熎 图1 图2 图317.解：(1)将A(3,0),B(0,-3)代入抛物线y=ax2-2x+c, 得2330，得83这个抛物线的解折式为y c=-3 =x2-2x-3; (4分) (2)八y=x2-2x-3=(x-1)2-4,a=1>0,当x=1时，y 取最小值为-4 (9分) 18.解：(1)0 (2分) (2)设抛物线解析式为y=m(x+3)(x-1),把(0，-3)代 入得-3=m×(0+3)×(0-1),解得m=1,.抛物线解析 式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3. (7分) (3)x<-1 (9分) 19.解：(1)(1,1) (2分) (2)抛物线C1为y=2x2+3; (6分) (3)y=2(x-1)2+1,2>0,.当x>1时，y随x的增大 卷 而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，当x=1时，y 取最小值1，当x=-2时，y=19;当x=3时，y=9;-2< 1<3,.当-2≤x≤3时，1≤y≤19. (9分) 【方法技巧】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一 是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可 求出解析式， 2解，(1⅓=-1=（之产+子，顶点（分子， (2分) 的顶点坐标为(-1，子-(+10 2(签 案不唯一) (4分) (2②1=t=(x+分2- 4,2=2x2-nx+1=2(x- )2n2-8 一，.“.y1,y2的页点坠标分别为（一2，一4）， 4,8),由题意得-” (n2-8、 =-2x(-3),解得n 8 ±2 (9分) 21.解：(1)y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,.抛物线对称轴 为：x=6,最大值为4： (3分) 把点P(7,a)代入抛物线C:y=4-(6-x)2,得a=4-(6 7)2,解得a=3: (7分) (2)点P'向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到 的. (10分) 22.解：如下图，用描点法画函数图象； (3分) ()y=+1,x取全体实数； (5分) (2)过点P作PB⊥y轴于点B,连结PA.·L,是AM的 垂直平分线，∴.PA=PM,∴.PB=x,PA=y,AB=Iy-2I,在 Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2,.（y-2)2+x2=y2,即y= (10分) 23.解：(1)将A(3,0)代入二次函数解析式y=x2+bx-3,得 32+3b-3=0,解得b=-2; (2分) (2)b=-2,.抛物线的解析式为y=x2-2x-3,将x=0 代入y=x2-2x-3得y=-3,∴.C(0,-3). (4分) 设直线AC的表达式为y=x+n,将点A(3,0),C(0,-3) 代人直线4C的表达式，得{0，解得你3即直 线AC的表达式为y=x-3; （6分) (3)过点P作PHy轴交AC于点H,:点P(m,m2-2m 追梦之旅铺路卷·九年 -3),则H(m,m-3),则SAcm=Saa+SAPHC=2×PHX 40=[(m-39)-(m-2m-3]x3=-m 1 27 (8分)》 8 3 20,当m3时，△4CP面积的最大值为7，此 315 时点P坐标为(2,4)： (10分) 第25章追梦基础训川练卷（二） 答案12345678910 速查ACB BD CBBCD 1.A 【方法技巧】求解抛物线与x轴的公共点问题：(1)根据 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴公共点的个数，可知对 应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况；(2) 根据二次函数解析式，确定对应的一元二次方程的根的 判别式的符号，从而可确定抛物线与x轴的公共点个数。 2.C 3B【解析】小：h=4-2=-2+4,-1<0,.当1=-6=2 2a 时，水火箭达到最高点.故选B 4.B5.D 6.C【解析】y=x2-4mx+2m2+3m+2=(x-2m)2-2m2+3m+ 2,抛物线的顶点坐标为(2m,-2m2+3m+2),顶点落 在直线y=x+1上，∴.将顶点坐标代入直线得：-2m2+3m +2=2m+1,整理得2m2-m-1=0,解得m=1或m=2 故选C. 7.B【解析】小.s=20t-52=-5(t-2)2+20,∴.当汽车滑行2 秒，到达最远距离为20米停止.故选B. 8.B【解析】由题意，得抛物线的对称轴为直线1=2，设抛 物线的解析式为P=a(I-2)2+k,将点(1,165)和(4,0) R入降{642好释投P-51 2)2+220..·a=-55<0,∴.当I=2时，电功率P有最大值 为220，即变阻器R消耗的电功率P最大为220W.故选 B. 9.C【解析】，：四边形ABCD是矩形，∴.ABCD,AB=CD= 、MD_CD x,.△MDC∽△MAN,AM=3m,AN=4m,AMAN 中罗营M0=A0=(3子到m矩形AB c0的面积=0：0=(3-子)=43子 0,∴.当x=- 3。、2时，西银有装大值故选C 2x(-4) 10D【解折]A当y=8时，8=4k之，解得==4， .当小球抛出高度达到8m时，小球距0点水平距离为 加退)=4红子子(：-4)+8，则范畅线的对称轴 为x=4,.当x>4时，y随x的增大而减小，即小球距0 1 点水平距离超过4米后呈下降趋势；C. y=2+4x 1 y=2* 解得/%0色=7 -0x=2 7,则小球落地点距0点水平距离 级·HS·数学第11页 为7米D斜坡可以用一次函数y=2x刻画，心斜坡 的坡度为1：2.故选D. 11.x1=-2,x2=612.c>1 13.10【解析】设每件商品降价x元时，日盈利为w元.根 据题意得：w=(30-x)(100+10x)=-10(x-10)2+4000. ,·-10<0,∴，w有最大值，当x=10时，超市日盈利最大 最大值是4000元. 14.能【解析】设y关于x的函数表达式为y=a(x-5)2+ 4,把，点(0,2)代入表达式，得2=25a+4,解得a=25, 2 2 y=-25(x-5)2+4:令y=0,即0=-)5（x=5)2+4,解得 x1=5+52,x2=5-52<0(负值舍去).5+52>10，. 该男生在此项考试中能得到满分 15.5 16.解：(1)△=a2-8(a-3)=（a-4)2+8>0,∴.不论a为何 实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； (5分) (2)把(3,0)代入抛物线得9-3a+2(a-3)=0,解得a= 3 (9分) 17.解：(1)由题意，设AB边为x米，由题意，得S=x(120- 3x)=-3(x-20)2+1200,.当x=20时，花园面积最大 最大面积S为1200平方米； (4分) (2)1200×2=2400(株)， (5分) 设购买牡丹m株，则购买芍药(2400-m)株，由题意，得 25m+15(2400-m)≤50000，解得m≤1400，.最多可以 购买1400株牡丹. (9分) 18.解：(1)将A(-3,0),B(1,0)代入y=x+bx+c中得 1+6+c=0,解得6=2 ∫9-3b+c=0 {c=一3…抛物线的解析式y=2+2x 3 (5分) (2)当mx+n>x2+bx+c时，-2<x<1. (9分) 19.解：(1)由题意，得B(4,4),点0(0,0)，设二次函数的 表达式为y=a(x-4)2+4,将点0(0,0)代入函数表达 式，解得a=- 4心二次函数的表达式为y=- 4(x 4)2+4=- 42+2x(0≤x≤8)； (4分) (2)工人的头顶不会触碰到桥拱 (5分) 理由如下：由题意得：0.4+2×12=1(m),将x=1代入 1 y=-4t+2x,解得y=1.75.1.75m>l.68m,此时工 人的头顶不会触碰到桥拱 (9分) 20.解：(1)③ (2分) (2)由(1)知，9=-22+120m=-2(u-30)2+1800.-2< 0,∴.v=30时，9达到最大值，9的最大值为1800； (6分) (3)当v=12时，9=1152，此时k=96,当=18时，9= 1512,此时k=84,.当84<k<96时，该路段将出现轻度 拥堵. (9分) 21.解：(1)由题意可得：A(-2,0),B(2,0),顶点坐标为(0， 2).设抛物线的函数表达式为y=ax2+2,将A(-2,0)代 入，得0=4如+2，解得a=- 2y=- 2+2；(5分) 1 1 (2)将y=0.72代入y= 22+2,得0.72=2+2，解 得x1=1.6,x2=-1.6,1.6-(-1.6)=3.2(m),3.2÷0.5 =6.4(把)，.最多可摆放6把椅子. (10分) 22.解：(1)设y与x之间的函数关系为y=x+b,由题意，得 {30=1+的解得台=0放y与￥之间的函数关系 ∫300=10k+b 式为：y=-30x+600; (3分) (2)由题意，得0=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x 3600; (6分) 追梦之旅铺路卷·九年 (3)由题意，得6(-30x+600)≤900，解得x≥15，由(2) 得0=-30x2+780x-3600,.图象对称轴为x= 780 ,2x(-30)13, (7分) a=-30<0,.当x≥15时，w随x增大而减小，.当x =15时，0最大=1350. (10分) 23.解：(1)设抛物线（第一象限部分）函数表达式为y=α(x -1)2+3,将(0,2.25)代入得2.25=a(0-1)2+3,解得a 3 =一4…抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y= 4（x-1)2+3; (5分) (2)当y=0时，子(x-1)2+3=0,解得x=-1,=3 第一象限部分的抛物线与x轴的交点为(3,0)，∴要求 喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少3米.(10分) 卷 第25章追梦综合演练卷 案 答案12345678910 速查CCABBDAABD 1.C 【易错提醒】一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a ≠0)的函数，叫作二次函数，特别地，形如y=（x+1)2 x2,要先将其化为一般形式，得到y=2x+1,即可判断是 一次函数不是二次函数. 2.C【解析】y=(x+2)2+m,该地物线开口向上，对称轴为 直线x=-2,A(-3,y1),B(0,y2),C(2,y3）是抛物线y =(x+2)2+m上的三点，.-2-(-3)=1,0-(-2)=2,2- （-2)=4,4>2>1,.y3>y2>y1故选C. 3.A4.B 5.B【解析】由表可知，抛物线的对称轴为直线x=1,顶，点 坐标为(1,4).x=1时，y=4最大，.抛物线开口向下， 当x<1时，y随x的增大而增大，当x=3与x=-1时，y值 相等.x=-1时，y=1,.x=3时，y=m=1.故选B. 6.D 7.A【解析】函数的对称轴为：x=m,当x<-2时，y随x增 大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，则-2≤m≤0. m2-2m-3=0,解得m=3或-1，故m=-1,则x=0时，y =-2×(0+1)2+4=2.故选A. 8A【解折1=+号+子(1 3 +55< 0,.当x=1时，y有最大值为了，.他能跳过的最大高 度为。m.故选A. 9.B【解析】由题图2得，t=6时点P停止运动，AB=1× 6=6,∴.BC=2AB=12,由点P和，点Q的运动可知，AP=t, BP=6-t,当点Q在BC上时，即0≤tK3时，BQ=4t,过点 P作PM⊥BC于点M.∠B=60°，∠BPM=30°， BM=2BP=2（6-）,在R△BPM中，PM=VBP-BW 1 (6-),此时5w0:PW=2(6-) 3 =-√3+63t,当点Q在CD上时，即3≤t≤6时.：四边 形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,.S△BPO=S△Brc= BC·PM=1X12x6-)=-33+183,由上可知 2 2 当点Q到达，点C时，S=a,即当t=3时，a=-3√3×3+ 18√3=9√3.故选B. 10.D【解析】…二次函数的图象开口向上，a>0.二 次函数的图象交y轴的负半轴于一点，.c<0对称 b 轴为直线x=-1心2 =-1,∴.b=2a>0,∴.2a-b=0,abc <0,故①②正确；：当x=-3时，y=9a-3b+c=0.b= 及·HS·数学第12页