第25章 二次函数 追梦基础训练卷(1)-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

(2)在Rt△CD0中，CD=1.6m,∠C0D=29°，∴OD= CD1.6 tan29°0.55 ≈2.9(m)..:BD=37m,∴.OB=BD-OD= 37-2.9=34.1(m). (6分) 由题意得：∠COD=∠AOB=29°，在Rt△AOB中，AB= 0B·tan29°≈34.1×0.55≈19(m),∴.中国文字博物馆 大门的高度约为19m. (9分) 22.解：(1)由题意，得(100-8-60)(20+2×8)=1152（元） 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元. (3分) (2)设每件T恤衫降价x元，（100-x-60)(20+2x)= 1050. (5分) ∴.x=5或x=25.又.：优惠最大，.x=25.∴.此时售价为 100-25=75(元).答：小明希望每天获得的利润达到 1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定 为75元. (6分) (3)小明每天不能获得1200元的利润， (7分) 理由如下：根据题意得，设当降价m元，（100-m-60) (20+2m)=1200,解得m1=10,m2=20. (9分) 每件T恤衫的利润率不低于55%，∴.100-m-60≥60 ×55%,.m≤7，∴.m无解.∴.小明每天不能获得1200 元的利润 (10分) 23.（1)4 (2分) (2)证明：过点C作FC⊥AC交AE的延长线于点F,, AE⊥BD,.∠AFC+∠FAC=90°=∠ADB+∠FAC,: ∠AFC=∠ADB. (3分) I∠ADB=∠CFA 在△ABD和△CAF中，LBAD=LACF=90°，.△ABD BA=AC ≌△CAF(AAS),.AD=CF,·∠BAC+∠ACF=180°， AB/CF,△MBB∽△FCE..AB_BE (5分) CF CE 又：cr=Am,88器即8.BC=0-8,8分剂 （3)4G的长为5支3 2 (10分) 【解析】在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,AD∥BC, ∠BAF=90°，.∠ABE=∠CBE=∠AEB,.AE=AB=3, 当AF= 3AE=1时，如图1，点G在CD上，BF= √3+1=√10，矩形ABCD中，LBAD=∠D=90° AG⊥BF,∴.∠ABF=∠DAG=90°-∠AFB,.·∠BAF= ∠ADG=90,△ADG△BMF,AG-AD-5 “BFBA3AG= 5W/10 3一；当AF=2AE=2时，如图2，点G在BC上，.BF 3 =√32+22=13，矩形ABCD中，∠BAD=∠ABG= 90°，AG⊥BF,∴.∠ABF=∠AGB=90°-LBAG,':∠BAF AG AB 3 =∠ABG=90,△GBA△BMF,FBFM2AG 313 2 综上所述，4G的长为5⑩或3V国 图1 图2 九年级下册 第25章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查DB DBC BDD D C 追梦之旅铺路卷·九年 1.D 2.B【解析】由题意，得y=-2x+4x+3=-2(x-1)2+5,. 抛物线的顶，点坐标是(1,5).故选B. 3.D4.B 5.C【解析】.·二次函数关系式为y=-(x-2)2+c,且-1< 0,∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,离对称轴越 近y值越大.三点为(-2，y1),(3,y2),（7,y3),y2>y1 >y3故选C. 6.B【解析】函数图象经过(0,1)，（1，-1)，(3,1)，将其代 (c=1 入函数解析式y=ax2+bx+c中，得{a+b+c=-1,解得 9a+3b+c=1 a=1 b=-3,∴.二次函数解析式为y=x2-3x+1=（x- 32- (c=1 2 “>0,函数图象的开口向上；对称轴为直线x= 5 3 大 2 5 3 且y最小值为- ,无最大值，当心之时，y随x的增 案 大而增大.·2> 2心当x2时，y随x的增大而增大故 选B. b 7.D【解析】由二次函数图象，得出a<0,2a<0,2a<0, b<0,故一次函数y=2ax+b的图象经过第二、三、四象限， 故选D. 8.D 9.D【解析】Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3, ∠AOB=∠A=45°，.CD⊥OB,∴.CD∥AB,∴.∠OCD= ∠A,∠A0D=L0CD=45°，0D=CD=t,Sa0cm=2 x0DxC0=20≤≤3)，即S=(0≤1≤3).故选D 10.C【解析】连结AC,OB.,·四边形ABCD是正方形，且 A、C关于原点O对称，.点O是正方形ABCD对角线 的交，点，.OB⊥AC,OB=OA,∴.∠AOB=90°，作AM⊥x 轴于M,BN⊥x轴于N,则∠AM0=∠ONB=90°，. ∠MA0+∠AOM=90°..·∠AOB=90°，∴.∠AOM+∠BON =90°，.∠MA0=∠NOB,∴.△AM0≌△ONB(AAS),∴. ON=AM,BN=OM,.A(-2,4),..AM=ON=4,OM=BN =2,B(4,2),将B(4,2)代入y=2+m得2×4+ 3 4m=2,解得m=2故选C, 11.y=x2+1(答案不唯-)12.k≤113.y=a(1-x)2 14.1【解析】小：y=x2-2x+2=(x-1)2+1,.抛物线的顶点 坐标为(1,1)..·四边形ABCD为矩形，∴.BD=AC,AC⊥ x轴，当点A在抛物线的顶，点时，点A到x轴的距离最 小，AC最小值为1，∴.对角线BD的最小值为1. 15.1【解析】过点A作AM⊥y轴于，点M,过，点C作CN⊥y 轴于点N,由题意，得点A的坐标为(m,-m2+4),点C 的坐标为(n,-n2+4),∴.AM=m,CN=n.四边形ABCD 是正方形，.AD=DC,∠ADC=90°.·∠CDN+∠DCN= 90°，∠CDN+∠ADM=90°，∴.∠DCN=∠ADM.∴.△ADM ≌△DCN(AAS),..DNW=AM=m,DM=CN=n,.∴.MW= DN+DM=m+n,:N0-M0=(-n2+4)-(-m2+4)=(m+ n)(m-n),.'.m+n=(m+n)(m-n),..m-n=1. 16.解：(1)将点(-1，-2)和(2,3)代入抛物线解析式y=x2 2 b= +c得4+2站子每得 3 7 (5分) c=- 3 (2)点(-2,5)不在这个抛物线上. (6分) 理由：由61得抛物线为y=号了当：=-2时， 71 y=(-2)2+ 3×(-2)33…点(-2,5)不在这个抛 物线上 (9分) 级·HS·数学第10页 17.解：(1)将A(3,0),B(0,-3)代入抛物线y=ax2-2x+c, 得2330，得83这个抛物线的解折式为y c=-3 =x2-2x-3; (4分) (2)八y=x2-2x-3=(x-1)2-4,a=1>0,当x=1时，y 取最小值为-4 (9分) 18.解：(1)0 (2分) (2)设抛物线解析式为y=m(x+3)(x-1),把(0，-3)代 入得-3=m×(0+3)×(0-1),解得m=1,.抛物线解析 式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3. (7分) (3)x<-1 (9分) 19.解：(1)(1,1) (2分) (2)抛物线C1为y=2x2+3; (6分) (3)y=2(x-1)2+1,2>0,.当x>1时，y随x的增大 卷 而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，当x=1时，y 取最小值1，当x=-2时，y=19;当x=3时，y=9;-2< 1<3,.当-2≤x≤3时，1≤y≤19. (9分) 【方法技巧】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一 是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可 求出解析式， 2解，(1⅓=-1=（之产+子，顶点（分子， (2分) 的顶点坐标为(-1，子-(+10 2(签 案不唯一) (4分) (2②1=t=(x+分2- 4,2=2x2-nx+1=2(x- )2n2-8 一，.“.y1,y2的页点坠标分别为（一2，一4）， 4,8),由题意得-” (n2-8、 =-2x(-3),解得n 8 ±2 (9分) 21.解：(1)y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,.抛物线对称轴 为：x=6,最大值为4： (3分) 把点P(7,a)代入抛物线C:y=4-(6-x)2,得a=4-(6 7)2,解得a=3: (7分) (2)点P'向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到 的. (10分) 22.解：如下图，用描点法画函数图象； (3分) ()y=+1,x取全体实数； (5分) (2)过点P作PB⊥y轴于点B,连结PA.·L,是AM的 垂直平分线，∴.PA=PM,∴.PB=x,PA=y,AB=Iy-2I,在 Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2,.（y-2)2+x2=y2,即y= (10分) 23.解：(1)将A(3,0)代入二次函数解析式y=x2+bx-3,得 32+3b-3=0,解得b=-2; (2分) (2)b=-2,.抛物线的解析式为y=x2-2x-3,将x=0 代入y=x2-2x-3得y=-3,∴.C(0,-3). (4分) 设直线AC的表达式为y=x+n,将点A(3,0),C(0,-3) 代人直线4C的表达式，得{0，解得你3即直 线AC的表达式为y=x-3; （6分) (3)过点P作PHy轴交AC于点H,:点P(m,m2-2m 追梦之旅铺路卷·九年 -3),则H(m,m-3),则SAcm=Saa+SAPHC=2×PHX 40=[(m-39)-(m-2m-3]x3=-m 1 27 (8分)》 8 3 20,当m3时，△4CP面积的最大值为7，此 315 时点P坐标为(2,4)： (10分) 第25章追梦基础训川练卷（二） 答案12345678910 速查ACB BD CBBCD 1.A 【方法技巧】求解抛物线与x轴的公共点问题：(1)根据 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴公共点的个数，可知对 应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况；(2) 根据二次函数解析式，确定对应的一元二次方程的根的 判别式的符号，从而可确定抛物线与x轴的公共点个数。 2.C 3B【解析】小：h=4-2=-2+4,-1<0,.当1=-6=2 2a 时，水火箭达到最高点.故选B 4.B5.D 6.C【解析】y=x2-4mx+2m2+3m+2=(x-2m)2-2m2+3m+ 2,抛物线的顶点坐标为(2m,-2m2+3m+2),顶点落 在直线y=x+1上，∴.将顶点坐标代入直线得：-2m2+3m +2=2m+1,整理得2m2-m-1=0,解得m=1或m=2 故选C. 7.B【解析】小.s=20t-52=-5(t-2)2+20,∴.当汽车滑行2 秒，到达最远距离为20米停止.故选B. 8.B【解析】由题意，得抛物线的对称轴为直线1=2，设抛 物线的解析式为P=a(I-2)2+k,将点(1,165)和(4,0) R入降{642好释投P-51 2)2+220..·a=-55<0,∴.当I=2时，电功率P有最大值 为220，即变阻器R消耗的电功率P最大为220W.故选 B. 9.C【解析】，：四边形ABCD是矩形，∴.ABCD,AB=CD= 、MD_CD x,.△MDC∽△MAN,AM=3m,AN=4m,AMAN 中罗营M0=A0=(3子到m矩形AB c0的面积=0：0=(3-子)=43子 0,∴.当x=- 3。、2时，西银有装大值故选C 2x(-4) 10D【解折]A当y=8时，8=4k之，解得==4， .当小球抛出高度达到8m时，小球距0点水平距离为 加退)=4红子子(：-4)+8，则范畅线的对称轴 为x=4,.当x>4时，y随x的增大而减小，即小球距0 1 点水平距离超过4米后呈下降趋势；C. y=2+4x 1 y=2* 解得/%0色=7 -0x=2 7,则小球落地点距0点水平距离 级·HS·数学第11页铺路卷 河南专版·HS·九年级数学下 +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第25章追梦基础训练卷（一） 认识二次函数、二次函数的图象和性质 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 7 8 9 10 答案 物 1.下列函数中，属于二次函数的是( A.y=x+4 B.y=(x-3)2-x2 瓷腳 1 帅年 C.y D.y=2(x+1)2+5 圳 2.抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是( ) H 9 A.(2,1) B.(1,5) C.(-2,5) D.(-1,2) 3.将二次函数y=x2+4x+3的图象向右平移3个单位，再向下平移 1个单位后的解析式为( A.y=(x+5)2-2 B.y=(x-1)2 C.y=(x+1)2-2 D.y=(x-1)2-2 救 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=2时有最小值3，则这个函数 的图象可以是( ) 2.3 2,3） (2,3) B C. N 爵 5.已知点(-2，y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( A.y1>y2>y3 1B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 6.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)部分x,y的对应值 如下表： 0 1 3 4 夺 y … 1 -1 5 则下列判断中正确的是( A.函数图象的开口向下 B.当x>2时，y随x的增大而增大 C)有最大值为 D.y有最小值为-1 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=2ax+b 的图象大致是() c D OD B x 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，小明在画二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的图象过 程中，在正确描出顶点P后，再依次描出点A,B,C,D.若其中只 有一个点是描错误的，则描点错误的是() A.点A B.点B C.点C D.点D 9.如图，Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t分别交 OA,OB于点C、D,截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与 t之间的函数关系的图象为下列选项中的( A.S B.S C.S D.S 10.如图，在正方形ABCD中，点A,C的坐标分别是(-2,4)，(2， -4),点B在抛物线y=+m的图象上，则m的值为() B.-1 c D.-3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题已知二次函数的图象开口向上，且经过点 (0,1),写出一个符合题意的二次函数的表达式 12.已知二次函数y=-x2+2kx+1-k(k是常数)，当x≥1时，y随x 的增大而减小，则k的取值范围是 13.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行 两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元，原价为a元，则y与x之间的函数解析式为 14.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运 动，过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD, 连结BD,则对角线BD的最小值为 第14题图 第15题图 15.如图，正方形ABCD的顶点A、C在抛物线y=-x2+4上，点D在 y轴上.若A、C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则m-n= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1，-2)和(2,3). (1)求b、c的值； (2)判断点(-2,5)是否在这个抛物线上，并说明理由. 17.（9分)已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴的一个交点为点A(3, 0),与y轴的交点为点B(0,-3) THE ROAD TO (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值. 18.（9分)已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表： -4 -3 -2 -1 0 5 a -3 -4 -3 0 (1)a= (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ，19 19.(9分)已知二次函数y=2(x-1)2+1的图象为抛物线C. (1)抛物线C顶点坐标为 (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单 位长度，得到抛物线C1,直接写出抛物线C1的函数解析式； (3)当-2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围. 20.新定义(9分)设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为 (a,b)、(c,d),若a=-2c,b=-2d,且开口方向相同，则称y1是 y2的“反倍顶二次函数” (1)请写出二次函数y=x2-x+1的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=2x2-nx+ 1,若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值. 。20. 21.(10分)如图，点P(7,a)在抛物线C:y=4-(6-x)2上，且在抛 物线的对称轴右侧， (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及 抛物线C的一段，分别记为P'、C”.平移该胶片，使C所在抛物 线对应的函数解析式恰为y=-(x-3)2.直接写出点P'平移的 方向和距离。 22.新考法·过程性学习(10分)数学活动课上，王老师与同学们 用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)， 在x轴上任取一点M,连结AM,作线段AM的垂直平分线L1,过 点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P,设点P的坐标为 (x,y),探究y与x的函数关系。 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段OM与 PM的长度，在表格中记录数据如下： 线段OM长 1 2 3 5 线段PM长1.2 2 3.3 5 7.2 如果OM=a,PM=b,在网格坐标系中描出点(a,b),用描点法 画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段PM与OM的长之间的函数关 系，由此得出点P的坐标(x,y)满足的函数关系： (1)猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的 取值范围； (2)在图1中利用几何推理证明(1)中的结论. 易错 M 分析 图1 圆 23.（10分)已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx- 3的图象与x轴交于点A(3,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求b的值； (2)求直线AC的表达式； (3)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，点P的横坐标为 m,连结PC、PA,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标. 做题 心得 席