第22章 图形的相似 追梦基础训练卷(1)-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

角形三边关系，三角形的周长为2+4+5=11. 14.50【解析】解方程x2-8x-20=0,得x1=10,2=-2,则 正方形ABCD的边长为10，S例影=SAARG+S稀形ABFE-S△EFC /2×102+1×(a+10)×a- -×a×(10+a)=50. 15.-12或-3【解析】解方程(x-6)(x+n)=0得x1=6,x2 =-n,(x-6)(x+n)=0是“倍根方程”，.当-n是6 的2倍时，即有-n=6×2=12,.n=-12,当6是-n的2 倍时，即有-n=6÷2=3,∴n=-3.综上所述，n=-12或 -3. 16.解：(1)直接开平方，得y+2=±(3y-1). (1分) 即y+2=3y-1或y+2=-(3y-1), (3分) 3 解得%=2=4 (5分) (2)移项，得(x-1)2-2(x-1)+1=0. (6分) 分解因式，得(x-1-1)2=0. (8分) ∴.x1=x2=2. (10分) 17.解：(1)乙原方程常数项移项时未变号 (4分) (2).·a=1,b=4,c=3,∴.b2-4ac=42-4×1×3=4>0,∴.x =-b±√B-4ac_-4±4 2，x1=-1,2=-3. (9分) 2a 18.解：(1)根据题意，得△=(2k+1)2-4(2+1)=4k-3>0, 3 獬得k>4 (4分) (2)根据题意，得x1+x2=-2k-1,x1·x2=2+1.x12+x2 =(x1+x2)2-2x1·x2=(-2k-1)2-2(k2+1)=5,解得k =-3,k,=1.方程有两个实数根时，k≥ 4…k=1. (9分) 19.解：设运动时间为：秒当0<：≤40时，依题意，得(60 -t)×2t=100,解得t,=30-20W2,t,=30+20√2（不合题 意，舍去)： (5分) 当40<160时，依题意得)×80x(60-)=10.解得= 57.5.故经过(30-202)秒或57.5秒，△PBQ的面积 等于100平方厘米 (9分) 20.解：(1)①解方程x2-x-6=0得x=3或x=-2..·3≠-2 +1,.x2-x-6=0不是“邻根方程”. (2分) ②解方程2x2-2√3x+1=0得x= √3±1，3+1√3-1 2· 2 2+ 1,∴.2x2-23x+1=0是“邻根方程” (4分) (2)解方程x2-(m-1)x-m=0得x=m或x=-1.(7分) :方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程” ∴.m=-1+1=0或m=-1-1=-2,即m=0或-2.(9分) 21.解：(1)设CF的长为xm,则CD=(,m,由题意，得 x.65 2=450, (3分) 解得x1=20,x2=45(舍).∴.CF=20m. (5分) (2)设BF长ym,则AD=(20-y)m,由题意，得(25+y) (20-y)=450, (7分) 解得y1=5,y2=-10(舍去)，故BF的长为5m. (9分) 22.解：(1)y=150-2x (3分) (2)由题意得：(150-2x)(x-40)-300=200,整理得x2- 115x+3250=0,解得x1=65,x2=50, (6分) 当x=65时，150-2x=20: (8分) 当x=50时，150-2x=50;:20<50,且为了尽快减少库 存，∴.x=50.答：该益智玩具的销售单价应定为50元. (10分) 23.解：(1)③ (2分) (2)如图， (4分) 图中的大正方形面积是(x+x-2)2,其中四个全等的小 矩形面积分别为x(x-2)=15,中间的小正方形面积为 追梦之旅铺路卷·九年 2,所以大正方形的面积又可表 示为4×15+22=64，进一步可知 大正方形的边长为8，所以x+x-2 =8,解得x=5. (8分) (3)x2+x-12=0或x2-x-12=0. x-2 (10分) X一2 第22章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查DBBABDDDBB 1.D 【解题技巧】判断四条线段能否组成比例线段的方法：1. 统一单位：4条线段的长度单位化统一；2.排序：按从小 到大（或从大到小）的顺序排列，如a<b<c<d;3.计算： a 大 =。,则能组成比例线段，否则不能组成比例线段 案 2.B3.B4.A 5.B 【模型解读】相似三角形模型—一母子型 此模型中的两个三角形有一个“公共角”，只需要再找到 一对等角或证明这个公共角的两边成比例即可说明这 两个三角形相似. 6.D【解析】BD=2AD,.AB=3AD,DE∥BC, DE BC AB3,BC=3DE,A正确；DE,∥BC,△ADB AD 1 1 1 △ABC,.Cas=3Caac,Saoe=gSac,B、C正确，D 错误，故选D. CE_CF,即 7.D【解析】设AE=,则BC=x,:EF/AB,心CCB 5=4解得x=20,即E=20,CD/AB,d△ECD △40-怎品-子故D 8.D【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, A0=C△MD△CE华-08e设 BE=3k,CE=5k,BC=BE+CE=8k,..AD=BC=8k,.. 兰4年9解好c故选D 9.B【解析】取AD的中点G,连结FG,:AD=4,AG=2, AB-1AC=2,AF=2AE,ABAE=2,·∠BAD ∠EAF,∴.∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,∴.∠BAE= ∠GAF,∴.△BAE∽△GAF,∴.∠AGF=∠ABE=90°，∴.点 F在线段AD的垂直平分线上，∴DF=AF,当点F与点G 重合时，DF有最小值，最小值为2.故选B. 10.B【解析】·四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC=xcm..· 四边形ABEF是正方形，.AF=AB=ycm,∴.DF=EC= (x-y)cm:短形ECDF与原矩形ABCD相似，AB DF CD,即y二，=5+1故选B. AD’ y x y 2 11.∠AEF=∠C(答案不唯一) 12.213.W5-114.22 5.8或4【解析：四边形ABCD是矩形，片AB=DC= 3 6,∠ADC=∠C=∠A=90°，E是AB的中点，.BE= AE=3,.DE=√AD2+AE=√4+32=5，由折叠，得 级·HS·数学第2页 PC'=PC,设PC'=PC=x,则DP=6-x,当△DPC'与 △ADE相似时，△DPC是直角三角形，①当∠DC'P= 90°时，：∠DCP=LA=90°，DC∥AB,.∠PDC'= LD8ac0a08e份号-号解 得x=8,CP=8;②当LDPC=90°时，∠DPCS ∠A=90,LPDC'=LAED,.△DPC'∽△EAD,EA DP S6兰，解得=头C0-头综上所选，当 4D3=4 △DPC"与△MDE有似时，CP=k头 大 16.解：不相似. (1分) 理由：内边缘的矩形ABCD长AD=300cm,宽AB= 豪 150cm,外边缘的矩形长A'D'=315cm,宽A'B'=165cm. (5分) 0贺引88”0+所以肉 AB 外边缘所成的两个矩形不相似. (9分) n条，04小器能音宁0=12 DE-2 EF-65 (4分) (2)-号AB=7B0= .AB DE 2 2,(7分) 2135 ·AC=7+2=2 (9分) 18.证明：.四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD,CD∥AB,AB= =ac-6m胎瓷赏 (6分) .AB=AD,.' D0=2,.D0=2AB, (9分) AB 19.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∠D=∠C=90°，由 题意，得∠EPG=∠A=90°，∴.∠DEP=∠CPH=90° ∠DPE,∴.△EDP△PCH; (3分) (2)解：CD=AB=6,AD=BC=9,P为CD中点，.PD= PC-CD-3,PE-AE-9-EDP ED2=(9-ED)2,解得ED=4,.PE=9-4=5,(5分) AEr-aPa器0-mp Pc=A=6Gm=6空？6m长为}(9 20.解：(1)四边形ABCD是矩形，CE=1,.∠ADC=∠C =90°，CD=AB=3,BC=AD=2,.DE=√CD+CE= /10. (2分) AF⊥DE,∠AFD=∠C=90°，.∠DAF+∠ADF= LADF+∠CDE=90°，∴.∠DAF=∠EDC,∴.△AFDM g-0即49=2，解得A=3 △DCE,.DCDE' 而 51 (7分) (2)00 15 (9分) 【解析】由(1)知∠AFD=∠CDA=90°，.∠CDE+∠ADE =∠DAG+∠ADE=90°，∴.∠DAG=∠CDE,∴.△ADGM AD-AG AC=2/10 CD DE △DCE, 3 ,FC=AG-AF= √/10 15 追梦之旅铺路卷·九年 21.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，.BACD,. ∠E=∠FCD,∠EAF=∠CDF,∴.△AEF∽△DCF; (3分) (a解，①由（为△4AAc,是-品-宁 AE=√2，.DC=22,:四边形ABCD是平行四边形， AB=DC,∴.AB=2W2; (6分) ②四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.△EAF ,EA√2_1.S△F-1 2 一△BBC,B323÷S09aw5 .SAEBC=6. (10分) 22.解：(1)：CP=AC-AP=(10-2t)cm,CQ=tcm,∠C= 90°，在Rt△PCQ中，根据勾股定理，得PQ=CP2+CQ2, .(√65)2=(10-2t)2+t2,解得t=1或t=7,:0≤t≤5， ∴.t=1,故当t为1时，PQ的长度等于√6cm;(5分) CP CQ (2)分两种情况：①当△CPQ△CMB时，CACB 102行解得4=瓷 (7分) 121 包当△cP0一△cBM时，C名1024=解得9 7101 综上所述，当：为2支”时，以C,PQ为顶点的 100 或 121 27 三角形与△ABC相似. (10分) 23.解：【探究】(1)：∠DPB=∠A+∠ADP,.∠DPC+ ∠CPB=∠A+∠ADP,∠A=∠DPC,∴.∠ADP= LBPC,LA=∠B,∴.△DAP△PBC; （3分) PD AP 5 AP (2):△DAP△PBC,CPBC0),解得AP= 9 2 (5分) 【应用】AC=BC,.∠A=∠B,:∠CPE=∠A,∴.∠A= ∠CPE=LB,由【探究】得△CAP∽△PBE,BPBE' AC AP (7分) .BC=4,CE=3EB,..BE=1,.AC=4,BP=6-AP,.. AP(6-AP)=4,∴.AP=3+W5或AP=3-√5. (10分) 第22章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查DCDACADB AB 1.D2.C 3.D 【解题方法】位似中心的确定方法：位似图形中，两组对 应点的连线所在直线的交点即为位似中心. 4.A5.C 6.A【解析】小l/HC,CD⊥l,OH⊥1，.四边形OHCD是矩 BF 形，0H=CD.:AB/OH,.△ABF,△HO1,OF, AB 3 BF_3故选A H020B,=0P,…05,2 7.D 8.B【解析】：正方形EFGH的FG边在BC上，.EH八 .EH AK BC,△AEHO△ABC,BCAD,设KD=,EF=BH= ,:=80,解得：x=48,这个正方形零件的 KD=x,12080 边长是48mm.故选B. 9.A【解析】过D作DH LAB于H.:E为此三角形的重 心，ADAG=4,86号LC=90,AC=8,BC=6, .AB=√AC+BC=10.∠AHD=∠ACB=90°，∠DAH 级·HS·数学第3页铺路卷 河南专版·HS·( 恋之旅 九年级数学上 艹为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第22章追梦基础训练卷（一） 成比例线段、相似图形及相似三角形的判定和性质 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 、选择题（每小题3分，共30分）》 题号 1 3 5 6 8 9 10 答案 1.下列四组线段中，不构成比例线段的一组是( A.1 cm,2 cm,3 cm,6 cm B.2 cm,3 cm,4 cm,6cm 言腳 C.1cm,√2cm,√3cm,√6cmD.1cm,2cm,3cm,4cm 吹 2.下列说法正确的是() 圳 A.两个等腰三角形一定相似 B.两个等边三角形一定相似 C.两个矩形一定相似 D.两个直角三角形一定相似 3.如图，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E,B,D,F,下列 结论不正确的是( 救 AC BD AC EC CE DF AE BF A. C. D. CE DF CD EF AE BF AC BD m B DH D B 第3题图 第4题图 第5题图 爵 AD 图4.如图，在△MBC中，DEBC,BD 2,若AE=6,则EC的值为( A.3 B.2 C.1 D.9 5.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC△ADE的是( AD DE A.∠D=∠B B. AB BC 摇 数 C.ADAE D.∠E=∠C “ABAC 6.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DEBC交AC于E, 则下列结论不正确的是( 1 A.BC=3DE B.CAADE=3 AABC C.△ADE∽△ABC 1 D.SAD=SAAG B4 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，AB∥CDEF,AC与BD相交于点E,若CE=5,CF=4,AE= c,则粉的位是 8 1 1 1 c.3 D.4 8.如图，在口ABCD中，E是BC上一点，连结DE,交对角线AC于 点只，若能4r=4,则CF的K列 3 B.1 c 9.如图，已知矩形ABCD,AB=1,AD=4,E为BC边上一个动点， ∠BAD=∠EAF,AF=2AE,连结DF,则DF的最小值为() 9 7 4 B.2 C.A 0.2 F D D B B 第9题图 第10题图 10.如图，一张矩形纸片ABCD的长BC=xcm,宽AB=ycm,以宽 AB为边剪去一个最大的正方形ABEF,若剩下的矩形ECDF与 原矩形ABCD相似，则'的值为( ) A.51 B.5*1 2+1 C.√2 D. 2 2 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题如图，△ABC中，点E,F分别是AB,AC上 的点，连结EF,请你添加一个条件 ,使得△AEF △ACB. 第11题图 第12题图 第15题图 12.跨学科试题·音乐如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平 行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若 AB=4,则BC= 13.生活情境·人体雕像在设计人体雕像时，使雕像上部 (腰部以上)与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与 全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设 计一座高度为2米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设 计高度是米. 14.已知四边形ABCD与四边形A'B'CD'相似，边AB与边A'B是对 应边，S四边形BGD:S四边形ABCD=12,AB=2,则A'B= 15.数学思想·分类思想如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E 是AB的中点，连结DE,P是边CD上一动点，沿过点P的直线 将矩形折叠，使点C落在DE上的点C'处，当△DPC'与△ADE 相似时，CP= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（9分)一块长3m,宽1.5m的矩形黑板ABCD,如图所示，镶 在其外围的木质边框宽7.5cm,边框的内外边缘所成的矩形 ABCD与矩形A'B'CD'相似吗？为什么？ 17.(9分)如图，直线1亿2∥亿3，且直线11,2，l3分别截直线l4于点 A,B,C,截直线L于点D,E,F, (1)若AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长； (2若2-号48=7求AC的长 D E B 18.(9分)如图，直线PQ经过菱形ABCD的顶点C,分别交边AB 和AD的延长线于点P和Q,BP=B,求证：DQ=2MB D 19.(9分)如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形 ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为 G,PG交BC于H. (1)求证：△EDP∽△PCH. (2)若P为CD中点，且AB=6,BC=9,求GH的长， 20.(9分)如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点 F,AB=3,AD=2,CE=1. (1)证明△AFD∽△DCE,并计算点A到直线DE的距离.请你 结合图1，完成解答过程 (2)在图1的基础上，延长线段AF交边CD于点G,如图2，则 FG的长为 DREAM 图1 图2 21.(10分)如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直 线CF交线段BA的延长线于点E (1)求证：△AEF∽△DCF; 2 (2)若AF:DF=1:2,AE=2,SaAE-亏 ①求AB的长； ②求△EBC的面积. 22.学习情境·动点探究(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 10cm,BC=7cm,现有一动点P从点A出发，沿线段AC向终 点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连 结PQ.如果点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们 同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动 时间为ts. (1)当t为多少时，PQ的长度等于65cm? (2)当t为多少时，以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 23.(10分)【感知】如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点 P不与点A,B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90°.易证：△DAP △PBC(不要求证明)： 【探究】如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与 点A,B重合)，∠A=∠B=∠DPC. (1)求证：△DAP∽△PBC; 易错 (2)若PD=5,PC=10,BC=9,求AP的长； 分析 【应用】如图3，在△ABC中，AC=BC=4,AB=6,点P在边AB 上（点P不与点A,B重合），连结CP,作∠CPE=∠A,PE与边 BC交于点E.当CE=3EB时，求AP的长 D B 图1 图2 图3 壁 做题 心得