专题12 一元一次方程的解法（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的解法这一核心知识点，以等式的性质为基础，系统梳理去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准五步，针对去分母漏乘、去括号符号错误等易错点，延伸至小数系数方程及含参数方程的解法，构建完整知识支架。 该资料特色在于通过典例与变式分析学生解题错误，培养运算能力和推理意识，题型从基础到综合层层递进。课中辅助教师突破难点，课后通过巩固与强化训练帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题12 一元一次方程的解法 1. 熟记解一元一次方程的完整步骤，规范书写解题过程； 2. 攻克去分母、小数系数方程等易错难点； 3. 初步掌握含参数一元一次方程的解法。 一、 等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 二、解一元一次方程标准五步 去分母（两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项也要乘）→ 去括号 → 移项（移项要变号）→ 合并同类项 → 系数化为1。 三、小数系数方程解法 利用分数的基本性质，将小数分母化为整数分母，再按标准步骤解方程（注意与等式性质区分，只变形单个分数，不改变方程整体）。 题型01去分母的易错点 【典例】以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 (1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； (2)请写出该一元一次方程正确的解答过程． 【变式】下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得，…第四步 方程两边同除以，得．…第五步 (1)以上求解过程中，第三步的依据是 ； (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)该方程正确的解为 ． 题型02去括号的易错点 【典例】小明同学做作业时解方程的步骤如下： 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得．……第五步 (1)小明同学的解答过程在第_____步出现错误，错误的原因是_____． (2)请写出正确的解答过程． 【变式】在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 题型03移项的易错点 【典例】下面是“小迷糊”亮亮同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查发现每一步都有错误，请你帮他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，得，…………………………………………第一步 去括号，得，…………………………………………………第二步 移项，得．……………………………………………………第三步 (1)其中第三步错误的原因是___________； (2)请你写出正确的解题过程． 【变式】用好错题本可以有效积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再犯错误的可能．下面是小明错题本上的一道题，请仔细阅读并解答相应的问题： 解方程： 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)此解答过程从第_________步开始出错，这一步错误的原因是__________________． (2)请写出该方程的正确解答过程； (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程提出一条还需要注意的事项（不同于上述错误） 题型04含小数系数的方程 【典例】解方程： (1)； (2) 【变式】解方程： (1) (2)． 题型05含字母参数的方程 【典例】若方程的解为，则_____ 【变式】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【巩固训练】 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 4．方程的解是________． 5．解方程： 6．解一元一次方程： (1)； (2)． 7．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 8．已知关于的方程和的解相同，求的值． 9．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 10．解方程： (1) (2) 【强化训练】 1．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 3．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 4．x=_____时，代数式的值比的值大1． 5．已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值相等？ (2)当取何值时，的值比值的2倍大1？ 6．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 7．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 8．已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 9．解方程： (1) (2)． 10．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一元一次方程的解法 1. 熟记解一元一次方程的完整步骤，规范书写解题过程； 2. 攻克去分母、小数系数方程等易错难点； 3. 初步掌握含参数一元一次方程的解法。 一、 等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 二、解一元一次方程标准五步 去分母（两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项也要乘）→ 去括号 → 移项（移项要变号）→ 合并同类项 → 系数化为1。 三、小数系数方程解法 利用分数的基本性质，将小数分母化为整数分母，再按标准步骤解方程（注意与等式性质区分，只变形单个分数，不改变方程整体）。 题型01去分母的易错点 【典例】以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 (1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； (2)请写出该一元一次方程正确的解答过程． 【答案】(1)①，方程右边未同时乘6 (2)解答过程见详解 【详解】（1）解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误． （2）解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得． 【变式】下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得，…第四步 方程两边同除以，得．…第五步 (1)以上求解过程中，第三步的依据是 ； (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)该方程正确的解为 ． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数 (3) 【详解】（1）解：第三步的依据是：等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； （2）从第一步开始出错，具体的错误是去分母时，常数项没有乘最小公倍数； 故答案为：一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数． （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 故答案为：． 题型02去括号的易错点 【典例】小明同学做作业时解方程的步骤如下： 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得．……第五步 (1)小明同学的解答过程在第_____步出现错误，错误的原因是_____． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，去括号时，项没有变号 (2) 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【详解】（1）小明同学的解答过程在第二步出现错误，错误的原因是去括号时，根据乘法分配律，而小明计算时项没有变号． （2）略 【变式】在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 题型03移项的易错点 【典例】下面是“小迷糊”亮亮同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查发现每一步都有错误，请你帮他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，得，…………………………………………第一步 去括号，得，…………………………………………………第二步 移项，得．……………………………………………………第三步 (1)其中第三步错误的原因是___________； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)移项时，没有变号； (2) 【详解】（1）由移项的法则可得，第三步错误的原因是：移项时，没有变号， 故答案为：移项时，没有变号； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式】用好错题本可以有效积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再犯错误的可能．下面是小明错题本上的一道题，请仔细阅读并解答相应的问题： 解方程： 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)此解答过程从第_________步开始出错，这一步错误的原因是__________________． (2)请写出该方程的正确解答过程； (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程提出一条还需要注意的事项（不同于上述错误） 【答案】(1)三，移项没有变号 (2) 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． (3)答案不唯一， 去分母时要防止漏乘；括号前面是“”， 去掉括号时括号里面各项都要变号． 【详解】（1）解：此解答过程从第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号． 故答案为：三，移项没有变号； （2）解：略； （3）解：略． 题型04含小数系数的方程 【典例】解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． （2）解：， 整理，得：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 【变式】解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型05含字母参数的方程 【典例】若方程的解为，则_____ 【答案】1 【详解】解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 【变式】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 【巩固训练】 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 2．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． 3．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程移项时，移项要变号，正确结果应为，错误； B选项，方程去括号，用2乘括号内每一项，得，正确； C选项，方程去分母，两边同乘2，正确结果应为，错误； D选项，方程系数化为1，两边同除以，正确结果应为，错误． 4．方程的解是________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 5．解方程： 【答案】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 6．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 7．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 8．已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程， ， ， ， 将代入中，得： ， ， ， 解得． 9．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解：方程整理得：， 移项合并得：， 解得：． 【强化训练】 1．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 2．小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把，代入方程，得●， ∴●. 3．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 4．x=_____时，代数式的值比的值大1． 【答案】-3 【详解】解：去分母得：2（2x+1）=（5x﹣1）+6 去括号得：4x+2=5x﹣1+6 移项、合并得：﹣x=3 方程两边都除以﹣1得：x=﹣3． 故当x=﹣3时，代数式的值比的值大1． 故答案为－3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程，有一定的难度，同学们要注意读准题意． 5．已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值相等？ (2)当取何值时，的值比值的2倍大1？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以5，得， 所以当时，A与B的值相等； （2）解：根据题意可知， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 7．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 【答案】(1)习题1第一步，习题2第一步 (2)见解析 【详解】（1）解：从解题过程可知，习题1第一步开始出现错误，习题2第一步开始出现错误 （2）解：， ， ， ， ， . 8．已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， ， 去分母得， 去括号得，， 合并同类项得， ∵两个方程的解互为相反数 ∴， 解得，， ∴的值为． 9．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为 1 得，． 10．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． / 学科网（北京）股份有限公司 $