微专题10 二次函数的图象、性质与字母系数的关系&微专题11 二次函数的存在性问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

微专题10二闪函数的图舅 +归纳总结+++ 结论形式 解题思路 由开口方向决定 b 由对称轴及a的符号共同决定 c 由抛物线与y轴交点的位置决定 b2-4ac 由抛物线与x轴的交点个数决定 b Za 由对称轴的位置决定(“左同右异”) 2a+b 会与1比较 2a-b -6与-1比较 2a a+b+c 令x=1,看纵坐标 a-b+c 令x=一1，看纵坐标 4a+26-1c 令x=2,看纵坐标 4a-2bc 令x=一2，看纵坐标 1.已知二次函数y=一x2一4x+2n-4的图象只 经过三个象限，则n的取值范围是（) A.n≥0 B.n≤2 C.0≤n≤2 D.0<n≤2 2.如图，二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点 A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结 论：①ac>0;②当x>0时，y随x的增大而增 大；③3a十c=0;④b=2a.其中正确的是（) A.④ B.③ C.② D.① y AO B 第2题图 第3题图 3.（中考·安徽)已知二次函数y=ax2十bx十c (a≠0)的图象如图所示，则 () 111探究在线九年级数学（上）·BS 、性质与字母系数的关系 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 4.(中考·凉山)二次函数y=ax2十bx十c的部 分图象如图所示，其对称轴为x=2,且图象经 过点(6,0)，则下列结论错误的是 () A.bc0 B.4a+b=0 C.若ax+bx1=ax十bx2且x1≠x2,则x1十 x2=4 D.若（一1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y= ax2+bx+c的图象上，则y2<y 02 61 第4题图 第5题图 5.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图 所示，下列结论：①abc>0;②b2>4ac;③a-b +c<0;④a十c<1.正确的有 (填 序号) 6.（中考·资阳)如图，在平面直 y 角坐标系中，O为坐标原点，抛 物线y=ax2十bx十c(a≠0)与 y轴相交于点A(0,2),且抛物 线的对称轴为直线x=一1.给出以下4个结 论：①abc<0;②对于任意实数m,am2+bm 十c十a的值不小于2；③若P是对称轴上的一 点，则OP十AP的最小值为2√2；④若点(x1, y1),(x2,y2)在抛物线上，满足x1<x2且x1十 x2十2>0，则一定有y1<y2.其中，所有正确结 论的序号为 44 微专题11二i次i 1.(广州月考)如图，已知抛物线经过点A(1,0), B(-3,0),C(0,3)三点 (1)抛物线的表达式为 (2)在x轴下方的抛物线上，是否存在点M,使 得Sav=号Sa?若存在，求出M点的坐 标；若不存在，请说明理由 2.(中考·青海)在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2十bx一3(a≠0)与x轴交于A,B两点， 点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式； (2)①求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范 围： (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存 在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P坐标；若不存在，请说明理由】 通数的存在性问题 3.(达州月考)如图，已知二次函数y=一x2十2x十3 的图象与x轴分别交于点A和点B,与y轴交于 点C (1)求线段AB的长； (2)若该抛物线的顶点为点D,求△BCD的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点M,使得以A, B,C,M为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由. 第五章112 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象 y=x2十bx十c与x轴交于A,B两点，A点在 原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于 点C(0,一3)，点P是直线BC下方的抛物线 上一动点. (1)6= , (2)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得 到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边 形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 5.(中考·资阳改编)如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在 点B的左边)，与y轴相交于点C(0,一3)，且 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (1)抛物线的表达式为 (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0, 一1)，连接BC,DP相交于点E,连接PB.若 △CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； 113探究在线九年级数学（上）·BS (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点 M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H. 是否存在点M,N,使得以M,N,G,H为顶点 的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边 长；若不存在，说明理由.10.(1)当0≤x≤5时，设y=a(x-5)2+25, 当x≥1时，y随x的增大而增大. 把(0,0)代人，得0=25a+25,解得a=-1, :当2≤x≤4时，函数有最大值5， ∴.y=-(x-5)2+25=-x2+10x. .当x=4时，y=5. 当5<x≤15时，y=25. .16a-8a3=5,解得a=1. ∫-x2+10x(0≤x≤5)， 综上可得y={25(5<x≤15). y=x2-2x-3. 当x=0时，y=一3， (2)设陆臻用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟，学 当y=0时，x2-2x一3=0，解得x=-1或x=3. 习收益总量为Z,则他用于解题的时间为(30一x)分钟. ∴.抛物线与y轴交于(0，一3)，与x轴交于（一1,0），(3,0). 当0≤x≤5时，Z=-x2十10x+2(30-x)=-x2+8x十60 (2):关于m的一元二次方程m2-y%m十k-4十=0 =一(x-4)2+76, 恒有实数根， .当x=4时，Z最大=76； .△=(-yo)2-4(k-4+y%)≥0，即4k≤y6-40+16 当5<x≤15时，Z=25+2(30-x)=一2x+85, 恒成立，k≤一2)+12恒成立. Z随x的增大而减小，.Z<-2×5+85=75. 4 综上所述，当x=4时，Z最大=76. :(1)中的抛物线表达式为y=x2-2x一3， 此时30一x=26. ·函数的最小值为4X1×(-3)-(-2) 4 =-4. ∴.陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间 为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大. ,点P(x0,y%)是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线 拓展在线 弧部分上任意一点， 11.(1) .0<yo≤4， 工人数 每天产量 每件利润 产品 (人) (件) (元) :3≤%-2)2+12≤46取为-22+12值的下限). 4 4 分 25x 实数飞的最大值为3. 乙 25-x 15(25-x) 19+x 第2课时利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 (2)y=1825x+15(25 -x)(19+x)=-15x2+540x+ 基础在线 7125 1.C2.C3.-3.3 (3)y=-15x2+540x+7125=-15(x-18)2+11985. 4.设y=x2十2x-4,列表如下： 当x=18时，y取得最大值，最大值为11985 4 -3 2 -1 0 .分配18个人生产甲产品，7人生产乙产品时，可以获 得最大利润11985元. y=x2+2x-4 4二次函数与一元二次方程 作草图（略） 第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系 由图象可知x2十2x一4=0的近似根为x1≈一3.2，x2≈ 基础在线 1.2. 1.B2.B3.16 5.C6.C 4.抛物线y=x2+mx-2m-4中， 7.(1)①③(2)-1<x<3 a=1,b=m,c=-2m-4, (3)设y=-x2+4x-3, .b-4ac=m2-4(-2m-4)=m2+8m+16=(m十4)2， 则y是x的二次函数， :m>0,∴.m≠-4，(m十4)2>0. :a=一1<0，.抛物线开口向下， 即仔一4ac>0,抛物线与x轴总有两个不同的交点. 又当y=0时，-x2+4x-3=0, 5.B6.C7.A8.x=-8或4 解得x1=1,x2=3, 9.(1)x1=-1,x2=3(2)1=0,x2=2 由此得抛物线y=一x2+4x一3的大致图象如图所示. (3)x1=-2,x2=4(4)x1=x2=1 ∴当y<0时，即-x2+4x-3<0, (5)方程a.x2十bx十c=-6无实数根. 解集为x<1或x>3. 10.D 能力在线 能力在线 8.D9.C10.0<x<411.1.4 11.C12.C13.A14.015.①③④ 12.(1)利用函数y=x2一2x一2的图象可知， 16.(1)y=x2+2x十m=(x十1)2十m一1，对称轴为直线x=-1. 当x=2时，y<0,当x=3时，y>0, :抛物线与x轴有且只有一个公共点， 所以方程的另一个根在2和3之间， .顶点的纵坐标为0. (2)函数y=x2一2x十c的图象的对称轴为直线x=1, .C1的顶点坐标为（一1,0） (2)设C2的函数关系式为y=(x十1)2+k, 把A(-3,0)代人上式，得(-3+1)2+=0，得=-4， 由题意用仁2+0.解得0<<1 .C2的函数关系式为y=(x十1)2-4. 拓展在线 当(x十1)2-4=0时，解得x=1或-3. 13.(1)y1=-x2-2x十3，令y1=0,则-x2-2x十3=0， :点A(-3,0),∴.它与x轴的另一个交点坐标为(1,0). .x=一3或1. 拓展在线 点A,B的坐标分别为(-3,0)，(1,0). 17.(1)抛物线y=ax2-2ax-3(a>0)的对 2a=1. 将点B的坐标代人%=一号x十6，得0=一是+b, 称轴为直线x=一2a 6=3 3 a>0,∴抛物线开口向上，大致图象如 2=- 22+3 2 图所示. 联立y1=一x2-2x十3,2=一 2+3 3 ，得 一探究在线·九年 y=-x2-2x+3, 令x=0,得y=3,即C(0,3). =解得号或1 .△BCD的面积=SAOOD+SAOD-SAoC =2×1×3+合×3×4-2×3×3=3. 点D在第二象限，当x=一 时y=-是×(-) (3)存在点M使得以A,B,C,M为顶点的四边形是平行四 +号=只“点D的坐标为(-是，) 边形，满足条件的点M的坐标为（一4,3），(4,3)，(2，一3). 4.(1)-2-3 (2)设BD与y轴交点为E, (2)存在点P,使四边形POP'C为菱 当x=0时，y1=-0-0+3=3, .C(0,3). 形，点P的坐标为（牛，-） 当x=0时=0+号-， 理由如下： 由△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C, E(0,号)△BCD的面积为分×EC 得PP'⊥CO,垂足为E,则PE=EP,PP∥x轴， 四边形POP'C为菱形，C(0,-3), ×(x-m)=2×(3-)×(1+）-g E-EC.) (3)由图象可以看出， 当>时，x<-名或x>1. 根据题意，设P(m,一）- =m2-2m-3. 微专题10二次函数的图象、性质与字母系数的关系 解得m-2计①，m-2D(不合题意，合去)， 2 2 1.D2.B3.C4.D5.②③④6.②③④ 故存在点P,使四边形POP'C为菱形，且点P的坐标为 微专题11二次函数的存在性问题 1.(1)y=-x2-2x+3 (+-） (2)存在.设点M(a,b),由题意可知，△ABC中，底AB= 5.(1)y=x2-2x-3 4,高0C=3号5a度=10. (2)当y=x2一2x一3=0时，解得x1=3,x2 =-1, 在△ABM中，以AB=4为底，则高为|b, .B(3,0). 5Aw=4Xh=号Sag=10, 2 ,C(0,一3)，易得直线BC的解析式为y M点在x轴的下方，∴.b<0.∴b=-5. x一3. :点M在抛物线上，所以满足抛物线解析式.代人，得 作PF⊥x轴于点F,如图，设P(m,m2-2m-3), -a2-2a+3=-5,解得a=-4或a=2, 则OF=m,PF=一m2+2m+3,∴.BF=3-m .M点的坐标为（一4，-5）或(2，-5). :△CDE与△PBE的面积相等， 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=a.x2+bx-3(a≠0)，得抛 ∴.SACDE十S四边形ODEB=S△PBE十S四边形ODEB, 物线的解析式为y=x2+2x一3. 即S△B0c=S四边形CDPB=SAPFB十S四边形ODPF, (2)①令y=0,则x2+2x-3=0, D(0,-1),.OD=1. 解得x=一3或x=1, .点A的坐标为（一3,0） ∴2×3×3=号×(-m+2m+3)(3-m）+号×(-m ②-3<x<1 +2m+3+1)m. (3)存在.设点P的坐标为(0，a), A(-3,0),C(2,5), 解得m=了或m=0(含去)P(子，） ,.AC=(2+3)+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+(a-0)2 (3)存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不妨令点 =9+a2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=a2-10a+29. M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如答图①，可知 ,△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°，不符 .分以下两种情况讨论： 合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M在 若AP为斜边，则AP2=AC+CP2, 点H的下方，如答图②.由(2)知，直线BC的解析式为y ∴.9+a2=50+a2-10a+29.解得a=-7, =x-3,连接MH,GN,由题意，易得△MGN是等腰直角 ∴.P1(0,7). 三角形，∠HGN=45°，.GN⊥y轴，MH⊥x轴.设点M 若CP为斜边，则CP=AC+AP, 的坐标为(m,m2-2m-3),其中0<m<3,则点H的坐标 ∴a2-10a+29=50+9+a2.解得a=-3, 为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N的坐标为 .P2(0,-3). 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7),P(0,一3). (仁心士5，心”-)，将点N的坐标代入抛物线解 3.(1)在二次函数y=一x2+2x十3中，令 析式y=x2-2x-3,解得m=1,m2=6(舍去)，此时，MH y=0,得 =2,正方形的边长为√2.③若点M,N在直线BC的上方， 一x2十2x+3=0, 不妨设点M在点H的上方，如答图③.设点M(m,m2一 解得x1=一1，x2=3, 2m-3),其中m<0或m>3,根据正方形性质，得点N的 ∴.A(-1,0),B(3,0). .AB=3-(-1)|=4. 坐标为（二5血，心”）将点N的坐标代入跑 (2)如图，连接CD,OD,BD, 物线的解析式y=x2-2x一3，同理可得m1=1(舍去)，m2 由y=-x2十2x十3=-(x2-2x)+3=-(x-1)2+4,得顶 =6,此时，MH=18,正方形的边长为9√2， 点D(1,4. 综上所述，正方形的边长为2或9√2. 级数学（上）·BS一 27 :-了<0，∴当=3时，5有最大值363. 答：当与墙平行的边的长度为33m时，花圃的面积最大 单元综合复习（五）二次函数 热门考点突破 M 答图① 答图② 答图③ 1.32.3.A4D 阶段测评6(5.3-5.4) 5.(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x一a)(x 1.C2.B3.D4.D5.4 b)十x(x一b)可化为y=x(x一0)+(x-0)(x一3)+x(x一 6.y=一x2+x+2(答案不唯一)7.0或4+2√3或4一2√3 3)=3x2-6x, 8.1509.1或5 b -6 10.（1)由对称轴x=1及A(4,0),易知与x轴的另一个交点 “此函数图象的对称轴为x=一a=一2X3=1. 为（一2,0），所以一元二次方程ax2+bx十c=0的两个根 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)十(x-a)(x-b)十 为21=4，x2=-2. x(x-b)可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)十x(x (2)当ax2十bx十c≤0时，x的解集是一2≤x≤4， 2a)=3x2-6ax+2a2, 11.设垂直于墙的一边长xm, (1)由x(40-2x)=150,解得x1=5,x2=15, 抛物线对称轴为x=一2a 当x=5时，40-2x=30>25(不符合题意，舍去). 3>0,抛物线开口向上. 当x=15时，40-2x=10<25(符合题意). :在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，a≥1. .三边长分别为10m,15m,15m. ,在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，.a≤3. (2)设矩形围栏的面积为S. .1≤a≤3. 则有S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200. 6.B7.y=-(x-1)2+3(答案不唯一) 当x=10时.S有最大值； 8.y=x2-6x+109.9m162m210.900 当x=10时，40一2x=20<25(符合题意)， 11.(1)由点(2,3.2)，(4,4.2)，易得y关于x的函数表达式 ∴.三边长分别为20m,10m,10m. 为y=-0.05x2+0.8.x+1.8. 12.(1)2 (2)由表格易得球和原点的水平距离x(米)与时间（秒） (2)证明：4=(-mr-4×分×(m-1)=m-2m十2= 的表达式为x=10t. 对于y=-0.05x2+0.8x十1.8，a=-0.05<0, (m-1)2+1, 0.8 (m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0..△>0 当x=2X二0.05=8时， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. ymx=-0.05×82+0.8X8+1.8=5. (3)p>1或p<-1. 此时10t=8,解得t=0.8, 13.(1).OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m, ∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米 ∴.顶点B的坐标为(4,4). (3)p≤0.36 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为y=a(x一4)2+4， 12.A13.x≤-3或x≥014.①②⑤ 把00,0)代人表达式，得0=a×(0-42+4,解得a=一4， 核心素养提升 15.-号 “桥大拱部分抛物线的函数表达式为)=一子(x一4) 第六章概率的进一步认识 +4(0≤x≤8). 1用树状图或表格求概率 (2)不会 第1课时用树状图或表格求简单事件的概率 问题解决活动怎样围面积最大 基础在线 1.C2.5 1.C2.D 3.(1)(32-x); (2)根据题意，得x(32-x)=240,解得x1=12,x2=20. 3.7 :墙角内的P处有一棵古树与墙CD,AD的距离分别是 (2)列表如下： 16m和9m, A B ∴.32-x≥16，x≥9.∴.9≤x≤16. A AA AB .x的值为12. B BA BB (3)由题意，得S=x(32一x)=-x2十32x=一(x一16)2+ 256. 由表可知，共有4种等可能的结果，小明、小红两人走同一 .9x16. 出口的情况有2种，所以小明、小红两人走同一出口的概 ∴.当x=16时，花园面积S最大，最大值为256m2. 率P== 4.(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则与墙平行的边的长 4.6相同2(A,D)和(A,E) 1 度为(60一2x)m,根据题意，得 3 x(60一2x)=450,解得x1=x2=15. 甲品牌「乙品牌所有可能的结果 答：与墙垂直的边的长度为15米. (A,D) A D (2)设与墙平行的长度为tm,花圃的面积为Sm2,根据题 (A,E) 开始 (B,D) 意，得 (B,E) 5=34(66-0=-3+21=--3)+363. (C,D) (C,E) 28 一探究在线·九年 5.c6号 “甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是 2 能力在线 能力在线 2.c&2 3.号 9.(1)根据题意画树状图如下： (2)树状图如图所示： 开始 开始 甲 石头 剪子 123 123 乙石头剪子布石头剪子布石头剪子布 .共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共6种等 甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不 可能的结果 输的共有6种， (2)由树状图，得x=y的结果有2种， 6 2 ∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心 :P(乙不输)=9=3 活动的概率P=2=1 拓展在线 63 4.(1)分别用A,B,C表示向左转、直行、向右转，根据题意画 拓展在线 出树状图如下： 10.(1)由表格可知一共有4种等可能性的结果数，其中是 双眼皮的结果数有3种， “他们的子女是双眼皮的概率为子 (2)画树状图如下： 由图可知，共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而 开始 行的有3种情况， :P(三辆车全部同向而行)=务=合 父亲 (2)至少有两辆车向左转的情况数有7种， 母亲 “P(至少有两辆车向左转)一7 子女Ff ff Ff 由树状图可知，一共有4种等可能性的结果数，其中他们 (3):汽车向右转、向左转、直行的概率分别为号，高品 的子女是双眼皮的结果数有2种， ∴，在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时 “他们的子女是双眼皮的概率为呈-之， 间如下： (3)FF. 向左转及直行的绿灯亮的时间都为3×30×品-27（秒）： 第2课时 用树状图或表格求稍复杂事件的概率 基础在线 向右转绿灯亮的时间为3×30×号=36（秒）。 1.(1)图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到 第3课时“配紫色”游戏 南通博物苑参加社会实践活动的概率为年· 基础在线 1.A (2)列表如下： 2.画树状图如下： 、小华 开始 ⊙ ② ③ ④ 小丽 转盘A 红 ① ①① ①② ①③ ①④ 转盘B红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中配成紫色的 ③ ②① ②② ②③ ②④ 结果有5种，配不成紫色的结果有4种，所以P(配成紫色) ③ ③① ③② ③③ ③④ -号，P(配不成紫色)-告，所以配成紫色与配不成紫色 ④ ④① ④② ④③④④ 的概率不相同」 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美 能力在线 术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽 3.C 拓展在线 都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为6 4.(1)列表如下： 2)号 红 蓝 白蓝 黄 (2)画树状图为 红（红，红）（红，蓝）（红，白）（红，蓝）（红，黄） 开始 蓝（蓝，红）（蓝，蓝）（蓝，白）（蓝，蓝）（蓝，黄） 黄（黄，红）（黄，蓝）（黄，白）（黄，蓝）（黄，黄） 甲 (2)由(1)中表格可知，共有15种等可能的结果，能配成紫 色的结果有3种，两个转盘转出的颜色相同的结果有4种， 丙A B A B A 由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙 P(小强获胜)=是=吉P(小亮获胜)=音， 三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种， P(小强获胜)≠P(小亮获胜)， 级数学（上）·BS一