第4章 投影与视图 学情评结-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

第四章学情评估 评估内容：投影与视图 (时间：120分钟满分：150分) 、选择题（每小题4分，共40分） 1.身高为155cm的小军和身高为165cm的小明站在同一盏 路灯下，则小军与小明在同一路灯下的影长说法正确的是 () A.小军的影子长 B.小明的影子长 C.一样长 D.无法确定 2.下列立体图形中，俯视图是三角形的是 B 3.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米， 棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 ( 女 封 A.4.8米 B.2.4米 C.9.6米 D.10米 4.如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个” 圆锥体，它的左视图是 线 5.如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是 7.如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：c),根据图 中所示数据求得这个几何体的侧面积是 A.12 cm2 B.(12+π)cm2 C.6πcm2 D.8πcm D 609 D ·0 主视图 左视图 俯视图 正面 B 第7题图 第8题图 第10题图 8.如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较 小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主 视图、俯视图和左视图的面积分别是S1,S2,S3,则S1,S2, S3的大小关系是 ( A.S1>S2>S3 B.S3>S2>S1 C.S2>S3>S1 D.S1>S3>S2 9.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几 何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该 位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的 是 ) B 10.如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其 “锥体”的“锥角”是60°.已知舞台ABCD是边长为6m的 正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度 至少是 ( A.√6m B.3√3m C.3√6m D.4√3m 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.三角形铁板的正投影的形状可能是 (写出一种即可) 12.身高相同的小颖和小丽，一天晚上，她们站在同一路灯下 的不同位置，在灯光的照射下，小颖的投影比小丽的投影 长，我们可以判断小颖和小丽离灯光较远的是 一探究在线·九年级数学（上）·BS 13.一个几何体从上面、左面、正面看到的形状如图所示，则该 几何体的体积为 从正面看 从左面看从上面看 第13题图 第14题图 14.如图，有一张直径(BC)为1.2米的圆桌，其高度为0.8米， 同时有一盏灯A距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是 DE,DE∥BC,AD和AE是光线，建立如图所示的平面直 角坐标系，其中点D的坐标是(2,0)，那么点E的坐标是 15.如图是由大小相同的小正方体组成的 简单几何体的主视图和左视图，那么 主视图 左视图 组成这个几何体的小正方体的个数最多为 三、解答题（共8题，共90分） 16.(本题满分8分)作出下图中立体图形的三种视图. 17.(本题满分10分)小明做探究物体投影的实验，并提出了 一些数学问题： (1)如图①，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此 时木杆在水平地面上的影子为线段A'B'.若木杆AB的 长为1m,则其影子A'B'的长为m; (2)如图②，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放 置，此时木杆在水平地面上的影子为线段EF ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P; 09 ②若木杆EF的长为1m,经测量木杆EF距离地面1m, 其影子EF'的长为1.5m,则路灯P距离地面的高度为 多少？ E 图OB E 图② 18.(本题满分10分)如图①是一个组合几何体，图②是它的 两种视图. (1)在图②的横线上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：cm),计算这个组合几 何体的表面积.（结果保留一位小数，π取3.14） —8 -8 从正面看 视图 视图 图① 图② 19.(本题满分10分)如图，已知线段AB=2cm,投影面为P. (1)当AB垂直于投影面P时（如图①），请画出线段AB 的正投影； (2)当AB平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投 影，并求出正投影的长； (3)在(2)的基础上，点A不动，线段AB绕点A在垂直于 投影面P的平面内逆时针旋转30°，请在图③中画出线段 AB的正投影，并求出其正投影的长， A A—B B /P P 图① 图② 图③ 10 20.(本题满分12分)如图是由一些相同小正方体组成的几何 体的主视图和俯视图. (1)请你画出它的一种左视图； (2)写出组成该几何体的小正方体块数n的所有可能值. 主视图 俯视图 21.(本题满分13分)下列各图是由棱长为1cm的小正方体摆 成的，如图①，从正面看有1个正方形，表面积为6cm;如 图②，从正面看有3个正方形，表面积为18cm;如图③， 从正面看有6个正方形，表面积为36cm;… (1)第6个图中，从正面看有多少个正方形？表面积是多少？ (2)第n个图形中，从正面看有多少个正方形？表面积是 多少？ 图① 图② 图③ 一探究在线·九年级数学（上）·BS一 22.(本题满分13分)如图，灯杆AB与墙MN的距离为 18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为 3m,设小丽身高为1.6m. (1)求灯杆AB的高度； (2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？ 若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长 M 墙 杆 D 23.(本题满分14分)如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯 柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面. (1)在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度； (2)当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转 到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的 取值范围吗？ C17.65×(1一10%)×(1+5%)-50(1-x)2=65-5018.5 19.10z=-9+亚，=9☑ 器品器開 4 4 DH-GH.4.G-CH 2)x=号a=-1-5. ,.AG·EH=EG·GH. 20.,·四边形ABCD是正方形， (®瓷鼎路- =n=AG .AB=AD=BC=DC,∠B=∠D=90°. H AE=AF,∴.BE=DF. 设EH=a,.EG=an. 在△BCE和△DCF中， ∴GH=DH=an十a=a(n+1),AG=AC GH ·GH= BE=DF, n·a(n+1)=a(n2+n) ∠B=∠D, ..AE=AG+GE=a(n2+2n), BC=DC, ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.CE=CF. 由(1)得△ADE≌△DCF, ∴.AE=DF=a(n2+2n), 点M是EF的中点，CM⊥EF 21.(1)证明：.'∠AFE=∠ABC,且∠EAF=∠CAB, 器牛品 D .∴.△AEFC∽△ACB. 第四章学情评估 (2)证明：：△AEF∽△ACB, 1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.C8.D9.B10.C 器品器品 11.三角形（答案不唯一）12.小颖13.π14.(4,0) ,∠A=∠A,∴.△ABF∽△ACE. 15.716.图略。 22.设将销售单价降价x元，依题意，得 17.(1)1 (60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4, (2)①点P位置如图所示 又顾客得实惠，故取x=4,即定价为56元. ②设路灯P距离地面的高度为xm, 23.(1)证明：四边形ABCD是菱形， ,EF∥EF',∴∠PEF=∠PEF', ∴.AD∥BC,.∠ECM=∠ADM. ∠PFE=∠PFE', M为CD的中点，.CM=DM. ∴.△PEF∽△PEF', 图 在△CME和△DMA中， “票-即六号解得= '∠ECM=∠ADM, 答：路灯P距离地面的高度为3m. CM=DM, 18.(1)主俯 ∠CME=∠DMA, ∴.△CME≌△DMA(ASA). (2)这个组合几何体的表面积为2×(8×5+8×2+5× 2)+4×π×6=132+4×3.14×6≈207.4(cm2). (2)四边形BDEF是矩形.证明如下： 19.(1)如图①所示，点O为线段AB的正投影. 四边形ABCD是菱形，·AD=BC=CD 由(1)可知，△CME≌△DMA, (2)如图②所示，AB的正投影为A'B',正投影长2cm. ∴.CE=AD,.CE=BC (3)如图③所示，AB的正投影为A"B”,正投影长√3cm. ,CF=CD,∴.四边形BDEF是平行四边形 B :CD=BC,DF=BE,□BDEF是矩形. *0 P A" 24.(1)根据题意，得≠0且△=(1一2k)2一4k(k一2)>0， 图① 图② 图③ 解得>一子且≠0. (2).k取满足(1)中条件的最小整数， 20.(1)☐（答案不唯一） k=1,此时方程变为x2-x一1=0，a十B=1,明=一1， (2)n=8,9,10,11. a2-a-1=0,-B-1=0,a2=a+1,g=B+1, 21.(1)由题意可知，第6个图中， .a3=a2+a=a十1十a=2a+1, 从正面看有1+2+3+4+5+6=21个正方形， ∴.a3+g+B+201=2a+1+B+1+3+201=2(a+B)+ 表面积为21×6=126(cm2). 203=2×1+203=205. (2)由题意知，第n个图形中，从正面看到的正方形个数 25.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=45, 有1+2+3+4+…十m=n+1)n个， 2 ∴.∠ADC=∠DCF=90°， DE=CF,∴.△ADE≌△DCF(SAS). 表面积为n+1)2×6=3m(n十1D(cm2). 2 ∴.∠DAE=∠CDF. 22.(1)'∠AFB=∠CFD,∠ABF=∠CDF, .∴.∠EAD+∠ADB=∠CDF+∠CDB. 即∠HDG=∠HGD. AABF△CDR铝B票 .DH-GH. 8.cD-9告3×1.6=6 ..AB=B (2)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB∥DC,AB=AD. .灯杆AB的高度为6.4米 ∴.∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG. (2)将CD往墙移动7米到C'D', ∴AABG△EnG瓷-是-品 延长AC交MN于点P,交地面 BN于点Q,如图所示 D F D'N O ,∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD, :∠AQB=∠C'QD',∠ABQ=∠C'D'Q=90°， ∴.△HDE∽△HAD. .△ABQc∽△CD'Q, 一探究在线·九年 ÷贤-品826-9pQ-=9 -4=x2-2x-3. (2)描点、连线，函数图象如图所示，一4≤y≤5. 同理，可得出△PQN∽△AQB, 19.(1)设AB=xcm,则BC=(28-x)cm,由题意，得 16+7-9 x(28一x)=192,解得x1=12,x2=16, ,.PN=1. ,'DM=15cm,且x≤DM, 3 .x2=16舍去..AB=12cm. 小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长 (2)矩形ABCD的面积不能为240cm.理由如下： 为1米. 设AB=xcm,矩形ABCD的面积为Scm2, 23.(1)如图，DE即为木棒CD的影子. 由题意，得S=x(28-x)=-(x-14)2+196, 根据题意，得AB=6,CD=3,BD=3, 当x=14时，S取最大值196. cD/AB距-器 .矩形ABCD的面积不能为240cm2. 即B3令，解得DE-3. 20.(1)y=x2+2x-1 (2),直线l:x=一1与x轴相交于点C. .影子DE的长度为3米. 点C(-1,0). (2)当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转 ,PA⊥x轴，PB⊥l,垂足分别为A,B.点P的横坐标为m. 到地面时，其影子的变化规律为：先变长，后变短.当木棒 .P(m,m2+2m-1),A(m,0),m>-1. CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE最长 ∴.AC=m-(-1)=m+1,PA=1m2+2m-1. 如图，DC⊥AE,∴∠EC'D=∠ABE=90° 四边形APBC为正方形，.PA=AC. ,'∠CE'D=∠AEB, ∴.m+1=|m2+2m-1. .△E'C'D∽△EBA. 解得m=-2(舍去)或m=1或m=-3(舍去)或m=0, ÷器噩即BE=CE 综上所述，m的值为0或1. 设CE'=x,则BE=2x,∴.DE=BE-BD=2x-3, 21.(1)令x+2(a+1)x+3a2-2a+3=2a2,即x+2(a+1)x+ 在Rt△DEC'中，根据勾股定理，得(2x-3)2=32十x2, a2-2a十3=0，由题意知，4=[2(a+1)]2-4(a2-2a+3)>0, 解得x=4或0（舍去），.DE=5. 解得。> .其影长的取值范围是大于等于3米且小于等于5米. 第五章学情评估 (2)二次函数的图象与x轴有交点， 1.C2.A3.C4.A5.D6.A7.A8.B9.A ∴.△=4(a+1)2-4X1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8= -8(a-1)2≥0.∴.8(a-1)2≤0. 10.C11.3(答案不唯一)12.213.x=0或x=614.4 又8(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. 15.3或头 3)证明：当工=0时y=30-2a+8=3(。-专）广+号 16.(1)对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3，一4). (2)(5,0). >0, (3)略. ∴该二次函数的图象不经过原点。 (4)当x>5或x<1时，y>0;当1<x<5时，y<0. 2.(1y=-9r+16 17.(1)设点P(x,y),直线AB的表达式为y=kx+b, 将A(4,0),B(0,6)分别代人y=kx+b,得 (2)由题意，得-9：+16=4，解得x=士 2 b=6敢y=-子十6 =-3 ∴MN-3-(-3)=3V3(米)，即铁丝MN的长 2 △A0P的面积为号×4Xy=6,y=3, 为3√3米。 再把y=3代入y=-号x+6,得x=2P2,3. (3)CD的长为24米. 23.(1)3 把P2,3)代人y=ar+2中，得a=子 (2)(2)B(0,3),点B的对应点B落在x轴正半轴上， 点B向下平移3个单位长度. (2)设向下平移m个单位长度才能使得平移后的抛物线 ∴点C向下平移3个单位长度后，与点C的纵坐标相同. 经过点A,则平移后的抛物线为y=号十2一m, ,点C的纵坐标为一2，点C的纵坐标为一2+3=1. :点C在线段AB上，即点C在直线y=-之x+3上， .3 把A4,0代入y=2+2-m,得m=6, .∴.向下平移6个单位长度才能使得平移后的抛物线经过 ∴当y=- 8x+3=1时x=亭c(号，1) 点A. 18.(1)由表格可知对称轴为x=1,所 (3):B(0,3),C(专，1)，二次函数y=ar2+b+c(a,6 以可设抛物线的表达式为y=a(x c是常数，且a≠0)的图象经过点B,顶点是C 1)2-4, x=0时，y=-3, ∴y=a(x-号)）+1，把B(0,3)代人，得a×(0-号)月 .-3=a×(0一1)2-4.解得a=1, +1=3. .抛物线的表达式为y=(x一1)2 a=∴y=(-号)°+1 级数学（上）·BS一 31